Урок алгебры по теме: "Числовая последовательность и способы ее задания".

Тип урока: урок обобщающего повторения и систематизации знаний.

Цель: закрепить навыки словесного, аналитического, рекуррентного и графического задания числовой последовательности.

Задачи:

Образовательная: проверить умение работы с числовыми рядами, проверить полноту и осознанность усвоения знаний учащихся по теме.

Развивающая: развить умение обосновывать свойства числовых последовательностей: возрастание, убывание, ограниченность, развитие самостоятельности, взаимопомощи при работе в группе, сообразительности.

Воспитательная: воспитывать культуру общения; воспитание активности и аккуратности.

Форма урока:  групповая.

Подготовка к уроку:  учитель готовит подобие билетов с цифрами от 1 до 20 (билетов столько, сколько учащихся в классе); карточки с названием свойств числовых последовательностей; раздаточные задания для трех групп.

Ход урока:

1. Мотивация урока.

«Числа управляют миром»,- говорили древнегреческие ученые. «Все есть число». Согласно их философскому мировоззрению, числа управляют не только мерой и весом, но также явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса. Так первым четырем числам – 1, 2, 3, 4 – приписывалось: 1 – означает огонь, 2 – землю, 3 – воду, 4 – воздух. Сумма этих чисел – число 10 – изображало весь мир. Но числа дают возможность самому человеку управлять миром. Сегодня на уроке мы продолжим работать с числами.

- какова тема урока? (Числовые последовательности)

- сформулируйте цель урока? (Имея закономерности, уметь определять следующие числа в ряду по определенному правилу)

- а, что нам необходимо знать, чтобы решать такие задачи? (Ввести обозначения, способы задания последовательности)

2. Актуализация знаний.
На доске выписан ряд чисел натурального ряда:
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…. . Эти же числа вписаны в билеты, которые вытягивают учащиеся, входя в класс. Затем учащиеся разделяются на группы, условия их деления написаны на доске:

 группа «α»

 группа «β»

 группа «γ»

В билетах номера кратны 3.

В билетах номера
вычисляются по формуле

В билетах номера
вычисляются по формуле

3, 6, 9, 12, 15, 18

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

Словесное задание

с помощью математических терминов, можно задать числовую последовательность

Пра

Аналитическое задание

если приведена формула ее n-го члена

Люб

Рекуррентное задание

указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если указаны ее несколько первых членов (как минимум один первый член) и формула, позволяющая по предыдущим членам вычислить ее следующий член. Термин рекуррентный произошло от латинского слова recurrere, что означает возвращаться. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, вычисляя следующий член на основе предыдущего.

Каждый учащийся вписывает свой номер в таблицу. В последней строчке таблицы учитель пишет, каким образом задается последовательность. И учащиеся после этой процедуры рассаживаются по группам.

3. Обобщение и систематизация знаний по теме.
I задание.   Каждый участник группы работает с листом ответа и проверяет по готовым ответам учителя.
группа «α»
1.  Напишите пять первых членов последовательности:
а) нечетных натуральных чисел, делящихся на 7;
б) четных натуральных чисел, не делящихся на 6;
в) натуральных чисел, кратных и 3 и 8 одновременно;
г) квадратов простых чисел;
д) натуральных чисел, которые при делении на 10 дают остаток 8.
2. Опишите словесно следующие последовательности:
а) 1, 4, 9, 16, 25,…;                б) 1, 3, 5, 7, 9, 11,…;
в) 1, 4, 8, 16, 32, 64,…;          г)  2, -2, 2, -2, 2, -2,…;
д)  1, 7, 31, 127, 511,….

  группа «β»
1. Напишите первые пять членов последовательности заданной формулой - го члена:
а)  ;         б)  ; в)  ;                 г)  ;

д)  .
2. Найдите одну из возможных формул - го члена   последовательности:         

ответ
а)  4, 16, 36, 64, 100,…;                     
б) 19, 32, 45, 58,…;                             
в) 3, 1, 3, 1, 3, 1,…;                           
г)  2, -2, 2, -2, 2, -2,…;                      
д)  6, 12, 24, 48, 96,….                        

  группа «γ»
1.  Напишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
2.  Найдите рекуррентное задание последовательности:

ответ
а)  1, 4, 1, 4, 1, 4,…;                  
б) 1, 3, 12, 60,…;                          
в) -5, 5, -5, 5, -5,…;                   
г)  1024, 512, 256,…;                 
д)  -4, 3, -4, 3,….                        

II задание

- Перечислите, какими свойствами обладают числовые последовательности?
Учащиеся перечисляют свойства числовых последовательностей, а учитель, по мере вспоминания, вывешивает на доске таблички с названиями.

монотонная

                                                                                                                            

возрастающая

3, 5, 7, …

убывающая 5, 1, -3, -7, …

 не являются ни возрастающими, -1, 2, -4, 8, …

ни убывающими 9, 1, 7, 1, 5,1, …

2,2,2,2, … - стационарная;

1, 3, 5, 7, … – бесконечная;

1, 3, 5, 7. – конечная

ограниченная

                                                                                                                            

снизу

 

сверху

Задания №1:
Проверьте на монотонность числовые последовательности, заданные формулой - го члена. Ответ обоснуйте с места.

 группа «α»

 группа «β»

группа «γ»

Задания №2:
Является ли ограниченной последовательность, заданная формулой - го члена. Ответ обоснуйте.

 группа «α»

 группа «β»

 группа «γ»

III задание.Продолжите числовой ряд и задать последовательность следующими способами:

– Формулой n-го члена;
– Таблицей;
– Графиком;
– Словесным описанием.

Ответ обоснуйте у доски

группа «α»                                                    ответ
1. 18, 20, 24, 32,?,…;                                        48
2.  6, 8, 10, 11, 14, 14,?,…;                               18
3.  7, 13, 24, 45,?,…;                                         86
4.  4, 5, 7, 11, 19,?,….                                       35 

группа «β»
1.  6, 7, 9, 13, 21,?,…;                                        37
2.  64, 48, 40, 36, 34,?,…;                                  33
3.  15, 13, 12, 11, 9, 9,?,…;                                6
4.  7, 14, 10, 12, 14, 9,?,….                                19

группа «γ»
1.  172, 84, 40, 18,?,…;                                       7
2.  1, 5, 13, 29,?,…;                                             61
3.   0, 3, 8, 15,?,…;                                              24
4.  4, 7, 9, 11, 14, 15, 19,?,….                             19
Задание III конкурса для командного решения. Когда задания внутри группы будут решены, выходит учащийся, но сразу не дает ответа, а предлагает другим командам сначала  продолжить числовой ряд.

4. Рефлексия.

Не каждую последовательность можно задать всеми известными способами, среди рекуррентно заданных последовательностей выделяют два особо важных случая:

а_n+1 = а_n + d, в_n+1 = в_nq .

Их называют арифметической и геометрической прогрессиями, где d и q – заданные числа, но про них подробно Вы узнаете далее на последующих уроках, а вот второй последовательности, которая, как мы знаем теперь, называется геометрической прогрессией, я предлагаю Вам уделить более пристальное внимание.

Внимание! «Чёрный ящик» из прошлого!

(Звучит музыка из программы викторины: «Что? Где? Когда?)

- Внести ящик! (Помощник - одет в костюм индийского царя - вносит чёрный ящик, в котором лежат шахматы.)

- Ребята! В этом ящике находится игра, которую придумали в Индии, в начале нашей эры. Этот предмет напоминает часть координатной плоскости. Что же это за игра? (шахматы)

Ученик, который правильно ответил на вопрос, получает игру в подарок на память об этом уроке. ( - Замечательно! Замечательно! Я восхищён! И эту игру изобрёл мой подданный? Я хочу наградить тебя этой игрой - это очень удачная выдумка!).

5. Итог урока.

А как наградил царь Шерам своего подданного Сету за эту игру, мы узнаем на последующих уроках.

Я желаю вам всегда работать с радостью и удовольствием. Спасибо вам за урок. Урок окончен. До свидания!