Применение производной к построению графиков функций.

Алгебра и начала анализа 11 класс.

Автор: Димакова Ольга Николаевна – учитель математики МБОУ "СОШ №2 имени Героя Советского Союза И.Е.Жукова" г. Владимира

Цель урока: способствовать выработке умений и навыков применения производной к построению графиков функций, устранить пробелы в знаниях учащихся по этой теме.

Учебные задачи, направленные на достижение:

Личностного развития:

• продолжить развивать умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи,

• развивать логическое мышление, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач,

• развивать интерес к математическому творчеству и математических способностей.

Метапредметного развития:

• расширять кругозор,

• формировать общие способы интеллектуальной деятельности,

• продолжать развивать умение понимать и использовать математические средства наглядности.

Предметного развития:

• формировать умения и навыки применения производной к построению графиков функций в ходе выполнения упражнений.

Тип урока: урок закрепления материала.

Формы работы учащихся: индивидуальная, в парах, групповая.

Оборудование и материалы: карточки для работы в парах, индивидуальные карточки, карточки для работ групп, листы контроля.

Структура и ход урока:

I. Организационный момент. Сообщение темы урока. Настрой учащихся на работу.

II. Известно, что перевод алгебраической задачи на геометрический язык является эффективным средством решения задач, например, уравнений. А в жизни, после окончания школы, вы будете сталкиваться с необходимостью построения графиков функций?

Чтобы построить график функции, надо исследовать некоторые свойства функции. Давайте вспомним план исследования функции у=f(х) с помощью ее производной.

Найти:

1. область определения функции;

2. производную функции;

3. стационарные точки;

4. промежутки возрастания и убывания функции;

5. точки экстремума и значение функции в них;

6. точки пересечения с осями координат.

7. Определяем четность, нечетность функции.

А теперь давайте разберем задания, которые вам помогут при построении графиков функций по заданной формуле. А именно, исследуем некоторые свойства функций по их графикам.

Класс разбивается на пары, каждая из которых получает задание. Один из учащихся выступает в роли "учителя", другой в роли "ученика". У каждой пары есть лист контроля, в котором "учитель" оценивает ответы "ученика".

Задание 1.

Функция у=f(х) задана графиком. Укажите:

а) область определения функции;

б) при каких значениях х f(х)<-2;

в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

г) в каких точках графика касательные к нему параллельны оси абсцисс;

д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Задание 2.

Функция у=f(х) задана графиком. Укажите:

а) область определения функции;

б) при каких значениях х f(х)<0;

в) точки экстремума функции;

г) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

д) наибольшее и наименьшее значения функции.

III. На этом этапе урока класс разбивается на три группы (равноценных по своему составу). Каждой группе дается задание построить графики двух функций (одна легче, другая сложнее).

Задание 1 группы. Постройте графики функций у=х³+6х²+9х и у=⁴/_х-х.

Задание 2 группы. Постройте графики функций у=х⁴-2х²+2 и у=2:(х²-4).

Задание 3 группы. Постройте графики функций у=3х-¹/₉х³ и у=х²·√1+х.

Когда первые графики построены, представители каждой группы записывают на доске краткое исследование функции по плану и стоят график. Группы I→II, II→III,

III→I проверяют друг друга, задавая по номеру дополнительные вопросы.

После этого группы переходят к построению графиков вторых функций (более сложных). Решение оформляется на отдельных листах, которые потом вкладываются в папку "Математическая копилка". "Слабые" учащиеся в это время получают индивидуальные задания, которые потом проверяет учитель.

Индивидуальные задания: Постройте графики функций:

1. у=х³-3х

2. у=х⁴-2х²

3. у=4х⁵-5х⁴

IV. Подведение итогов урока.

Достигли ли мы сегодня цели урока? Кто не совсем еще разобрался в теме?

Домашнее задание:

"Сильные" учащиеся выполняют два задания из тех, которые не выполняла его группа. Построить графики функций у=⁴/_х-х, у=2:(х²-4), у=х²·√1+х.

"Слабые" учащиеся строят графики функций у=х⁴-5х², у=3х²-х³.