ОГБОУ СПО «Белгородский строительный колледж»

Конспект урока по дисциплине

«Математика»

Тема: «Применение производной к исследованию функций и построению графиков»

(1 курс)

подготовила

преподаватель математики

Агапова Наталья Николаевна

Белгород 2013

Тема урока: Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: обеспечить усвоение учащимися понятия «производная»; научить применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков.

Структура урока.

1.Организационный момент и постановка цели.

1.1. Проверка готовности группы к уроку.

1.2. Приветствие. Отмечаю отсутствующих в журнале.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

Проводится математический диктант на знание таблицы производных:

Вариант 1. Вариант 2.

1. (Cu)’=… 1. C’=…

2. …=_ 2. …=_

3. (cos x)’=… 3. (sin x)’=…

4. …=_ 4. …=_

5. _ 5. _

3. Ознакомление с новым учебным материалом.

Понятие производной – одно из важнейших в математике. С помощью производной учитывая её механический смысл и геометрический смысл, можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных стало возможным подробное исследование функций, что позволило очень точно строить их графики, находить их наибольшие и наименьшие значения и т. д.

Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

Но прежде чем приступить к исследованию функций на монотонность вспомним, какие функции называются возрастающими (убывающими).

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Даны 8 графиков функций. Определите, какие из них являются возрастающими, какие убывающими, или не являются ни теми, ни другими.

Необходимый признак возрастания (убывания) функции.

Теорема 1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Обратное заключение также справедливо, оно выражается следующей теоремой.

Теорема 2. Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции f(x).

1. Находим область определения функции f(x).

2. Вычисляем производную f’(x) данной функции.

3. Находим точки, в которых f’(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).

4. Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.

5. Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.

Рассмотрим теперь нахождение промежутков возрастания/убывания на конкретном примере функции.

Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5.

1. Область определения: R. Функция непрерывна.

2. Вычисляем производную: y’=6x²-6x-36.

3. Находим критические точки: y’=0.

x²-x-6=0

Д=1-4*(-6)*1=1+24=25

x₁=-2, x₂=3

4. Делим область определения на интервалы:

4. Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[-2;3].

Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x².

1. Область определения: R. Функция непрерывна.

2. Вычисляем производную : y’=3x²-6x.

3. Находим критические точки: y’=0.

x²-2x=0

x(x-2)=0

x₁=0 и x₂=2

4. Делим область определения на интервалы:

4. Функция возрастает при xϵ(-∞;0]υ[2;+∞), функция убывает при xϵ[0;2].

Но помимо монотонности функций с помощью первой производной можно ещё определить экстремумы функций (точки максимума/минимума).

Сначала введём необходимые определения и понятия.

Опр. 1. Точку x=x₀ называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x₀).

Опр. 2. Точку x=x₀ называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x₀).

Теорема 3. Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x₀, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует.

Заметим, что теорема 3 является только необходимым (но не достаточным) условием существования экстремума: из того, что производная f’(x) в точке x₀ обращается в нуль, не обязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Например, функция f(x)=x⁵ имеет производную f’(x)=5x⁴, которая обращается в нуль в точке x₀=0. Однако экстремума в этой точке функция не имеет (происходит изменение кривизны).

Поэтому вводят ещё достаточный признак существования экстремумов функции.

Теорема 4. Если производная f’(x) при переходе через точку x₀ меняет знак, то точка x₀ является точкой экстремума функции f(x).

Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума.

Рассмотрим теперь на примерах исследование функции на монотонность и экстремумы.

Пример №3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4.

1. Область определения: R. Функция непрерывна.

2. Вычисляем производную : y’=-6x²-6x+12.

3. Находим критические точки: y’=0.

x²+x-2=0

D=1-4*1*(-2)=1+8=9

x₁=-2 и x₂=1

4. Делим область определения на интервалы:

4. Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[1;+∞), функция убывает при xϵ[-2;1].

5. Видно, что в точке x=-2 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому критическая точка x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции y_min=-24. В точке x=1 знак меняется с плюса на минус. Поэтому критическая точка x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: y_max=3.

4. Первичное закрепление изученного материала.

Решение студентами у доски следующих номеров из учебника Математика в задачах с решениями (Лисичкин, Соловейчик): №564, 565, 566, 571.

№ 564. Исследовать функцию на монотонность y=x²+2.

1. Область определения: R. Функция непрерывна.

2. Вычисляем производную : y’=2x.

3. Находим критические точки: y’=0.

2x=0

x=0

4. Делим область определения на интервалы:

4. Функция возрастает при xϵ[0;+∞), функция убывает при xϵ(-∞;0].

№ 565. Исследовать функцию на монотонность y=_.

1. Область определения: R. Функция непрерывна.

2. Вычисляем производную : y’=x²-4x+3.

3. Находим критические точки: y’=0.

x²-4x+3=0

D=16-4*1*3=16-12=4

x₁=1 и x₂=3

4. Делим область определения на интервалы:

4. Функция возрастает при xϵ(-∞;1]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[1;3].

№ 566. Исследовать функцию на экстремумы y=_.

1. Область определения: R. Функция непрерывна.

2. Вычисляем производную : y’=3x²+6x-9=3(x²+2x-3).

3. Находим критические точки: y’=0.

3(x²+2x-3)=0

x²+2x-3=0

D=4-4*1*(-3)=4+12=16

x₁=-3 и x₂=1

4. Делим область определения на интервалы:

4. Функция возрастает при xϵ(-∞;-3]υ[1;+∞), функция убывает при xϵ[-3;1].

5. Видно, что в точке x=1 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому критическая точка x=1 – точка минимума. Найдём минимум функции y_min=-11. В точке x=-3 знак меняется с плюса на минус. Поэтому критическая точка x=-3 – точка максимума. Найдём максимум функции: y_max=21.

№ 571. Исследовать функцию на экстремумы y=_.

1. Область определения: R. Функция непрерывна.

2. Вычисляем производную : y’=2x-1.

3. Находим критические точки: y’=0.

2x-1=0

2x=1

x=1/2

4. Делим область определения на интервалы:

4. Функция возрастает при xϵ[1/2;+∞), функция убывает при xϵ(-∞;1/2].

5. Видно, что в точке x=1/2 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому критическая точка x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции y_min=-6,25.

5.3адание на дом.

Домашнее задание будет заключаться в следующем: провести исследование функции на монотонность и точки экстремума и выучить достаточные и необходимые условия монотонности и существования экстремумов функции.

№ 572 – _;

№ 573 – _;

№ 575 – _.

6.Подведение итогов.

Спасибо за работу. Занятие окончено.

Список использованной литературы

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. – СПб: Издательство «Лань», 2011

2. Дадаян А. А. Сборник задач по математике. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007

3. Дадаян А. А. Математика: учебник. – М.: ФОРУМ, 2008