Тема: «Применение векторов в стереометрии»

Учитель: Берикханов Биржан Берикханович, учитель математики

Участники: учащиеся 11 классов

Предмет: геометрия

Цель: проверить и закрепить знания по теме свойства векторов и операции над векторами, продолжить изучение векторного метод решения стереометрических задач.

Образовательная: учащиеся еще раз повторят операции над векторами в результате освоения алгоритма векторного метода при решении задач стереометрии.

Развивающая: создание условий для развития интереса к стереометрии как предмету через решение задач векторным методом; умения самостоятельно оценивать ситуацию, логически мыслить; навыков самостоятельной работы, самоконтроля.

Воспитывающая: воспитание прилежания, аккуратности, алгоритмической и аналитической культуры, стремления к расширению и углублению своих знаний.

Тип урока: усвоение новых знаний и первичное закрепление

Форма проведения урока: мастер-класс.

Ожидаемый результат:

Уметь применять векторный метод при решении задач стереометрии.

Структура урока:

1. Организация начала урока

2. Актуализация опорных знаний. Осознание и осмысление учебного материала

3. Усвоение новых знаний

4. Закрепление новых знаний

5. Рефлексия. Задание на дом

Ход урока

Этап урока

Содержание деятельности

Ожидаемый результат

Действия учителя

Действия ученика

Номер слайда презентации

1

Организация начала урока

Подготовка учащихся к работе на занятии.

Целеполагание.

Ведущий

Дорогие ребята! Приветствую вас на онлайн-уроке, по теме: «Применение векторов в стереометрии».

Вы готовы продолжить осваивать векторный метод при решении стереометрических задач?

Желаю успеха!

Полная готовность класса и оборудования, быстрое включение учащихся в деловой ритм. Обеспечение мотивации и принятия учащимися цели учебно-познавательной деятельности.

Сообщает тему урока, цель и ожидаемый результат от урока

Слушает, записывает тему урока в рабочую тетрадь.

№ 1

№ 2

№ 3

2

Актуализация опорных знаний. Осознание и осмысление учебного материала

Проверим решение домашних задач.

Задача №1.

Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ, причем АС = 4, угол С равен 120⁰, боковое ребро АА₁ равно 8. Найдите угол между АС и ВВ_1..

Задача №2.

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ и СА_1..

Вам представлены кратко записанные решения. Вы сравниваете свои решения и делаете выводы. Может кто-то из вас решил их геометрически.

Векторный метод в стереометрии заменим.

Но геометрическое решение требует дополнительных построений и подробных обоснований, что по затраченному на решение времени примерно равно, а иногда намного больше, времени на решение по алгоритму.

На прошлом уроке мы рассмотрели типы задач:

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Задачи на отношение отрезков

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Среди задач стереометрии, решаемых векторным методом, можно выделить две большие группы: аффинные и метрические.

В аффинных задачах выясняется взаимное расположение точек, прямых и плоскостей, а в метрических задачах находятся длины отрезков, расстояния, углы. Алгоритм их решения отличается на один пункт: составить таблицу умножения базисных векторов (только в метрических задачах).

Проверка знаний. Тест с выбором ответа из числа предложенных, из 5 заданий. На выполнение задания отводится 5мин.

Учащиеся проверяют решения по представленным ответам. Оценивают. Затем разбираются задания, вызвавшие затруднения. На доске предлагаются ответы с краткими пояснениями.

В копилку знаний.

- Что называют центроидом треугольника?

- Какой вид имеет векторное равенство для центроида треугольника?

-Что является аналогом треугольника в пространстве?

Дается определение медианы тетраэдра. Формулируется и доказывается свойство медиан тетраэдра. Дается понятие центроида и бимедианы тетраэдра. Формулируется свойство тетраэдра о том, что точка пересечения медиан и бимедиан тетраэдра совпадает.

Развитие мышления, «Я-концепции» учащихся через организацию мыследеятельности, смыслотворчества, полилога».

Установление правильности и осознанности усвоения учебного материала.

Показывает учащимся важность векторного метода и широту его применения. Предлагает классифика-цию задач по типам и алгоритм их решения. Организует работу по повторению, обобщению, систематиза-ции темы «Свойства векторов и операции над векторами».

Слушает внимательно учителя и отвечает на поставленные вопросы.

Выполняет задания, при необходимости вносит коррективы в свой конспект.

№ 4-5

№ 6-7

№ 8

№9

№10

№11

№12-№27

№28

№29

№30№31

№32

№33

№34

№35

3

Усвоение новых знаний

Вашему вниманию будут представлены Алгоритмы следующих типов задач:

• расстояние от точки до прямой;

• расстояние от точки до плоскости;

• угол между прямой и плоскостью;

• угол между двумя плоскостями.

Задача №1. Даны точки М, N и А. Найдите расстояние от точки А до прямой MN.

Задача №3. Дана плоскость α с базисом _, точка А, принадлежащая плоскости α, точка М, не лежащая в плоскости α. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

При нахождении расстояния от прямой до плоскости надо:

• Показать, что прямая параллельна плоскости.

• Взять произвольную точку этой прямой и найти расстояние от точки до плоскости(смотрите задачу №2).

• Полученное расстояние и есть расстояние от прямой до плоскости.

Вводится понятие угла между прямой и плоскостью, как угла между прямой и ее проекцией на плоскость, который равен углу между векторами ( направляющим вектором прямой и его вектором – проекцией на плоскость). Обращается внимание, что угол между прямой и плоскостью может быть только острым. Угол между вектором нормали (перпендикулярным к плоскостиα) и прямой m дополняет угол между прямой и плоскостью до 90˚. Поэтому для вычисления угла можно применять формулу:_.

Угол между двумя плоскостями равен

углу между перпендикулярными

к этим плоскостям прямыми.

Угол между двумя прямыми - наименьший из смежных углов,

полученных при пересечении.

Задача решается по алгоритму. Угол вычисляется по формуле:

Рассмотрено выражение медианы тетраэдра через длины его ребер.

Задача № 5. Выразить длину медианы тетраэдра ABCD через длины его рёбер.

Выведенная формула записывается для другой медианы. Делается вывод.

Учащиеся умеют определять тип задачи и решают по алгоритму подобные задачи и подбирают свои. Активные действия учащихся; максимальное использование своих знаний и овладение способами действий

Представля-ет решения задач четырех типов, среди которых есть метрические и аффинные

Записывает в тетрадь задачи, осмысливает их и задает учителю вопросы

№36

№37-43

№56-60

№61

№62

№63

№74

-81

4.

Закрепление новых знаний

Задача №2. В основании прямой призмы АВСDA₁B₁C₁D₁ параллелограмм АВСD, в котором АВ = 2, АD = _ , угол ВАD равен _. Точка К является серединой ребра D₁C_1, расстояние от вершины B₁ до прямой СК равно _ . Найдите площадь боковой поверхности.

Задача № 4. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник со стороной, равной единице, ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, SA=_ . Плоскость α параллельна прямым SB и AC, плоскость _ параллельна прямым SC и AB. Определите угол между плоскостями _ и _.

Обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения.

Создание проблемной ситуации, прочтение лекции, показ демонстрационного материала с комментариями.

Сумеет применить теоретические знания для решения, предложенных учителем задач.

Выполняет задания, при необходимости вносит коррективы.

№ 44-55

№64-73

5

Рефлексия. Задание на дом.

Сегодня на уроке, мы продолжили применение векторов в стереометрии. На уроках были рассмотрены наиболее часто встречающиеся на конкурсных экзаменах задачи и алгоритмы их решения.

• Полезен ли для вас материал нашего урока?
  

• Считаете ли вы целесообразным расширение и углубление своих знаний по данной теме?
  

• Считаете ли вы необходимым индивидуально попробовать свои силы в решении задач с помощью новых методов?

Надеюсь, вы не остановитесь и продолжите самостоятельно решать задачи, и более глубоко изучите векторный метод в стереометрии. Он универсален и позволит вам сэкономить время на решение стереометрических задач.

Домашнее задание.

Задачи а) - г).

Предложенные задачи содержат очень важные утверждения, формулы, которые вам пригодятся как инструмент для решения других задач.

Удачи при выполнении домашнего задания!

Источники

Е.В. Потоскуев, Л.И.Звавич «Геометрия-10»учебник для классов с углубленным и профильным изучением математики. Москва, Дрофа 2010г.

Е.В. Потоскуев, Л.И.Звавич «Геометрия-10» задачник для классов с углубленным и профильным изучением математики. Москва, Дрофа 2009г.

Готман Э.Г., Стереометрические задачи и методы их решенияМ:МЦНМО,2006г.

Шестаков С.А.;«Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии», Москва, МЦНМО,2005г.

obr.1c.ru/product.jsp. Банк тренажеров по математике

http://www.mahtege.ru Открытый банк заданий по математике.

Спасибо за внимание!

Осмысление учащимися изученного материала, самооценка. Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения самостоятельного задания

При организации рефлексии педагог предлагает высказаться каждому участнику и задает несколько вопросов.

Делает анализ и оценку успешности достижения цели и намечает перспективу последующей работы.

Осмысливает свое состояние, высказывает замечания и вносит свои предложения.

№60-61

№82-83

№84-86

№87

№ 88

№89