Трюк с биномиальными коэффициентами

С биномиальными коэффициентами проще иметь дело, когда их аргументами являются целые неотрицательные числа, однако возможны и полезны и более общие рассуждения. Наиболее полезно обычно рассматривать случай, когда нижний индекс — вещественное число, а верхний индекс — целое число, сделав при этом предположение, что оба аргумента могут быть вещественными или даже комплексными.

Например, рассмотрим тождество

которое верно для всех вещественных .

Это тождество очевидно для всех целых неотрицательных . Убедиться в этом довольно легко, нужно лишь выписать выражения для биномиальных коэффициентов и .

Но подождите минутку. Мы утверждали, что тождество верно для всех вещественных , а наше доказательство справедливо только тогда, когда целое неотрицательное… Разве это не обман?

Нет, это не обман. Обе части равенства являются полиномами относительно . Если два многочлена степени совпадают в точке, они должны совпадать и во всех остальных точках. Но эти полиномы равны в бесконечном числе точек, а именно для всех целых неотрицательных чисел, и поэтому они должны быть равны.

Это обычная хитрость при работе с биномиальными коэффициентами. Это позволяет нам использовать комбинаторные аргументы для доказательства теорем, которые распространяются на случаи, когда биномиальные коэффициенты не имеют комбинаторной интерпретации. Но это также полезно и в более общих случаях. Часто, когда составляют уравнение, говорят, что два многочлена равны, хотя мы не думаем о частях уравнения как полиномах. Но если мы признаем, что это многочлены, для доказательства тождественности нам нужно будет только доказать равенство левой и правой частей уравнения в конечном числе точек.

Подобная техника является общей и для комплексных переменных. Часто доказывают тождество, считая переменные вещественными, комплексную версию при этом получают бесплатно. Например, все тригонометрические тождества, которые вы видели в школе, остаются в силе, когда аргументы являются комплексными числами. Почему? Потому что аналитические функции — это, грубо говоря, полиномы бесконечной степени (то есть они представимы в виде сходящихся степенных рядов). Если две аналитические функции совпадают на бесконечном множестве, содержащем предельные точки (например, на прямой), то они совпадают всюду.