Разработка урока алгебры в 10-м классе по теме "Решение простейших иррациональных неравенств"

Юргенсон Вероника Александровна, учитель математики

Цель урока: вывести основные приемы решения иррациональных неравенств, продолжать учиться работать в парах, развивать навыки работы с текстом.

Приемы технологии, используемые на уроке: верные и неверные утверждения, таблица, кластер.

Материалы к  уроку: на каждого учащегося необходимо распечатать текст из Приложения 1 и карточку с вопросами «Верите ли Вы, что…».

ХОД УРОКА

Стадия вызова (5 минут)

Урок начинает учитель с небольшого вступления.

– Подумаем, что об этом мы уже знаем или предполагаем, что знаем. Создание кластера (используя обозначения ). Например:

– Вдумчиво прочитаем текст.
– Снова вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, обсудим – правы ли мы были, а если нет, то в чем ошиблись.
– Сформулируем на основании прочитанного текста теоремы, применяемые при решении неравенств.

– Итак, на столах лежат карточки с вопросами. Все вопросы начинаются со слов «Верите ли Вы, что…». Если Вы согласны с утверждением, то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак «+», если нет, то знак «–». Работаем в парах. Время работы 5 минут.

Содержание карточки:

После окончания работы учитель предлагает учащимся поделиться своим мнением с классом. (2 минуты). Учитель и ученик на равных позициях, никаких оценок, если учащийся желает, то может прокомментировать.

Заслушав ответы учащихся, учитель заполняет на доске первую строчку таблицы.

Стадия осмысления (10 минут)

Подводя итоги работы с таблицей, учитель приводит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем – правы  мы или нет. Ответы на вопросы можно получить, прочитав предлагаемый текст из пособия (Приложение 1). Для более вдумчивого чтения, читая текст, на его полях можно расставлять значки: «V» – уже это знал;
«+» – новая информация; «–» – думал иначе, «?» – не понял.
По окончании работы с текстом, каждый у себя в тетради заполняет таблицу:

И записываем правильное (по мнению учащегося) решение неравенств № 1, 2, 3 из текста.
Закончив работу, пары возвращаются к вопросам, рассмотренным в начале урока, заполняют столбик В и делятся своим мнением с классом. Учитель заполняет вторую строку таблицы на доске.
Но это пока еще не значит, что учащиеся правильно ответили на вопросы.

Стадия рефлексии

Учитель предлагает обсудить полученные результаты (10 минут). Три учащихся на доске записывают решения неравенств. Остальные отвечают на вопросы учителя, возникшие из результатов заполнения таблицы. Например:

– Вы утверждаете, что … утверждение неверное? Обоснуйте.
– Поясните, почему после чтения текста, отвечая на … вопрос, Ваше мнение изменилось? Какое же верное? 
– Найдите в тексте утверждение, подтверждающее Ваш ответ на … вопрос.

Рассматриваем предложенные решения, обсуждаем, корректируем.
Обязательно нужно выяснить, не осталось ли каких-либо вопросов по тексту (столбец «?»).

Завершение урока

Самостоятельно попытаться сформулировать и записать в схематичном виде теоремы равносильных переходов, использующихся при решении иррациональных неравенств. Работу выполняем самостоятельно на листочках, листочки сдаем на проверку. (5 минут).

Теоремы.
Неравенство 1. 
Неравенство 2. 
Неравенство 3. .

Приложение 1

Текст для самостоятельного изучения

Решение неравенства не требует практи­чески ничего, кроме умения свести его к решению про­стейших неравенств, не допустив при этом ни потери, ни приобретения решений. Для этого надо знать свойства функций, изучаемых в школе, и владеть основными по­нятиями, связанными с равносильностью неравенств. Необходимо иметь в виду, что решение неравенств по сравнению с решением уравнений имеет свои осо­бенности: одни и те же преобразования в применении к уравнениям и неравенствам приводят к разным ре­зультатам. Например, при умножении обеих частей уравнения на некоторый отличный от нуля множитель, имеющий смысл в ОДЗ, уравнение заменится равно­сильным, а для неравенства указанных требований на множитель недостаточно — надо еще требовать, чтобы он был положителен в ОДЗ. Точно так же возведение обеих частей уравнения в квадрат не приводит к потере кор­ней, а то же самое преобразование неравенства может привести и к приобретению, и к потере решений. К со­жалению, большинство забывают об этих особенностях.

Как ни удивительно, но большое количество ошибок допускается при решении простейших неравенств. Это происходит, по-видимому, именно из формально понимаемой аналогии между уравнениями и неравенствам. В дальнейшем мы часто будем пользоваться следующим утверждением.

Теорема. Если и на некотором множестве значений х, то неравенства и равносильны на этом множестве.

Доказательство. Пусть х₀ — произвольное ре­шение первого неравенства из рассматриваемого мно­жества значений х. Если , то из неравенства на основании теоремы о возведении в сте­пень числовых неравенств, следует неравенство . Если же , то очевидно, что из неравенства f(x₀) > 0 вытекает, что . Тем самым доказано, что всякое решение неравенства является решением неравенства .

Совершенно аналогично доказывается и обратное, что всякое решение неравенства яв­ляется решением неравенства . Тем самым теорема доказана. Заметим, что в формулировке теоремы строгие не­равенства и можно заме­нить на нестрогие: и . До­казательство этого факта проводится аналогично.

При решении неравенств можно приобрести лишние решения, причем они приобретаются как за счет расширения ОДЗ, так и в случае, когда не учтены знаки обеих ча­стей неравенства.

Однако, в отличие от уравнений, при возведении в степень неравенства можно и потерять решения. Учащиеся же, основываясь на неправильно понимае­мой аналогии с уравнениями, часто считают, что этого не может быть. Покажем на примерах, как можно приобрести или потерять решения при возведении неравенства в сте­пень. Начнем с примера, в котором можно получить лишние решения за счет расширения ОДЗ.

1. Решить неравенство .

Некоторые учащиеся дали такое «решение»: «По­скольку правая и левая части этого неравенства неотрицательны, то неравенство можно возвести в квадрат и получить равносильное неравенство . Квадратный трехчлен в левой части этого неравенства не имеет действительных корней, а потому это нера­венство справедливо для всех действительных х. Сле­довательно, и исходное неравенство справедливо для всех х». Это рассуждение кажется грамотным, однако оно имеет существенный дефект.

Оно будет верным лишь в ОДЗ исходного неравенства.

Правильное решение должно быть таким: в ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны; поэтому в ОДЗ оно равносильно неравенству , а значит, справедливо для всех х из ОДЗ. Теперь легко найти ОДЗ исходного неравенства, и тем самым полу­чить ответ:.

В следующем примере лишние решения получаются не за счет расширения ОДЗ, а вследствие возведения в степень без исследования знаков обеих частей нера­венства.

2. Решить неравенство: .

Вот пример рассуждения, при котором получаются лишние решения: «ОДЗ нашего неравенства: . Для любого х из ОДЗ справа стоит неотрицательное число, значит, слева стоит положительное число. По­этому после возведения в квадрат получим равносиль­ное неравенство , решения которого х > 1, а также х < —2. Учитывая ОДЗ исходного не­равенства, получаем ответ: х > 1, ».

На самом деле все х из промежутка не являются решениями исходного неравенства. Дело в том, что для х из ОДЗ правая часть неравенства дей­ствительно неотрицательна, зато левая при некоторых значениях х из ОДЗ — отрицательна. Ясно, что для этих х неравенство не выполняется, т. е. среди них нет решений нашего неравенства. И искать решения исход­ного неравенства надо среди тех х из ОДЗ, для кото­рых левая часть неравенства неотрицательна, т.е. среди . Вот для этих значений х обе части неравенства дей­ствительно неотрицательны, его можно возвести в ква­драт, получить неравенство , которое равносильно исходному на множестве . Теперь надо из решений неравенства выбрать те, которые будут удовлетворять условию . Они и будут давать решения исходного неравенства.

Это бу­дут х > 1.

Ошибка в приведенном выше рассуждении состоит в том, что произошла незаметная для учащегося подмена понятий. Действительно, для любого х, являю­щегося решением исходного неравенства, справа стоит неотрицательное число, а слева положительное число. Однако не все х из ОДЗ будут решениями исходного неравенства, а потому не для всех х из ОДЗ слева бу­дет положительное число. Учащийся слова «для лю­бого х, являющегося решением» заменил словами «для любого х из ОДЗ», и это привело его к ошибке.

3. Решить неравенство .

Если сразу возвести это неравенство в квадрат, то, даже учитывая ОДЗ, мы все равно потеряем решения. Действительно, ОДЗ этого неравенства . После возведения в квадрат получим неравенство , решением которого будут все х из промежутка —1 < х < 2. Некоторые учащиеся, убедившись, что все полученные х входят в ОДЗ, написали, что это и есть ответ. На самом же деле здесь потеряны ре­шения ; легко убедиться, что для любого числа из этого промежутка левая часть неравенства неотрицательна, а правая — отрицательна.

Правильное решение таково.

ОДЗ заданного неравенства состоит из всех . Левая часть его в ОДЗ неотрицательна, а правая мо­жет быть и положительной и отрицательной. Очевидно, что для тех х из ОДЗ, для которых правая часть отри­цательна, исходное неравенство будет справедливо. Зна­чит, все х из промежутка являются реше­ниями исходного неравенства.

Рассмотрим теперь значения . Для всех этих х обе части исходного неравенства неотрицательны, поэто­му неравенство можно вознести в квадрат и получить равносильное для всех неравенство . Решением последнего неравенства будут все х из промежутка

—1 < х < 2. Решением же исходного не­равенства в этом случае будут все х из промежутка .

Объединяя эти два случая, получаем, что решением исходного неравенства будут все значения х из проме­жутка .