Производная в задачах ЕГЭ. Задача В9, 11 класс

МОУ "Гимназия "Дмитров""

Московская область

г. Дмитров

Конспект урока по математике в 11 классе

"Производная в задачах ЕГЭ. Задача В9"

подготовила учитель математики

Сергеева Ирина Анатольевна

Дмитров, 2013

ЦЕЛИ УРОКА:

Учебные:

Повторить теоретические сведения по теме, необходимые для решения рассматриваемых задач.

Обобщить, закрепить и углубить имеющиеся знания по теме «Производная».

Научить применять полученные теоретические знания при решении различного типа математических задач.

Подготовка к ЕГЭ. Разработка рекомендаций к системе подготовки по решению задач типа В9.

Воспитательные:

Обучение навыкам: планирования деятельности, работы в оптимальном темпе, работы в группах, подведения итогов.

Развитие умения оценивать свои способности, свое положение в паре, умение контактировать с товарищами.

Воспитывать чувства ответственности и сопереживания.

Способствовать воспитанию умения работать в команде; умения критически относиться к мнению одноклассников.

Развивающие:

Развивать у учащихся умение находить нужную справочную литературу, самостоятельно добывать знания, учить самодиагностике.

Учить формированию ключевых понятий изучаемой темы.

Развитие исследовательских навыков. Развитие умения анализировать, систематизировать, интерпретировать полученные результаты.

Тип урока: комбинированный: обобщение, закрепление навыков применения свойств элементарных функций, применение уже сформированных знаний, умений и навыков применения производной в нестандартных ситуациях.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

Ход Урока:

1. Вступительное слово учителя: (3 мин)

«Помимо проблемы итоговой аттестации (решение задач В9, В15) возникают вопросы и сомнения, в какой мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы в дальнейшем».

Зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной - это мгновенная скорость.

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница, который использовал понятие бесконечно малой. Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

2.Основная часть

Презентации учащихся

1 группа: "Геометрический смысл производной" (3 мин)

Работа в парах. (10 мин)

Решение задач 1 части раздаточного материала «Геометрический смысл производной», с дальнейшей самопроверкой.

1 часть. Геометрический смысл производной

Зарядка для глаз (1 мин)

2 группа: "Применение производной к исследованию функции" (3 мин)

Решение задач 2 части раздаточного материала «Применение производной к исследованию функции», с дальнейшей самопроверкой. (15 мин)

2 часть. Применение производной к исследованию функций

3 группа: "Физический смысл производной" (3 мин)

Решение задач 3 части раздаточного материала «Физический смысл производной», с дальнейшей самопроверкой. (3 мин)

3 часть. Физический смысл производной

№1. Ребенок на санках в первые 4 с движения с горки проезжал расстояние, заданное формулой

. Найдите его ускорение в момент времени t = 3 с.

4 часть. (Рефлексия)

От каждой группы разработать и предоставить на уроке рекомендации (алгоритмы) к решения заданий типа В9, для создания сборника "В помощь выпускнику при сдаче ЕГЭ по математике".

1. На рисунке изображен график производной. Что необходимо сделать, чтобы найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой y=kx+b (№1, геометрический смысл производной)

2. На рисунке изображен график функции и касательная к нему, в точке с абсциссой x_о. Что необходимо сделать, чтобы найти значение производно функции в точке x_о.(№2, геометрический смысл производной)

3. Дана функция и прямая y=kx+b, параллельная касательной к графику функции. Что необходимо сделать, чтобы не выполняя построений, найти абсциссу точки касания (№1, применение производной)

4. На рисунке изображен график производной . Сто необходимо сделать, чтобы найти промежутки убывания функции и в ответе указать длину наибольшего из них. (№3, применение производной)

5. На рисунке изображен график производной . Что необходимо сделать, чтобы найти промежутки возрастания функции и в ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки (№4, применение производной)

6. . На рисунке изображен график производной . Что необходимо сделать, чтобы найти точки экстремума и распознать их характер (№5, применение производной)

7. На рисунке изображен график производной . Что необходимо сделать, чтобы найти количество точек минимума (№7, применение производной)

8. На рисунке изображен график функции . Что необходимо сделать, чтобы определить количество целых точек, в которых производная отрицательна. (№9, применение производной)

9. Движение материальной точки задается формулой S(t). Что необходимо сделать, чтобы найти скорость материальной точки в момент времени t₀. (№1, физический смысл производной)

10. Движение материальной точки задается формулой S(t). Что необходимо сделать, чтобы найти, в какой момент времени ускорение будет равно a₀ . ((№1, физический смысл производной)

3. Решение задачи повышенного уровня сложности (если останется время)

Задача:

Найдите площадь треугольника, две вершины которого лежат на графике функции и имеют абсциссы 21 и -21, а третья вершинная является пересечением касательных, проведённых к графику данной функции в двух первых вершинах треугольника.

Решение:

1.Область определения функции задаётся неравенством , откуда получаем или .

2. При , функция принимает вид ; найдём её производную , а также значения функции и производной в точке : . Используя полученные результаты, составим уравнение касательной ;

.

3. При , функция принимает вид ; найдём её производную , а также значения функции и производной в точке : . Уравнение касательной имеет вид

.

4. Найдём абсциссу точки пересечения касательных. Для этого решим уравнение . Следовательно, ордината точки пересечения:.

Таким образом, координаты вершин треугольника: A(-21;-24);

В(21;-24) и С(0;-8,25). Ординаты точек А и В равны, значит, сторона АВ параллельна оси абсцисс ОХ. Следовательно, высота треугольника, проведённая из вершины С: h=. Тогда искомая площадь треугольника АВС: