Захарова Людмила Владимировна
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 59» г. Барнаула
учитель математики

[email protected]

№1 Простейшие тригонометрические уравнения

Цель: 1. Вывести формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;

2. Научиться решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью формул.

Оборудование: 1)Таблицы с графиками тригонометрических функций у=sinx, у=cosx, у=tgx, у=ctgx; 2)Таблица значений обратных тригонометрических функций; 3)Сводная таблица формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

План урока-лекции:

1.Вывод формул корней уравнения

а) sinx =a,

б) cosx=a,

в) tgx=a,

г) ctgx=а.

2. Устная фронтальная работа по закреплению полученных формул.

3. Письменная работа по закреплению изученного материала

Ход урока.

В алгебре, геометрии, физике и других предметах мы сталкиваемся с разнообразными задачами, решение которых связано с решением уравнений. Мы изучили свойства тригонометрических функций, поэтому естественно обратиться к уравнениям, в которых неизвестное содержится под знаком функций

Определение: Уравнения вида sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=а называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Очень важно научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, так как все способы и приемы решения любых тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим.

Начнем с того, что выведем формулы, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.

1.Уравнения вида sinx =a.

Решим уравнение sinx =a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=sinx и у=а.

1) Если а> 1 и а< -1, то уравнение sinх=а не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.

2) Если -1< а < 1, то по рисунку видно, что прямая у=а пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx=a имеет бесконечно много решений.

Так как период синуса равен 2, то для решения уравнения sinx=a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2.

Решением уравнения на [-/2; /2] по определению арксинуса х=arcsin a, а на [/2; 3/2] х=-arcsin a. Учитывая периодичность функции у=sinx получим следующие выражения

x=arcsin a+ 2n

х= -arcsin a+2n, n Z.

Обе серии решений можно объединить

х= ( -1)ⁿarcsin a+n, nZ.

В следующих трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:

Если а=-1, то sin x =-1, х=-/2+2n

Если а=1, то sin x =1, x =/2+2n

Если а=0, то sin x =0. x = n,

Пример: Решить уравнение sinx =1/2.

Составим формулы решений x=arcsin 1/2+ 2n

х= -arcsin a+2n

Вычислим значение arcsin1/2. Подставим найденное значение в формулы решений

x=/6+ 2n

х= 5/6+2n

или по общей формуле

х= ( -1)ⁿarcsin 1/2+n,

х= ( -1)ⁿ/6+n,

2. Уравнения вида cosx=a.

Решим уравнение cosx=a также графически, построив графики функций у= cosx и у=а.

1) Если а<-1 и а> 1, то уравнение cosx=a не имеет решений, так как графики не имеют общих точек.

2) Если -1<a< 1, то уравнение cosx=a имеет бесконечное множество решений.

Найдем все решения cosx=a на промежутке длины 2 так как период косинуса равен 2.

На [0; ] решением уравнения по определению арккосинуса будет х=arcos a. Учитывая четность функции косинус решением уравнения на [-;0] будет х=-arcos a.

Таким образом решения уравнения cosx=a х=+ arcos a+2 n,

В трех случаях будем пользоваться не общей формулой, а более простыми сотношениями:

Если а=-1, то cosx =-1, x =-/2+2n

Если а=1, то cosx =1, x = 2n,

Если а=0, то cosx =0. x =/2+n

Пример: Решить уравнение cos x =1/2,

Составим формулы решений x=arccos 1/2+ 2n

Вычислим значение arccos1/2.

Подставим найденное значение в формулы решений

X=+ /3+2n, nZ.

2. Уравнения вида tgx=a.

Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения tgx=a, достаточно найти все решения на любом промежутке длины . По определению арктангенса решение уравнения на (-/2; /2) есть arctga. Учитывая период функции все решения уравнения можно записать в виде

х= arctg a+ n, nZ.

Пример: Решите уравнение tg x = 3/3

Составим формулу для решения х= arctg 3/3 +n, nZ.

Вычислим значение арктангенса arctg 3/3= /6, тогда

х=/6+n, nZ.

Вывод формулы для решения уравнения сtgx=a можно предоставить учащимся.

Пример.

Решить уравнение ctg х = 1.

х = arcсtg 1 + n, nZ,

х = /4 + n, nZ.

В результате изученного материала учащиеся могут заполнить таблицу:

«Решение тригонометрических уравнений».

уравнение

формулы корней

sinx =a

х= ( -1)ⁿarcsin a+n, nZ.

cosx=a

х=+ arcos a+2 n, nZ.

tgx=a

х= arctg a+ n, nZ.

сtgx=a

х= arcсtg a+ n, nZ.

Упражнения для закрепления изученного материала.

1. (Устно ) Какие из записанных уравнений можно решить по формулам:

а) х= ( -1)ⁿarcsin a+n, nZ;

б) х=+ arcos a+2 n?

cos x = 2/2, tg x= 1 , sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x= 2/3, sin x = 3 , cos x = 2.

Какие из перечисленных уравнений не имеют решений?

2. Решите уравнения:

а) sin x = 0; д) sin x = 2/2; з) sin x = 2;

б) cos x = 2/2; е) cos x = -1/2; и) cos x = 1;

г) tg x = 3; ж) ctg x = -1; к) tg x = 1/ 3.

3. Решите уравнения:

а) sin 3x = 0; д) 2cos x = 1;

б) cos x/2 =1/2; е) 3 tg 3x =1;

г) sin x/4 = 1; ж) 2cos(2x+ /5) = 3.

При решении данных уравнений полезно записать правила для решения уравнений вида sinвx =a, и сsinвx =a, |a|<1.

sinвx =a, |a|<1.

вх= ( -1)ⁿ arcsin a+n, nZ,

х= ( -1)ⁿ 1/в arcsin a+n/в, nZ.

cosвx=a, |a|<1.

вx=+ arcos a+2 n, nZ,

х=+ 1/вarcos a+2 n/в, nZ,

сsinвx =a, |a|<1.

sinвx =a/с,

вх= ( -1)ⁿ arcsin a/с+n, nZ,

х= ( -1)ⁿ 1/в arcsin a/с+n/в, nZ.

с cos вx =a, |a|<1.

cos вx =a /с/.

X=+ 1/в arcos a/с+2 n/в.

Подведение итогов занятия:

1. Сегодня на занятии мы вывели формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

2. Разобрали примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

3. Заполнили таблицу, которую будем использовать для решения уравнений.

Домашнее задание.

№2 Решение тригонометрических уравнений

Цель: Изучить методы решения тригонометрических уравнений:1) приводимых к квадратным;2) приводимых к однородным тригонометрическим уравнениям.

Развивать у учащихся наблюдательность при применении различных способов решения тригонометрических уравнений.

1. Фронтальная работа с учащимися.

1. Назовите формулы корней тригонометрических уравнений cos x=a, sin x=a, tgx = a, ctg x = a.

2. Решите уравнения (устно):

cos x=-1, sin x=0, tgx =0, ctg x=1, cos x=1,5, sin x=0.

3. Найдите ошибки и подумайте о причинах ошибок.

cos x=1/2, х=+/6+2k, kZ.

sin x= 3/2, х= /3+k, kZ.

tgx = /4, x=1+ k, kZ.

2. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены некоторые наиболее часто встречающиеся методы решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй.

Например, если cоsх входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin² x, если sin²x, то его заменяем на 1-cos²x.

Пример.

Решить уравнение: 8sin² x - 6sin x -5 =0.

Решение: Обозначим sin x=t, тогда 8t²- 6t – 5=0,

D= 196,

t₁= -1/2, t₂= -5/4.

Выполним обратную замену и решим следующие уравнения.

sin x= -1/2,

х=(-1)^к+1/6+k, kZ.

sin x= -5/4.

Так как -5/4>1, то уравнение не имеет корней.

Ответ: х=(-1)^к+1/6+k, kZ.

Решение упражнений на закрепление.

Решить уравнение:

1) 2sin² x+ 3cos x = 0;

2) 5sin² x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin² x+ 3cos² x = -2sin x;

4) 3tg ²x +2 tgx-1=0.

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение:1) Уравнение вида a sinx +b cosx=0, (а=0, в=0) называется однородным уравнением первой степени относительно sin x и cos x.

Решается данное уравнение с помощью деления обеих его частей на cos x 0. В результате получается уравнение a tgx+b=0.

2) Уравнение вида a sin²x +b sinx cosx +c cos²x =0 называется однородным уравнением второй степени, где a, b, c какие-либо числа.

Если а=0, то уравнение решаем делением обеих частей на cos²x 0. В результате получаем уравнение a tg²x+ b tgx+с =0.

Замечание: Уравнение вида a sin mx +b cos mx=0 или

a sin² mx +b sin mx cos mx +c cos² mx =0 также являются однородными. Для их решения обе части уравнения делят на cos mx=0 или cos² mx=0

3) К однородным уравнениям могут быть сведены различные уравнения, которые первоначально не являются такими. Например, sin² mx +b sin mx cos mx +c cos² mx =d, и a sinx +b cosx=d. Для решения этих уравнений необходимо умножить правую часть на « тригонометрическую единицу» т.е. на sin²x + cos²x и выполнить математические преобразования.

Упражнения на закрепление изученного материала:

1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 sin²x – sin2x =3;

2) sin 2x+ cos2x = 0; 6) 3 sin²x + sinx cosx =2 cos²x ;

3) sin x+ 3cos x = 0; 7) 3 sin²x- sinx cosx =2;

4) sin²x -3 sinx cosx +2 cos²x =0

3.Подведение итогов урока . Домашнее задание.

На данном занятии в зависимости от подготовленности группы можно рассмотреть решение уравнений вида a sin mx +b cos mx=с, где а, b,с не равны нулю одновременно.

Упражнения на закрепление:

1. 3sin x + cos x=2;

2. 3sin 2x + cos 2x= 2;

3. sin x/3 + cos x/3=1;

4. 12sin x +5 cos x+13=0.

№ 3 Решение тригонометрических уравнений

Цель: 1) Изучить метод решения тригонометрических уравнений разложением на множители; научиться решать тригонометрические уравнения с использованием различных тригонометрических формул;

2) Проконтролировать: знание учащимися формул для решения простейших тригонометрических уравнений; умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

План занятия:

1. Проверка домашнего задания.

2. Математический диктант.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление изученного материала через решение уравнений различной сложности.

5. Самостоятельная работа.

6. Подведение итогов занятия. Домашнее задание.

Ход занятия:

1. Проверка домашнего задания (решение тригонометрических уравнений кратко записаны на доске).

2. Математический диктант.

В-1

1. Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

2. Как называется уравнение вида a sinx +b cosx=0? Укажите способ его решения.

3.Запишите формулу корней уравнения tgx = a (ctg x=a).

4. Запишите формулы корней уравнений вида cosx=a, где а=1, а=0, а=-1.

5. Запишите общую формулу корней уравнения sin x=a, |a|<1.

6. Как решаются уравнения вида acosx=b, |b|<1? Запишите формулу корней.

В-2

1. Запишите формулы корней уравнений cosx=a,|a|<1.

2. Запишите общую формулу корней уравнения

=a, |a|<1.

3. Как называются уравнения вида sin x=a, tgx = a, sin x=a?

4.Запишите формулы корней уравнения sin x=a, если а=1, а=0, а=-1.

5.Как решаются уравнения вида sin ax=b, |b|<1? Запишите формулу корней.

6. Какие уравнения называются однородными уравнениями второй степени? Как они решаются?

3. Изучение нового материала.

Метод разложения на множители.

Одним из наиболее употребительных методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители.

Если уравнение f(x) =0 можно представить в виде f₁(x) f₂(x) =0 , то задача сводится к решению двух уравнений f₁(x)=0, f₂(x) =0.

( С учащимися полезно вспомнить правило «Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл»)

4. Закрепление изученного материала через решение уравнений различной сложности.

1. (sin x-1/2)( sin x+1)=0; 2) (cosx- 2/2)( sin x+ 2/2)=0;(самост.)

3) sin² x+ sin x cosx=0; 4) sin² x- sin x =0;

5 ) sin 2x – cosx=0; 6) 4 cos² x -1 =0; (2-мя способами)

7) cosx+ cos3x=0; 8) sin 3x= sin 17x;

9) sin x+ sin 2x+ sin 3x=0; 10) cos3x cos5x

11) sin x cos5x =sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

12) 3 cosx sin x+ cos ²x=0(самост.)

13) 2 cos²x - sin (x- /2)+ tgx tg (x+/2)=0.

7. Самостоятельная работа.

Вариант-1 Вариант-2

1) 6sin² x+ 5sin x -1=0; 1) 3 cos ²x+2 cosx -5=0;

2) sin 2x – cos2x=0; 2) 3 cos x/2 - sin x/2=0;

3) 5sin² x+ sin x cosx -2 cos² х=2; 3) 4sin² x- sin x cosx +7cos² х=5;

4) sin x+sin5x=sin3x+sin7x; 4) sin x-sin 2x +sin 3x-sin 4x=0;

5) sin x+cosx=1. 5) sin x+cosx=2.

8. Подведение итогов урока. Домашнее задание.