Задачи с параметром в школьном курсе математики 8-го класса

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры обучающихся. Они имеют принципиально исследовательский характер, и с этим связаны как методическое значение таких задач, так и трудности выработки навыков их решения. Важность понятия параметра связана с тем, что, как правило, именно в терминах параметров происходит описание свойств математических объектов: функций, уравнений, неравенств. Под параметрами мы понимаем входящие в алгебраические выражения величины, численные значения которых явно не заданы, однако считаются принадлежащими определенным числовым множествам обучающимся 8 класса известны линейная функция и ее частный случай- прямая пропорциональность:

Y=kx + b

(параметры k и b определяют расположение графика функции на плоскости и точки пересечения с осями), а также линейное и квадратное уравнение и соответствующие неравенства:

ax +b=0; ax²+bx+c=0

(параметры a,b и c определяют, вообще говоря, не только существование и количество корней, но и степень уравнения).

Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами. Ниже приводится система упражнений по решению и исследованию квадратных уравнений и неравенств с одним параметром в курсе 8 класса.

Квадратные уравнения с параметром

1.При каких значениях a уравнение ax²-x+3=0 имеет единственное решение?

Решение.

Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи:

а) a=0. При этом уравнении принимает вид –x+3=0, откуда x=3, т.е. решение единственно.

б) a≠0, тогда ax²-x+3=0 – квадратное уравнение, дискриминант D=1-12a. для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно чтобы D=0, откуда

ответ: a=0 или

2. при каких значениях a уравнение (a-2)x²+(4-2a)x+3=0 имеет единственное решение?

Решение.

1)При a=2 исходное уравнение не имеет решения.

2) a≠2, тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид

Искомые значения параметра- это корни дискриминанта, который обращается в нуль при a=5

Ответ: a=5

3. При каких значениях a уравнение ax²-4x+a+3=0 имеет более одного корня?

Решение.

1)При a=0 уравнение имеет единственный корень

2) При a≠0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант положителен, т.е. 16-4a²-12a>0, решая неравенство, получаем -4<a<1. Из этого промежутка следует исключить число нуль.

Ответ: -4<a<0 или 0<a<1.

4.При каких значениях a уравнения x²-a=0 и

равносильны?

Решение.

1)При a>0; x²-a=0 имеет два различных корня,

имеет один корень

Равносильности нет.

2)При a=0 решения уравнений совпадают

3)При a<0 ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. Как известно, такие уравнения считаются равносильными.

Ответ: a≤0

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у обучающихся при решении таких задач, и этим же объясняется справедливое включение задач с параметрами в экзаменационные работы в школе и на вступительных экзаменах в вузы.