Конспект урока "Прямоугольная система координат в пространстве" 11 класс

Государственное образовательное учреждение

начального профессионального образования

«Профессиональное училище №5» г. Белгорода

Конспект урока

по математике на тему:

Прямоугольная система координат в пространстве

для учащихся 11 классов

Подготовила:

Кобзева Ирина Алексеевна,

преподаватель информатики и математики

ГОУ НПО ПУ №5

Белгород 2010

Тема урока: Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора

Цели урока: - развить логическое и пространственное мышление

- ввести понятие системы координат в пространстве, координат вектора

Литература: Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян, М.: Просвещение, 2006 год

Ход урока:

Орг. Момент

Объявление темы и цели урока.

Объяснение нового материала

Прямоугольная система координат в пространстве.

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве (рис. 121). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через М₁, М₂ и М₃ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат (рис. 122). Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОМ₁, если М₁ точка положительной полуоси; х = - ОМ₁, если М₁ точка отрицательной полуоси; х = 0, если М₁ совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки М₂ определяется вторая координата (ордината) y точки М, а с помощью точки М₃ третья координата (аппликата) z точки М. Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки: М (х; у; z), причем первой указывают абсциссу, второй ординату, третьей — аппликату. На рисунке 123 изображены шесть точек А (9; 5; 10), В (4; —3; 6), С (9; 0; 0), Е (4; 0; 5), Е (0; 3; 0), F (0; 0; -3).

Если точка М (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю. Так, если М € Оху, то аппликата точки М равна нулю: z = 0. Аналогично если М с Охz, то у = 0, а если М € Оуz, то х= 0. Если М € Ох, то ордината и аппликата точки М равны нулю: у = 0 и z= 0 (например, у точки С на рисунке 123). Если М € Оу, то х = 0 и z=0; если М€ Оz, то х = 0 и у = 0. Все три координаты начала координат равны нулю: 0 (0; 0; 0).

Координаты вектора

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим через i единичный вектор оси абсцисс, через j— единичный вектор оси ординат и через k единичный вектор оси аппликат (рис. 124). Векторы i, j, k назовем координатными векторами. Очевидно, эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектор a и можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде

причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

Коэффициенты х, у и z в разложении вектора a по координатным векторам называются координатами вектора a в данной системе координат. Координаты вектора a будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: a {х; у; z}. На рисунке 125 изображен прямоугольный параллелепипед, имеющий следующие измерения: ОА₁ = 2, ОА₂ = 2, ОА₃=4. Координаты векторов, изображенных на этом рисунке, таковы: a {2; 2; 4}, b{2; 2; -1}, А₃А {2; 2; 0}, i{1; 0; 0}, j{0; 1; 0}, k{0; 0; 1}.

Так как нулевой вектор можно представить в виде 0 = оi+ оj+ 0k то все координаты нулевого вектора равны нулю. Далее, координаты равных векторов соответственно равны, т. е. если векторы a{х₁, y₁, z₁} и b{х_2, y₂, z₂) равны, то х₁ = x₂, y₁ = y₂ и z₁ = z₂ (объясните почему).

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.

1⁰. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если a {х₁, у₁, z₁} и b{х₂, у₂, z₂} — данные векторы, то вектор a+b имеет координаты {х₁+х₂, у₁ + у₂, z₁ + z₂}.

2⁰. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если a {х₁, y₁, z_1} и b{х₂ у₂; z₂} — данные векторы, то вектор a— b имеет координаты {х₁- х₂, y₁ – y₂, z₁ - z₂}.

3^О. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Другими словами, если а {х; у; х} — данный вектор, α — данное число, то вектор αa имеет координаты {αх; αу; αz).

Утверждения 1⁰-3⁰ доказываются точно так же, как и для векторов на плоскости.

Рассмотренные правила позволяют находить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов, координаты которых известны. Рассмотрим пример.

Задача

Найти координаты вектора p= 2а - 1/3b + с, если a{1; -2; 0}, b{0; 3; -1}, c{-2; 3; 1}.

Решение

По правилу 3⁰ вектор 2а имеет координаты {2; -4; 0}, а вектор (-1/3b) - координаты {0;-1; 2}. Так как p= 2а - 1/3b + с, то его координаты {х; у; z} можно вычислить по правилу 1⁰: х = 2 + 0 - 2 = 0, у=-4-1+3=-2, z=0+2+1=3. Итак, вектор p имеет координаты {0; -2; 3}.