Алгебра. 9 класс

Тема: Неравенства с модулем.

Цель: формировать умения решать неравенства с модулем вида │f (x) │< a и │ f (x) │> a.

Ход урока.

1.Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

2. Устные упражнения.

1) Раскрыть модуль

│π -3│ │√3 + √5 │ │1- √2 │ │√5 -2 │ │x²│

│ x⁴+1 │ │x²-x+ ¹/₄ │ │x²+2x+2│

2) Решить уравнения

│x²-6x-7│=√3-2 │x│=-x²-1 │x│=x │x│=-x²

x-│x│=x² │x²-1│=1-x² │x-2│=│2-x│

3) Решить неравенства

X²>0 x²≤0 1/x²+1>0 x(x²+1)>0

3. Объяснение нового материала.

Рассмотрим неравенство │x│<3. Переведем аналитическую модель на геометрический язык:

нам надо найти на координатной прямой такие точки x , которые удовлетворяют условию

ρ (x,0)<3, т.е. удалены от начала отсчета на расстояние меньше, чем 3. На расстояние, равное 3,

удалены точки -3 и 3. А на расстояние меньше 3 точки, которые находятся между данными точками. Следовательно, решениями неравенства являются все числа из интервала (-3;3), т. е. все числа, которые больше -3, но меньше 3. Данное неравенство │x│<3 равносильно двойному неравенству -3

Вывод: неравенство │f (x) │< a (a>0) равносильно двойному неравенству –a<f(x)<a.

При a<0 неравенство решений не имеет, т. к. модуль – неотрицательное число.

Например, решим неравенство │x-1│<2

-2<x-1<2

x-1>-2

x-1<2

x>-1

x<3

Ответ: (-1; 3).

Рассмотрим неравенство │x│>2. На координатной прямой надо найти такие точки, которые удовлетворяют условию ρ (x, 0)>2, т. е. удалены от начала отсчета на расстояние больше, чем 2. На расстоянии, равном 2, от начала отсчета находятся точки -2 и 2. А на расстоянии больше 2 точки, которые расположены левее -2 и правее 2. Следовательно, решения данного неравенства

интервалы (-∞;-2), (2;+∞)

Вывод: неравенство │f (x)│>a (a>0) равносильно совокупности неравенств f (x) <-a

и f (x)>a.

При a<0 неравенство верно при любом x из О. Д. З. f (x).

Например, решить неравенство │5-3x│≥6

5-3x≤-6 5-3x≥6

-3x≤-11 -3x≥1

x≥3 ²/₃ x≤-^1/₃

Ответ: (-∞;-^1/₃) (3 ^2/₃;+∞).

4. Тренировочные упражнения.

Решение неравенств с модулем.

1) │x-1│<1 2) │4x+5│<3 3) │2x+1│≥1

-1<x-1<1 -3<4x+5<3 2x+1≤-1 2x+1≥1

2x≤-2 2x≥0

x-1>-1 4x+5>-3 x≤-1 x≥0

x-1<1 4x+5<3 Ответ: (-∞; -1] [ 0; +∞)

x>0 x>-2

x<2 x<-½

Ответ: (0; 2) Ответ: (-2; -½).

4) │5-2x│>1 5) │x²-2x│<3 6) │x²-x-3│<9

5-2x<-1 5-2x>1 -3<x²-2x<3 -9<x²-x-3<9

-2x<-6 -2x>-4 x²-2x>-3 x²-x-3>-9

x>3 x<2

x²-2x<3 x²-x-3<9

Ответ: (-∞; 2) (3; +∞)

x²-2x+3>0 x²-x+6>0

(x+1) (x-3)<0 (x-4) (x+3)<0

x-любое x-любое

-1<x<3 -3<x<4

Ответ: (-1; 3). Ответ: (-3; 4)

7. │x²-5x│>6

x²-5x<-6 x²-5x>6

x²-5x+6<0 x²-5x-6>0

(x-2)(x-3)<0 (x-6)(x+1)>0

+ 2 - 3 + x + -1 - 6 + x

26

Ответ: (-∞; -1) (2; 3) (6; +∞).

5. Итог урока. Домашнее задание Г. № 6.202 в, г; 6.205 в, г; 6.207 а, в; повт. № 5.122

_│