Формирование математических понятий в начальной школе.

Изучение математики связано с усвоением определённой системы понятий. Чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретённые знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, необходимо сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий. Эти знания нужны учителю начальных классов потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребёнка в дальнейшем.

Появление в математике новых понятий, а значит и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

«Определение – логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Способы определения различны:

понятие

явные определения

Контекстуальные

неявные определения

Остенсивные

Явные определения имеют форму совпадения двух понятий. Например, периметр – это сумма сторон какой-нибудь геометрической фигуры.

Периметр Сумма

а = в, а есть в

а в

Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий.

В начальной школе в основном встречаются неявные определения: остенсивные и контекстуальные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации. Например: 3 + х = 9

х – неизвестное число, которое надо найти. Какое из чисел 2, 3, 6, 7 надо поставить вместо x, чтобы равенство было верным? Это число – 6.

Остенсивные определения используются для введения терминов, путём демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому эти определения называют ещё определения путём показа. Например, таким способом определяются в начальной школе равенства и неравенства:

2 ∙ 7 > 2 ∙ 6 9 ∙ 3 = 27

78 – 9 < 78 6 ∙ 4 = 4 ∙ 6

37 + 6 > 37 17 – 5 = 8 + 4

Это неравенства Это равенства

Иногда встречаются определения сочетающие контекст и показ.

На следующих ступенях обучения, появляются явные определения, в которых, отождествляются два понятия. Одно из них называют определяемым понятием, другое – определяющим. Через определяющее понятие раскрывается содержание определяемого понятия. Структуру таких определений можно представить рисунком.

Определяемое понятие

Видовое отличие

Родовое понятие

+

Определяющее понятие

Например: прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые: (рис 1.3.)

прямоугольник

= , +

[2]

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил:

1. Определение должно быть соразмерным.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.

3. Определение должно быть ясным.

4. Одно и тоже понятие через род и видовое отличие можно определить по-разному.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются два разных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включённых в одно определение, вытекают свойства, включённые в другое, и наоборот.

Важная задача учителя состоит в том, чтобы учащиеся научились распознавать объекты по принадлежности к тому или иному классу или, на другом языке, умели подводить объект под понятие.

Математические понятия - важнейшая неотъемлемая часть науки и учебного предмета математики. На начальной ступени обучения учащиеся знакомятся с большинством математических понятий наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, например, при счёте их. При этом учитель опирается на жизненный опыт учащихся.

Этапы формирования понятий:

1. Организация наблюдений единичных объектов (чувственно-конкретное восприятие).

2. Обогащение наблюдения.

3. Выделение общих, существенных признаков изучаемых объектов.

4. Определение понятия.

5. Уточнение и закрепление в памяти существенных признаков понятия.

6. Установление связи данного понятия с другими.

7. Применение понятия в решении элементарных задач учебного характера.

8. Классификация понятий – составление классификационных схем.

9. Упражнения по определению отношений рода и вида.

10. Применения понятий в решении задач творческого характера.

11. Обогащение понятия.

12. Вторичное более полное определение понятия.

13. Опора на данное понятие при усвоении нового понятия.

14. Новое обогащение понятия.

15.Установление связей и отношений нового понятия с другими понятиями.

Условия успешного формирования понятий:

Успешным мы называем такое усвоение, при котором учащиеся овладевают полностью содержанием, объёмом понятия, знанием его связей и отношений с другими понятиями, а также умением оперировать понятием в решении учебных и практических задач.

Для успешного формирования у учащихся научных понятий необходимо соблюдение учителем целого ряда условий:

1. Знание учителем современного содержания формируемого понятия на основе работы с научной литературой, анализа определения понятия, их интерпретация в школьных учебниках.

2. Знание возможных источников образования понятия и их влияние на качество усвоения формируемых понятий.

3. Соблюдение этапов формирования понятий.

4. Организация активной познавательной деятельности учащихся на всех этапах формирования понятия.

5. Оперативный контроль за качеством усвоения понятия, с учётом того, что чем раньше обнаруживается ошибка в усвоении понятия, тем легче её преодолеть.

6. Мотивированное введение каждого понятия, раскрытие перед учащимися его значения и места в системе научных понятий и в практике.

Уровни усвоения понятий:

1. ученик узнает понятия;

2. знает формулировку определения;

3. понимает значение каждого слова, каждой составной части определения, отделяет существенные свойства от несущественных;

4. может привести собственные примеры объектов, подходящих под определение;

5. может доказать, почему один объект подходит под определение, а другой - нет;

6. может использовать понятия в явных ситуациях при решении задач;

7. может использовать понятия при решении нестандартных задач.

Перечисленные уровни - конкретные дидактические цели изучения понятий. Исследуя процесс образования понятий, Л.С. Выготский установил следующую закономерность: «Развитие процессов, приводящих впоследствии к образованию понятий, уходит своими корнями глубоко в детство, но только в переходном возрасте вызревают, складываются те интеллектуальные функции, которые в своеобразном сочетании образуют психологическую основу образования понятий».

Прямое обучение понятиям всегда оказывается фактически невозможным и педагогически бесплодным. Научные понятия не усваиваются и не заучиваются ребёнком, не берутся памятью, а возникают и складываются с помощью величайшего напряжения всей активности его собственной мысли. Сила научных понятий обнаруживается в той сфере, которая целиком определяется высшими свойствами понятий – осознанностью и произвольностью.

Формирование понятий - это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание. Важным при формировании понятия является усвоение его существенных признаков. Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных признаков. Однако часто бывает так: даётся словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей работе, не смотря на то, что не все учащиеся достаточно хорошо усвоили его. Излишнее преувеличение роли словесного определения является одной из причин пробелов в знаниях учащихся.

Большим недостатком является традиция иллюстрировать определение понятия на одном, двух частных примерах, вместо того чтобы рассмотреть все существенные признаки понятия. Такое невнимание ведёт к тому, что учащиеся главным образом обращают внимание на несущественные признаки. Лучшему усвоению существенных признаков понятия способствует варьирование несущественных признаков.

Основное внимание должно быть направлено не на заучивание определений, а на умение определять понятия. Важно довести до сознания учащихся, что научные понятия изменчивы: определение понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования, а далее идёт процесс развития понятия - постепенное уточнение и усвоение содержания и объёма понятия, его связей и отношений с другими понятиями.

Каждое понятие должно быть правильно понято, сознательно и чётко усвоено всеми учащимися ещё на уроке. Эта цель должна достигаться уже в процессе введения понятия. Понятие должно закрепляться и повторяться на последующих уроках путём воспроизведения учащимися определения (или описания), приведения иллюстрирующих и конкретизирующих его примеров, проведение логического анализа определения и другой творческой работы, использование понятия в суждениях и умозаключениях.

Контроль усвоения понятия осуществляется обычно в виде опроса учащихся, при котором нужно, как правило, требовать подтверждения определения примерами, причём не только готовыми, взятыми из учебника, но и придуманными самим учеником. Это должно стать обязательным дидактическим требованием, методическим правилом в преподавании математики в школе. Ученики должны знать его и при подготовке к занятиям дома подыскивать свои примеры к вновь введённым или повторяемым математическим понятиям.

Каждый ученик должен знать определения изученных понятий, однако требовать заучивания формулировок понятий не следует, т. к. это незаметно может привести к формализму. Надо ориентировать школьников на смысловое, логическое запоминание, которое должно стать результатом осмысливания определения, его структуры в процессе изучения и применения.