Тема: «Квадратные уравнения. Основные понятия. Решение неполных квадратных уравнений»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

- формирование знаний учащихся о способах решения неполных квадратных уравнений в зависимости от вида неполного квадратного уравнения;

- развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

- развивать навыки самоконтроля;

- воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении неполных квадратных уравнений.

Оборудование:

- таблицы с формулами сокращенного умножения;

- раздаточный материал.

Структура урока:

- организационный момент;

- постановка цели урока;

- ознакомление с новым материалом;

- подведение итогов урока;

- постановка домашнего задания;

Ход урока:

1. Организационный момент.

Поверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.

2. Постановка цели урока.

Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы «Неполные квадратные уравнения». На предыдущем уроке мы с вами познакомились с видами неполных квадратных уравнений, научились преобразовывать уравнения и приводить к квадратным. Целью сегодняшнего нашего урока будет научиться решать неполные квадратные уравнения. А делать это вы будете с помощью учебных элементов, в которых дается описание способа решения того или иного вида неполного квадратного уравнения, а также задания для самостоятельной работы. Учебные элементы поделены на три уровня:

I-й уровень - содержит обязательный минимум, который должны выполнить все учащиеся. (обеспечивает при правильном выполнении оценку «3»);

II-й уровень – задания представлены в усложненном виде (обеспечивает при правильном выполнении оценку «4»);

III-й уровень - задания представлены в нестандартном виде и требуют большей подготовленности (обеспечивает при правильном выполнении оценку «5»);

Учебные элементы с 1-го по 4-й представляют собой I-й уровень сложности, учебный элемент № 5 - II-й уровень сложности, учебный элемент № 6 - III -й уровень сложности.

Эталоны ответов и критерии оценивания находятся у учителя.

Желаю удачи!

3. Ознакомление с новым материалом.

Каждый учащийся получает учебный элемент, читает указания учителя и выполняет самостоятельную работу. После чего сверяет свои ответы с эталонными и ставит набранное количество баллов в оценочный лист. После того, как учащийся набирает необходимое количество баллов, приступает к выполнению следующего учебного элемента.

4. Подведение итогов.

Учащиеся подводят итоги своей работы, оценивая самостоятельно согласно набранным баллам. Оценки выставляются в журнал.

5. Постановка домашнего задания.

Выполнить следующие задания:

а) устно - прочить § 19 учебника «Алгебра - 8»(А.Г.Мордкович) – пример 1.

б) письменно -

Учебный элемент № 1

Цель: закрепить умения решать уравнения вида х² = а.

Указания учителя

Вспомните правила решения уравнения х² = а. Для этого прочитайте пояснения, данные ниже.

Рассмотрим уравнение х² = а, где а – произвольное число. В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможны три случая.

Если а 0, то уравнение х² = а корней не имеет. Действительно, не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.

Если а = 0, то уравнение имеет один корень, равный нулю.

Если а  0, то уравнение имеет два корня:х₁ = и х₂ = - .

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

1) х² = 81 (1 балл)

2) х² = 0 (1 балл)

3) х² = - 36 (1 балл)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 3 балла, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 1

Цель: закрепить умения решать уравнения вида х² = а.

Указания учителя

Вспомните правила решения уравнения х² = а. Для этого прочитайте пояснения, данные ниже.

Рассмотрим уравнение х² = а, где а – произвольное число. В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможны три случая.

Если а 0, то уравнение х² = а корней не имеет. Действительно, не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.

Если а = 0, то уравнение имеет один корень, равный нулю.

Если а  0, то уравнение имеет два корня:х₁ = и х₂ = - .

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант II

1) х² = 36 (1 балл)

2) х² = 0 (1 балл)

3) х² = - 25 (1 балл)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 3 балла, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 2

Цель: научить учащихся решать уравнения вида ах² = 0.

Указания учителя

Прочитайте данные ниже пояснения.

Неполные квадратное уравнение вида ах² = 0, равносильно уравнению х² = 0 и поэтому имеет единственный корень, равный нулю.

Пример. Решите уравнение 4х² = 0.

Решение. Так как уравнение вида ах² = 0, равносильно уравнению х² = 0, то

4х² = 0

х² = 0

х = 0.

Ответ: х = 0.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант II

1) 5х² = 0 (1 балл)

2) - 8х² = 0 (1 балл)

3) (2 балла)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 3 баллов и более, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 2

Цель: научить учащихся решать уравнения вида ах² = 0.

Указания учителя

Прочитайте данные ниже пояснения.

Неполные квадратное уравнение вида ах² = 0, равносильно уравнению х² = 0 и поэтому имеет единственный корень, равный нулю.

Пример. Решите уравнение 4х² = 0.

Решение. Так как уравнение вида ах² = 0, равносильно уравнению х² = 0, то

4х² = 0

х² = 0

х = 0.

Ответ: х = 0.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

1) 14х² = 0 (1 балл)

2) - 7х² = 0 (1 балл)

3) (2 балла)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 3 баллов и более, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 3

Цель: научиться решать уравнения вида ах² + с = 0, где с0.

Указания учителя

Прочитайте данные ниже пояснения.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах² + с = 0, где с0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение , равносильное уравнению ах² + с = 0.

Так как с0, то

Если  0, то уравнение имеет два корня: .

Если  0, то уравнение не имеет корней.

Пример 1. Решите уравнение 4х² + 3= 0.

Решение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:

4х² = - 3

х² = -.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х² + 3= 0.

Ответ: корней нет.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

1) 4х² – 9 = 0. (2 балла)

2) - 0,1х² + 10 = 0 (2 балла)

3) 6х² + 24 = 0. (3 балла)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 5 баллов и более, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 3

Цель: научиться решать уравнения вида ах² + с = 0, где с0.

Указания учителя

Прочитайте данные ниже пояснения.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах² + с = 0, где с0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение , равносильное уравнению ах² + с = 0.

Так как с0, то

Если  0, то уравнение имеет два корня: .

Если  0, то уравнение не имеет корней.

Пример 1. Решите уравнение 4х² + 3= 0.

Решение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:

4х² = - 3

х² = -.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х² + 3= 0.

Ответ: корней нет.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

1) 2х² – 18 = 0. (2 балла)

2) - 0,2х² + 20 = 0 (2 балла)

3) 3х² + 12 = 0 (3 балла)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 5 баллов и более, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 4

Цель: научить учащихся решать уравнения вида ах² +вх = 0, где в0.

Указания учителя

Прочитайте данные ниже пояснения.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах² +вх = 0, где в0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение

х ( ах +в) = 0.

Произведение х ( ах +в) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

х = 0 или ( ах +в) = 0.

Решая уравнение ( ах +в) = 0, в котором а0, находим: ах = - в,

х = -.

Следовательно, произведение х ( ах +в) обращается в нуль при х = 0 и при х = -.

Корнями уравнения х ( ах +в) являются числа 0 и -.

Значит, неполное квадратное уравнение вида ах² +вх = 0, где в0 всегда имеет два корня.

Пример. Решите уравнение 4х² + 9х = 0.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:

х (4х + 9) = 0.

Отсюда х = 0 или 4х + 9 = 0.

Решим уравнение 4х + 9 = 0: 4х = - 9

х = -

х = - 2.

Ответ: х₁ = 0, х₂ = - 2.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

1) 3х² - 4х = 0. (2 балла)

2) -5х² + 6х = 0. (3 балла)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 4

Цель: научить учащихся решать уравнения вида ах² +вх = 0, где в0.

Указания учителя

Прочитайте данные ниже пояснения.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах² +вх = 0, где в0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение

х ( ах +в) = 0.

Произведение х ( ах +в) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

х = 0 или ( ах +в) = 0.

Решая уравнение ( ах +в) = 0, в котором а0, находим: ах = - в,

х = -.

Следовательно, произведение х ( ах +в) обращается в нуль при х = 0 и при х = -.

Корнями уравнения х ( ах +в) являются числа 0 и -.

Значит, неполное квадратное уравнение вида ах² +вх = 0, где в0 всегда имеет два корня.

Пример. Решите уравнение 4х² + 9х = 0.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:

х (4х + 9) = 0.

Отсюда х = 0 или 4х + 9 = 0.

Решим уравнение 4х + 9 = 0: 4х = - 9

х = -

х = - 2.

Ответ: х₁ = 0, х₂ = - 2.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант II

1) 2х² - 3х = 0. (2 балла)

2) -14х² + 7х = 0. (3 балла)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 5

Цель: - закрепить умения учащихся решать неполные квадратные уравнения;

- проверить умения учащихся выбирать способ решения неполных квадратных уравнений в усложненных заданиях.

Указания учителя

Вы прошли I уровень усвоения материала. Теперь вы самостоятельно выбираете способ решения неполных квадратных уравнений в предложенных заданиях. Для этого вспомните все способы решения неполных квадратных уравнений. Пройденных в 1 - 4 учебных элементах.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

1) 2 = 7х² + 2 (2 балла)

2) 2х² = 3х (2 балла)

3) 4х² – 11 = х² – 11 + 9х (3 балла)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 5 баллов и более, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 5

Цель: - закрепить умения учащихся решать неполные квадратные уравнения;

- проверить умения учащихся выбирать способ решения неполных квадратных уравнений в усложненных заданиях.

Указания учителя

Вы прошли I уровень усвоения материала. Теперь вы самостоятельно выбираете способ решения неполных квадратных уравнений в предложенных заданиях. Для этого вспомните все способы решения неполных квадратных уравнений. Пройденных в 1 - 4 учебных элементах.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант II

1) 9х² – 1 = -1 (2 балла)

2) 3х² = -2х (2 балла)

3) 7х² + 3 = 2х² + 15х + 3 (3 балла)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 5 баллов и более, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 6

Цель: - проверить знания и умения учащихся решать неполные квадратные уравнения в предложенных заданиях.

Указания учителя

Молодцы! Вы освоили решение неполных квадратных уравнений II уровня сложности Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений при решении неполных квадратных уравнений в более сложных заданиях.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

1) (х - 1)(х + 1) = 2х -1 (2 балла)

2) (х + 3)(х - 4) = -12 (2 балла)

3) (2х -1)² - 1 = 0 (3 балла)

Указания учителя

В случае затруднений воспользуйтесь подсказками, данными ниже.

1. Воспользуйтесь формулой сокращенного умножения: а² - в² = (а - в)(а + в).

2. Перемножьте скобки, приведите подобные слагаемые.

3. Воспользуйтесь формулой сокращенного умножения: (а - в) = а² – 2ав + в².

Проверьте и оцените свои работы.