Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Факультет Технической Кибернетики

Кафедра Системный Анализ и Управление

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Расчетное задание

Тема: "Задача об упаковке"

Дата:_____________

Санкт-Петербург

2001 г.

Содержание

1.Постановка задачи............................................................................................…….2

2.Теоретическая часть………………………………………………………………..3

3.Решение……………………………………………………………………………..5

4.Алгоритм программы………………………………………………………………6

5.Результаты…………………………………………………………………………..7

6.Выводы……………………………………………………………………………...7

Приложение…………………………………………………………………………..8

1.Постановка задачи.

Рассмотреть задачу об упаковке 20 гипотетических объектов в пять контейнеров. Объекты имеют оценки по пяти критериям Б,В,Г,Д,Е с порядковыми шкалами, имеющими три градации (первая - лучшая, вторая – средняя, третья - худшая), а также два физических параметра (вес и объем). Критерии имеют одинаковую значимость. Контейнеры имеют следующие параметры:

• Грузоподъемность контейнера – 5

• Объем контейнера – 7

Далее приведены данные объектов:

Номер

Вес

Обьем

Б

В

Г

Д

Е

1

3

2

3

3

3

3

3

2

1

1

3

2

2

1

1

3

3

1

2

1

1

1

2

4

2

3

2

1

3

2

3

5

1

1

1

1

1

3

3

6

3

2

2

2

1

1

1

7

1

2

3

1

3

3

1

8

2

1

1

1

1

2

3

9

3

2

2

2

1

3

2

10

2

1

1

1

2

2

2

11

1

2

3

3

1

1

1

12

3

1

2

1

2

3

1

13

1

1

2

2

3

3

1

14

1

1

3

3

3

2

1

15

2

2

1

2

2

1

1

16

3

2

3

1

2

1

3

17

1

1

2

1

2

1

2

18

2

2

3

1

3

2

1

19

1

1

1

1

1

2

1

20

1

2

1

1

1

1

1

2.Теоретическая часть.

Рассмотрим следующую задачу: имеется множество из М объектов, которое желательно упаковать в К емкостей для последующей перевозки, причем М существенно больше К. Каждый объект характеризуется Р -количественными физическими параметрами (весом и объемом); каждая емкость характеризуется этими же предельными физическими параметрами (например, общим объемом и грузоподъемностью). Кроме того, каждый из упаковываемых объектов имеет оценки по нескольким критериям , которые характеризуют его качество и привлекательность для лица, ответственного за перевозку. Емкость контейнеров недостаточна для упаковки всех имеющихся объектов. Желательно осуществить упаковку наилучшим образом, т.е. так чтобы:

1. Число упакованных объектов было бы максимально возможным, так как все они в той или иной степени заслуживают упаковки в емкости (т.е. предварительный отбор, исключающий абсолютно плохие объекты, уже сделан) – критерий О₁.

2. Среди упакованных объектов было бы наибольшее количество таких, качество которых превосходило бы качество неупакованных – критерий О₂.

Имеется конечное множество объектов, причем размер каждого из них задан рациональным числом. Требуется упаковать предметы в минимально возможное количество контейнеров так, чтобы суммарный размер объектов в каждом контейнере не превышал его размер (также рациональное число).

Для решения этой задачи предлагается ряд алгоритмов:

1. Алгоритм "в первый подходящий". Пусть имеется какой-то порядок объектов и контейнеров. Первый предмет кладем в первый попавшийся контейнер. Второй объект кладем в первый контейнер, если он туда помещается, а если нет – то во второй контейнер. Аналогично упаковываем прочие объекты.

2. Алгоритм "в первый подходящий с убыванием". Упорядочим список объектов от больших к меньшим. Далее используем алгоритм "в первый подходящий".

3. Алгоритм "в лучший из подходящих". Пусть имеется какой-то произвольный порядок объектов. Идея упаковки аналогична алгоритму "в первый подходящий", но со следующей разницей: очередной объект кладется в тот контейнер, где имеется наименьшее, но достаточное для него неиспользованное пространство.

4. Алгоритм "в лучший из подходящих с убыванием". Алгоритм аналогичен "в лучший из подходящих", но объекты упорядочены от больших к меньшим.

Упаковываемые объекты имеют оценки качества по многим критериям. Требуется упаковать максимальное число объектов, а не получить минимальное число контейнеров. Введем следующие обозначения:

v_ij – j-й физический параметр i-го объекта;

V_lj – j-й физический параметр l-го контейнера;

U_i – общая ценность i-го объекта.

Обозначим через I=1, 2, …, М множество номеров объектов, а через

Множество тех упакованных объектов, для которых не найдется более ценных среди не упакованных. Формальная постановка задачи имеет следующий вид:

, .

При ограничениях:

, j = 1, …, P, l = 1, …, K;

Алгоритм решения поставленной задачи включает в себя алгоритмы решения вспомогательных задач:

1.Упаковка многомерных объектов в контейнеры;

2.Получение информации от ЛПР, позволяющей определить порядок упаковки многокритериальных объектов.

3.Решение задачи.

1. Путем попарного сравнения упаковываемых объектов определяется асимметричное транзитивное отношение доминирования:

где Q – количество критериев.

2. В соответствии с отношением P0 на множестве упаковываемых объектов можно выделить подмножество недоминируемых объектов. После их удаления можно выделить второе подмножество и т.д. до исчерпания множества. Выделенные подмножества называются паретовыми слоями.

3. Применяем алгоритм упаковки с отбрасыванием при чередовании, упаковывая по слоям объекты в контейнеры.

К построенному квазипорядку упаковываемых объектов итеративно применяем алгоритм упаковки с отбрасыванием для послойной упаковки объектов. Пусть объекты первых (i–1)-го слоев упаковываются, а элементы i слоев не упаковываются. Среди объектов, входящих в первые (i=1) слои, выделяется подмножество лучших объектов, превосходящих каждый из остальных упаковываемых объектов (если таковое имеется). Это подмножество считается на данном этапе решения задачи подлежащим обязательной упаковке. Получим одну из возможных упаковок, наилучших с точки зрения О_2.

Будем упаковывать, используя алгоритм с отбрасыванием при чередовании, объекты первых i слоев. Последовательно удаляем при упаковке объекты i-го слоя в соответствии с их порядком в списке с чередованием (от первых к последним) до получения упаковки. Если при этом в контейнерах остаются свободные места по всем физическим параметрам, то в рассмотрение включаются объекты (i+1)-го слоя, недоминируемые неупакованными объектами i-го слоя, и осуществляется доупаковка. Если и теперь остаются возможности, то аналогично осуществляется упаковка некоторыми объектами (i+2)-го слоя и т.д. В итоге получаем упаковку с максимальным значением критерия О₂.

Получим теперь упаковку с максимальным значением критерия О₁.

Применим алгоритм АОЧ ко всему множеству упаковываемых объектов. Не удаляются только упомянутые выше наилучшие объекты, доминирующие по качеству над всеми остальными (если таковые имеются). Ясно, что при этом получим упаковку с максимальным значением критерия О₁ при условии сохранения доминирующих объектов. Рассматривая точки на плоскости О₁ – О₂, ЛПР определить наилучший для себя компромисс между критериями О₁ и О₂ и тем самым наилучшую упаковку.

4.Алгоритм программы.

Начало

Инициализация данных

Разбиение на пар. слои

Сорт. объем /вес

Упаковка по слоям

Упаковка объем/вес

Вывод

Конец

5.Результаты.

После выполнения программы получены следующие результаты.

Программа распределила объекты из исходного списка по паретовым слоям.

Ниже приведены эти слои (в таблице указаны номера эл-тов):

Слой

Номера объектов

1

20

2

3

6

15

19

3

2

8

9

10

11

12

17

18

4

4

5

7

13

14

16

5

1

Далее программа отсортировала список объектов по очередности макс.вес /

макс.объем.

1

4

3

6

9

7

12

16

11

15

8

10

18

20

2

5

13

14

17

19

Ниже приведена таблица результатов упаковки (по алгоритму упаковки с отбрасыванием).

Кол-во

Σ Польза

14

123

10

83

Результаты можно отразить графически в виде плоскости критериев О₁(суммарное количество упакованных предметов), О₂(суммарная полезность упакованных элементов).

6.Выводы.

В результате выполнения задания была написана программа, упаковывающая объекты в контейнеры. Упаковка производится с помощью двух вариантов упорядочивания объектов. По критерию О₁(кол-во упакованных) наиболее эффективен второй метод(есть варианты упаковки по 14 предметов). Например, были упакованы следующие 14 предметов:

16

11

15

8

10

18

20

2

5

13

14

17

19

7

О₁ =14, О₂ =130.

По критерию О₂ выигрывает первый метод.

Упакованные объекты:

14

16

1

20

3

6

15

19

2

8

О₁ =10, О₂ =83.

Оба метода позволяют ЛПР выбрать оптимальный вариант упаковки на плоскости критериев О₁ ,О₂.

Приложение.

Текст программы.

Программа написана на языке программирования С++ в среде разработки Visual C++ 6.0. Выбор языка обусловлен наличием в его стандарте структуры данных – класс, с помощью которой удобно моделировать объекты задания.

#include

#include

#include "iostream.h"

#include "stdio.h"

class Object{

public:

int Mass;

int Cap;

int vol[5];

int Val;

bool Packed;

int INN;

bool NDom;

Object(){

Mass = 0;

Cap = 0;

Packed = false;

vol[0] = 0;

vol[1] = 0;

vol[2] = 0;

vol[3] = 0;

vol[4] = 0;

Val=0;

INN=0;

NDom=false;

};

void ObjectInit(int m, int c, int v1, int v2, int v3, int v4, int v5,int inn)

{

Mass=m;

Cap=c;

Packed=false;

vol[0]=v1;

vol[1]=v2;

vol[2]=v3;

vol[3]=v4;

vol[4]=v5;

Val= vol[0]+vol[1]+vol[2]+vol[3]+vol[4];

INN=inn;

NDom=false;

};

};

class Konteiner{

public:

int Mass;

int Cap;

Konteiner(){

Mass = 0;

Cap = 0;

};

void KonteinerInit(int m, int c){

Mass = m;

Cap = c;

};

};

struct Result{

int Value;

int Num;

};

void main(){

Object Ob[21],ObD[400],ObND[400],ObRs,ObMC1[20],ObMC2[20],ObMC[21],ObMCRs[20];

Object ObSlice[10][10];

bool MFLAG[21];

Result Res[20],Res1[20];

Konteiner Kon[5];

Ob[0].ObjectInit(3,2,3,3,3,3,3, 1);

Ob[1].ObjectInit(1,1,3,2,2,1,1, 2);

Ob[2].ObjectInit(3,1,2,1,1,1,2, 3);

Ob[3].ObjectInit(2,3,2,1,3,2,3, 4);

Ob[4].ObjectInit(1,1,1,1,1,3,3, 5);

Ob[5].ObjectInit(3,2,2,2,1,1,1, 6);

Ob[6].ObjectInit(1,2,3,1,3,3,1, 7);

Ob[7].ObjectInit(2,1,1,1,1,2,3, 8);

Ob[8].ObjectInit(3,2,2,2,1,3,2, 9);

Ob[9].ObjectInit(2,1,1,1,2,2,2,10);

Ob[10].ObjectInit(1,2,3,3,1,1,1,11);

Ob[11].ObjectInit(3,1,2,1,2,3,1,12);

Ob[12].ObjectInit(1,1,2,2,3,3,1,13);

Ob[13].ObjectInit(1,1,3,3,3,2,1,14);

Ob[14].ObjectInit(2,2,1,2,2,1,1,15);

Ob[15].ObjectInit(3,2,3,1,2,1,3,16);

Ob[16].ObjectInit(1,1,2,1,2,1,2,17);

Ob[17].ObjectInit(2,2,3,1,3,2,1,18);

Ob[18].ObjectInit(1,1,1,1,1,2,1,19);

Ob[19].ObjectInit(1,2,1,1,1,1,1,20);

for (int i=0;i<5;i++){

Kon[i].KonteinerInit(5,7);

};

MFLAG[0]=true;

for(i=1;i<21;i++){

MFLAG[i]=false;

};

bool flag,superflag;

superflag=true;

int counter=0;

int j;

while(counter!=10){

superflag=false;

for(i=0;i<200;i++){ObND[i].ObjectInit(0,0,0,0,0,0,0,0);ObD[i].ObjectInit(0,0,0,0,0,0,0,0);};

j=0;

for(int l=0;l<20;l++){

for(i=0;i<20;i++){

if((MFLAG[Ob[i].INN]==false)&&(MFLAG[Ob[l].INN]==false)&&(i!=l)&&(Ob[l].vol[0]>=Ob[i].vol[0])&&(Ob[l].vol[1]>=Ob[i].vol[1])&&(Ob[l].vol[2]>=Ob[i].vol[2])&&(Ob[l].vol[3]>=Ob[i].vol[3])&&(Ob[l].vol[4]>=Ob[i].vol[4])){

ObD[j]=Ob[l]; ObND[j]=Ob[i];j++;}else{

if((MFLAG[Ob[i].INN]==false)&(MFLAG[Ob[l].INN]==false)&&(i!=l)&&(Ob[l].vol[0]<=Ob[i].vol[0])&&(Ob[l].vol[1]<=Ob[i].vol[1])&&(Ob[l].vol[2]<=Ob[i].vol[2])&&(Ob[l].vol[3]<=Ob[i].vol[3])&&(Ob[l].vol[4]<=Ob[i].vol[4])){

ObD[j]=Ob[i]; ObND[j]=Ob[l];j++;};

};

};

};

j=0;

for(l=0;l<200;l++){

flag=true;

for(i=0;i<200;i++){

if(ObND[l].INN==ObD[i].INN){flag=false;};

};

if(flag&&(MFLAG[ObND[l].INN]!=true)){ObSlice[counter][j]=ObND[l];MFLAG[ObND[l].INN]=true;j++;};

};

counter++;

};

for(counter=0;counter<10;counter++){

if(ObSlice[counter][0].INN==0){ObSlice[counter][0]=Ob[0];break;};

for( i=0;i<20;i++){ ObMC1[i] = Ob[i];};

for( j=0;j<20;j++){

for(i=19;i>j;i--){

if((ObMC1[i-1].Mass

ObRs=ObMC1[i]; ObMC1[i]=ObMC1[i-1]; ObMC1[i-1]=ObRs;

};

};

};

for(i=0;i<20;i++){

ObMCRs[i]=ObMC1[i];

};

for(i=0;i<20;i++){

cout<

};

for( i=0;i<20;i++){ ObMC2[i] = Ob[i];};

for( j=0;j<20;j++){

for(i=19;i>j;i--){

if((ObMC2[i-1].Cap

ObRs=ObMC2[i]; ObMC2[i]=ObMC2[i-1]; ObMC2[i-1]=ObRs;

};

};

};

cout<<"\n";

for(i=0;i<20;i++){

cout<

};

flag=true;

bool flag1=true;

int n;

int m=0;

for(n=0;n<20;n++){

flag1=true; flag=true;

for(j=0;j<20;j++){

if((ObMCRs[n].INN==ObMC2[n].INN)||(ObMCRs[n].INN==ObMC[j].INN)){flag1=false;};

};

for(j=0;j<20;j++){

if(ObMC2[n].INN==ObMC[j].INN){flag=false;};

};

if((flag1)&&(flag)){

ObMC[m]=ObMCRs[n];

ObMC[m+1]=ObMC2[n];

m=m+2;

};

if((flag1)&&(!flag)){

ObMC[m]=ObMCRs[n];

m++;

};

if((!flag1)&&(flag)){

ObMC[m]=ObMC2[n];

m++;

};

if((!flag1)&&(!flag)){

};

};

cout<<"\n";

for(i=0;i<20;i++){

cout<

};

int l=0;

m=0;

flag=true;

int countj=0;

int counti=0;

int lasti=0;

int Value=0;

int Num=0;

int count=0;

int countp=0;

for(j=0;j<10,ObSlice[j][0].INN!=0;j++){

for(i=0;i<10,ObSlice[j][i].INN!=0;i++){

Ob[count]=ObSlice[j][i];count++;};

};

count=0;

while ((count!=20)){

for(j=0;j<20;j++){

flag=true;

for(m=0;m<5;m++){

if(flag&&(Ob[j].Cap

Kon[m].Cap=Kon[m].Cap-Ob[j].Cap;

Kon[m].Mass=Kon[m].Mass-Ob[j].Mass;

Value=Value+Ob[j].Val;

Num=Num++;

Ob[j].Packed=true;

flag=false;

};

};

};

Ob[20]=Ob[0];

for(i=1;i<21;i++){Ob[i-1]=Ob[i];};

Res[count].Value=Value;

Res[count].Num=Num;

if(count==0){

cout<<"\n";

for(i=0;i<20;i++){

if(Ob[i].Packed){cout<

};

};

count++;

for(j=0;j<10;j++){

Ob[j].Packed=false;

};

Value=0;

Num=0;

for(m=0;m<5;m++){

Kon[m].KonteinerInit(5,7);

};

};

cout<<"\n";

flag=true;

countj=0;

counti=0;

lasti=0;

Value=0;

Num=0;

count=1;

countp=0;

while ((countj!=20)){

for(j=0;j<20;j++){

flag=true;

for(m=0;m<5;m++){

if(flag&&(ObMC[j].Cap

Kon[m].Cap=Kon[m].Cap-ObMC[j].Cap;

Kon[m].Mass=Kon[m].Mass-ObMC[j].Mass;

Value=Value+ObMC[j].Val;

Num++;

ObMC[j].Packed=true;

flag=false;

};

};

};

ObMC[20]=ObMC[0];

for(j=1;j<21;j++){ObMC[j-1]=ObMC[j];};

if(countj==8){

cout<<"\n";

for(i=0;i<20;i++){

if(ObMC[i].Packed){cout<

};

};

for(j=0;j<20;j++){

ObMC[j].Packed=false;

};

Res1[countj].Value=Value;

Res1[countj].Num=Num;

countj++;

Value=0;

Num=0;

for(m=0;m<5;m++){

Kon[m].KonteinerInit(5,7);

};

};

ofstream out("out.txt",ios::out|ios::trunc);

out<<" Итоговые данные после упаковки: \n";

out<<"Сортировка по Пар. сл.: Сортировка вес.объем:\n";

out<<"Ценность Кол-во Ценность Кол-во \n";

for(i=0;i<20;i++){

cout<

cout<

out<

out<

};

char ch;

cout<<"Press a key\n";

cin>>ch;

}