Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой

Нестандартные случаи вычисления площади криволинейной трапеции с помощью интеграла

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе.

Учитель: Алябьева Е.А. (высшая категория).

Тема урока: «Нестандартные случаи нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла»

Тип урока. Комбинированный.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Методы организации учебной деятельности: словесный, наглядный, исследование.

Цели урока.

Образовательные.

Проверить и закрепить умения и навыки в вычислении интегралов по формуле Ньютона-Лейбница и площадей фигур.

Познакомить с нестандартным приемом вычисления определенного интеграла с обратимой подынтегральной функцией.

Познакомить учащихся с историей развития интегрального исчисления.

Развивающие.

Развитие интереса к предмету.

Активизация мыслительной деятельности.

Развитие научного мировоззрения, творческого мышления посредством исследовательской работы.

Воспитательные.

Формирование навыков самостоятельной исследовательской работы и работы в группах.

Выработка внимания.

Оборудование: таблица первообразных, портреты ученых, кодоскоп, раздаточный материал с заданиями для групп и с индивидуальными заданиями.

Ход урока.

I. Организационно-мотивационный момент (1-2 мин)

Учитель объявляет тему и цели урока.

II. Актуализация опорных знаний (3 мин)

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение криволинейной трапеции.

2. Какова формула для вычисления площади криволинейной трапеции.

3. Объясните геометрический смысл интеграла.

4. Какова формула Ньютона- Лейбница.

III. Блиц – контрольная(10 мин):

Тексты работы находятся на столах у учащихся (см. Приложение 1.)

IV. Самопроверка решения блиц-контрольной

(текст контрольной записан на доске, ответы после каждого задания выписывает учитель со слов учеников)

По результатам контрольной (числа: 69, 73, 75, 90, 92) один из учеников дает историческую справку о развитии интегрального исчисления, а учитель вывешивает портреты ученых на доске:

1669 год – Ньютон разработал основы интегрального исчисления, решая геометрическую задачу квадратуры кривой ( площади криволинейной трапеции).

1673 год – Лейбниц установил взаимообратный характер операций дифференцирования и интегрирования.

1675 год – Лейбниц ввел понятие «интеграл», называя его суммой, и его обозначение ∫.

1690 год – Якоб Бернулли впервые в печати употребил термин «интеграл».

1692 год – Иоганн Бернулли систематизировал идеи и методы интегрального исчисления в работе «Математические лекции о методе интегралов».

V. Решение проблемной задачи.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = arcsin x, осью абсцисс и прямыми

х = ½ и х = 1.

Обсуждение проблемы в группах по 4 человека («Мозговой штурм»).– 1 мин.

Презентация версий от каждой группы.

Решение задачи:

– выбор способа решения (переход к обратной функции х = siny).

– рассмотрение криволинейных трапеций с площадями S = и S₁ =

(учитель проецирует соответствующие чертежи на экран)

– запись решения на доске (ученик) :

S = .

S = .

VI. Выполнение исследовательской работы.

Тексты находятся на столах учащихся (см. Приложение 2).

VII. Заслушивание выводов выполнения исследовательской работы (озвучивают учащиеся, выполнившие работу до конца):

«Если f(x) – непрерывная, обратимая на [a;b] функция и g(y) – обратная для f функция, определенная на [f(a);f(b)], то = ».

VIII. Подведение итогов урока.

Выполнил___________________

Блиц – контрольная

Вариант 1.

1. Вычислите интеграл:

0

= ( ) ₌

2. Найдите площадь фигуры, изображенной на чертеже:

3

. При каких положительных значениях m верно равенство:

Р

1

ешение: 1) = ____dx = ( ) =

2) _____________= 4

Приложение 1

Выполнил___________________

Блиц – контрольная

Вариант 2.

1. Найдите площадь фигуры, изображенной на чертеже:

2

36

. Вычислите интеграл:

1

= ( ) ₌

3

. Вычислите интеграл:

0

= _______dx = ( ) _{= =}

Приложение 2

Выполнил (и)________________________

________________________

Исследовательская работа

«Вычисление определенного интеграла сведением его к соответствующему определенному интегралу от функции, обратной подынтегральной»

(вывод формулы).

Данные: 1) f – неотрицательная, дифференцируемая и обратимая на [a ; b] функция;

2) g – обратная для f функция, определенная на [f(a); f(b)] .

Результат исследования: формула для вычисления через соответствующий определенный интеграл от функции, обратной подынтегральной (g).

Анализ исходных данных.

у

у

у

у

۰

1).Выберите из предложенных функций (А, Б, В, Г) те, которые удовлетворяют данным исследования: __________________.

2).Обоснуйте свой выбор:_______________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Исследование.

Рассмотрите в исследовании одну из функций, выбранных вами в п.1.

I. Графическое исследование.

1. Выполните чертеж.

2. Укажите характер монотонности функции.

____________________________________________

3. Изобразите (штриховкой) на чертеже

криволинейную трапецию,

ограниченную линиями у = f(x), x = a, x = b, y = 0.

Площадь этой фигуры обозначьте S₁.

4. Изобразите (штриховкой) на чертеже фигуру,

ограниченную линиями

x = g(y), y = f(a), y = f(b), x = 0.

Площадь этой фигуры обозначьте S₂.

5. Выразите S₁ через S₂:

___________________________________________

Площади еще каких фигур вы использовали в полученном выражении?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

II. Аналитическое исследование.

1. Используя геометрический смысл интеграла, запишите формулу, которой выражается площадь S₁:__________________________________________________.

2. Используя геометрический смысл интеграла, запишите формулу, которой выражается площадь S₂:__________________________________________________.

3. Запишите формулы для вычисления площадей других фигур, используемых вами в п.5 графического исследования:____________________________________________.

4. Запишите формулу для вычисления через соответствующий определенный интеграл функции g:

_{_____________________________________________________________________________________________________________}

III. Вывод («если …, то …»).

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Исследуйте следующую функцию, выбранную вами в п.1 анализа исходных данных, по предложенной выше схеме.