Тамбовское областное государственное автономное образовательное учреждение – общеобразовательная школа – интернат

«Мичуринский лицей»

Уроки-практикумы по тригонометрии .

(материалы для учащихся 10 класса)

подготовила

учитель математики

Кузнецова Оксана Евгеньевна

Г. Мичуринск

2012год.

Пояснительная записка.

Предлагаемые материалы к урокам-практикумам по тригонометрии позволят учителю организовать на уроках тренинг-практикумы двух типов. Для практикумов,проводимых в начале изучения темы даются системы циклов взаимосвязанных задач.Их цель- не только отработка учащимися образовательного стандарта или материала максимально к нему близкого, но и формирование умений и навыков делать выводы , усматривать закономерности,»двигаясь» по материалу в направлении от простого к сложному. При этом ученик видит,на что следует обратить внимание. что следует доработать. Как оценивать такую работу, каждый учитель решает самостоятельно. Второй тип практикумов – практикумы

по накопительной системе. Их целесообразно проводить за несколько уроков до контроля. Порядок их проведения заключается в следующем: перед учеником три варианта работы разной степени сложности, он может выбирать любое задание из любого варианта, зная ,что за каждое задание он получает определенное количество баллов.Т.е. учащийся выстраивает индивидуальный маршрут работы. На таких уроках максимально отлажена обратная связь т.к. учитель проверяет правильность выполнения каждого задания, анализирует допущенные ошибки и т.д.

Если класс многочисленный, то можно разбить его на группы, каждая из которых

реализует свой маршрут. Критерий оценивания таких работ приводится.

http://rezjrc73.pedgazeta.ru/mydocs.php

Практикум 1

(40 мин.)

Вариант А

1 Переведите угол в 2 рад. В градусную меру.

2 Определите знак выражения sinπ cosπ tg π ctgπ.

3 Найдите cosα,tgα,ctgα, если sinα =, если π<α<π.

4 Упростите а) 1-sin²x+ctg²xsin²x

б) (1+ctg²x) ^-1+(1+tg²x)^-1

5 Вычислите sin²(π/4)+tg(-π/3)-cos(π/3)+ctg(π/6).

6 Какие значения может принимать выражение?

Вариант В

1 Вычислите cosπ-sinπ-3tg(-9π).

2 Найдите значение выражения sin³α+cos³α ,если sinα+cosα=1/2.

3 Докажите тождество: sin²αcos²β – cos²αsin²β = sin²α – sin²β.

4 Найдите значение выражения, если tg=2,x- угол первой четверти.

5 Сколько углов α на промежутке [-20π;30π] , удовлетворяющих условию sinα=0?

6 Задайте формулой α гдеР _α –точка тригонометрической окружности, симметричная точке Р_π/6.

Вариант С

1 Упростите выражение + sin2x + 1, если <x<.

2 Вычислите , если tg=3.

3 Вычислите tg⁴+ ctg⁴, если tg-ctg=m.

4 Найдите наименьшее значение выражения1-cos-2sin².

5 Найдите множество дoпустимых значений переменой в выражении.

Практикум 2 ( 60 мин.)

1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант

ЦИКЛ 1 ЦИКЛ 1 ЦИКЛ 1

Упростите Упростите Упростите

1) sin(-) 1)cos(-2x) 1) tg(-)

2) sin( - ) 2)cos(2x-) 2) tg (-)

3) 3sin²( -) 3) cos²(2x-270^◦) 3) tg⁴( -)

4) sin⁵ (-) 4) cos³(270^◦-2x) 4)tg³( -)

ЦИКЛ 2 ЦИКЛ 2 ЦИКЛ 2

Вычислите Вычислите Приведите cos0,7 к 5) cos 60 ^◦ 5) sin тригонометрической

функции угла

6)cos(180^◦– 60^◦) 6)sin( +)

7) cos120 ^◦ 7)cos 5) из промежутка (0;)

8)cos(-480^◦) 8) cos(- ) 6) из ( ;2)

7) из ( ;3)

8) из (- ;0)

ЦИКЛ 3 ЦИКЛ 3 ЦИКЛ 3

9) Упростите: 9) Упростите: 9) Упростите:

cos2x+cos(3-2x) tgtg(-) sin²+sin²(+)

Вычислите : Вычислите Вычислите

10)cos20^◦+cos160^◦+ 10)tg10^◦tg80^◦ 10) cos²15^◦+cos²75^◦

+cos180^◦

11)cos20^◦+cos40^◦+cos60^◦+…+ 11)tg19^◦tg20^◦tg30^◦…tg80^◦ 11)sin210^◦+sin215^◦+sin220^◦+…+

+cos160^◦+cos180^◦ +sin285^◦+sin290^◦

4 ЦИКЛ 4 ЦИКЛ 4 ЦИКЛ 4

Упростите Упростите Упростите

12)sin⁴+cos⁴(-) -1 12) 12)cos⁶( -x)+sin⁶(+x)-1

13) 13) 13

ПРАКТИКУМ № 3 ( 80 мин)

Вариант А

1 Вычислите sin15^◦ ( 2 способа).

2 Вычислите.

3 Дано: sin=-, <<. Вычислите sin(-).

4 Вычислите а) б).

5 Вычислите sincos.

6 Упростите 2sin² + cos ( два способа).

7 Докажите тождество ctg-sin2=ctgcos2.

8 Найдите наибольшее значение выражения sin.

Вариант В

1 Упростите .

2 Найдите значение выражения cos40^◦+tg20^◦sin40^◦.

3 Упростите .

4 Вычислите cos.

5 Упростите , 0.

6 Возможно ли равенство 3sin x+4cosx=7 ?

Вариант С

1 Дано: sin(+)=,<<. Найти sin.

2 Найдите значение выражения sin⁴+cos⁴+sin⁴+cos⁴.

3 Упростите .

4 Докажите тождество cos cos cos …cos = .

5 Упростите : tg9^◦+tg15^◦-tg27^◦-ctg27^◦+ctg9^◦+ctg15^◦ .

Практикум №4

Преобразование суммы тригонометрических выражений в произведение.

Преобразование произведения тригонометрических выражений в сумму. (40мин.)

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

ЦИКЛ 1 ЦИКЛ 1 ЦИКЛ 1

Представьте в виде произведения:

1) cos 1) sin 1) sin

2) sin 2) cos 2) cos

3) 3) cos 3)

4) 4) 2cos 4)

5) 5) 5) 3 -

6) 6) 6)

ЦИКЛ 2 ЦИКЛ 2 ЦИКЛ 2

Представьте в виде суммы:

7) 7) 7)

8) 8) 8)

9) sin 9) 9)

Докажите тождество

10)( 1 вариант)

10) ( 2 вариант)

10) ( 3 Вариант)

Практикум №5

Преобразование тригонометрических выражений и доказательство тождеств.

(80мин.)

Вариант А

1. Упростите:.

2. Найдите значение выражения: 2(, если sin.

3) Упростите выражение .

4) Найдите: tgx, если sinx=,0<x<.

5)Докажите тождество: 1-.

6) Докажите тождество:

7) Упростите:

8. Вычислите: cos⁴22,5^◦-sin⁴22,5 ^◦ .

9. Вычислите: 1-2.

Вариант В

1) Упростите: 0,125-

2) Вычислите: .

3) Вычислите:

4)Упростите (1-2sin

5) Найдите значение выражения:

6) Докажите тождество:

7) Упростите выражение:

8) Докажите неравенство: sin(x+2)cos(x-2)<sin(x+3)cos(x-3)

Вариант С

1) Упростите выражение sin.

2) Найдите sin18.

3) Вычислите значение выражения sin

4) Найдите , если sin-4 четверти.

5) Решить неравенство:

Практикум №6

Графики и свойства тригонометрических функций (80 мин.)

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

ЦИКЛ 1

Для данной функции

y = cos (x -

y = sin

y = - tg x

Ответьте на вопросы:

1) область определения функции,

2) множество значений функции,

3) исследовать функцию на четность,

4) период функции,

5) множество значений функции на промежуте: а) , б) ,

6) промежутки монотонности.

ЦИКЛ 2

Постройте графики функций.

1) y = cos x

1) y = sin x

1) y = tg x

2) y = 2cos x – 1

2) y = -sin x + 2

2) y = tg x – 2

3) y = cos 2x

3) y = sin

3) y = tg x

4) y = 2cos(x +

4) y = -sin( x +

4) y = tg ( x -

5) y = -

5) y =

5) y = -2tg(2x -

6) y = -

6) y =

6) y = -2tg(2x -

ЦИКЛ 3

Определите период функции.

1) y = tg 2x

1) y = ctg

1) y = cos

2) y = tg 2x + cos 3x

2) y = cos 2x-sin 6x

2) y = cos

3) y = sin 2x cos 3x

3) y = cos2x sin 6x

3) y = cos

4) y =

4) y =

4) y =

5) y = tg 2x cos 3x

5) y = ctg

5) y = ctg

Практикум № 7

Простейшие тригонометрические уравнения.(60-80мин.)

Цикл 1

Решите уравнения.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

1) sin 2x = -1

1) cos(x-1) = -1

1) cos( = 1

2) sin 2x = -1/2

2) cos(x-1)= -1/2

2) cos( = 0

3) sin2x = 0

3) cos(x-1) = 0

3) cos( = 1/2

4) sin 2x = 1./2

4) cos(x-1) = 1/2

4) cos(= -1/2

5) sin2x = 1

5) cos(x-1) = 1

5) cos( = -1

6) sin2x = a

6) cos(x-1) = a

6) cos( = a

7)

7)

7)

Цикл 2

Решите уравнения.

1) tg(3-x) = 1

1) ctg( = -1

1) tg7x = -1

2) tg(3-x) = ½

2) ctg( = -1/2

2) tg7x = -1/2

3) tg(3-x) = 0

3) ctg( = 0

3) tg7x = 0

4) tg(3-x) = -1/2

4) ctg( = 1/2

4) tg7x = 1/2

5) tg (3-x) = -1

5) ctg( = 1

5) tg7x = 1

6) Найдите область определения уравнения

.

6) Найдите область определения уравнения

.

6) Найдите область определения уравнения

.

7) Сравните области определения уравнений

ctg(3-x)=1/2.

7. Сравните области определения уравнений

,

tg(.

7. Сравните области определения уравнений

, 2ctg7x = 1.

Цикл 3

Для данного уравнения

cos(- x)+

+sin(+ x) =

сos

cos2xcos(

ответьте на вопросы:

1. наименьший положительный корень уравнения,

2. наибольший отрицательный корень уравнения,

3) количество корней уравнения на промежутке(0; ),

4) корень, ближайший к 1,

5) корни, удовлетворяющие неравенству x²<4.

Цикл 4

Решите уравнение.

1) sin²x-1/4 = 0

1) cos²x-3/4 = 0

1)sin²x-3/4 = 0

2) cos x -/2 = 0

2) sin x – 1.2 = 0

2) cos x -1/2 = 0

3)

3)

3)

Практикум № 8

Решение простейших тригонометрических уравнений.( 40 мин.)

Вариант А

Решите уравнение:

1. sin(

2. 2cos

3. 2sin(

4. ctg(

5) Укажите все корни уравнения sin x cos(3-x)= из промежутка (0;2) .

Вариант В

1. Укажите все неположительные корни уравнения .

2. Решите уравнение : (.

3. Решите уравнение : sin((x+.

4) Решите уравнение: cos

5) Решите уравнение с параметром sin(x-5) = m.

Вариант С

1. Решите уравнение: cos 2x tgx + tg x- cos 2x = 1.

2) Решите уравнение с параметром sin(x²+2x) = 2m.

.3) Решите уравнение с параметром ctg.

4) Решите уравнение:

Практикум №9

Взять залания на усмотрение учителя из практикума № 6,заменив знак «=» на знаки неравенств.

Практикум № 10.

Решение тригонометрических уравнений. ( 40 мин,)

Вариант А.

Решите уравнения:

1. 3sin²2x+10sin2x+3 = 0,

2. cos2x+3sinx = 2,

3. sin(.

4. Найдите сумму корней уравнения sin =, принадлежащих промежутку .

5. Решите уравнение: sin²x-sin2x=3cos²x.

6. Решите уравнение 6sin²x+5sinxcosx+3cos²x=2 и укажите количество его корней из интервала .

Вариант В.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4) 4sin⁴x+3=7tg²x(1-sin²x),

5) .

Вариант С.

1. Найдите все корни уравнения (cos

2. Укажите наименьшее значение параметра b, при котором уравнение cos²x-(3+2b)cosx+6b=0 имеет хотя бы один корень.

3. Решите уравнение:.

Практикум №11.

Решение тригонометрических уравнений.

Вариант А.

1) Укажите корень уравнения cos, принадлежащий промежутку .

2) Укажите наименьший положительный корень уравнения 3cosx+sin(-2x)=0.

3) Решите уравнение: tg³x=tgx.

4) Решите уравнение:sin2x+2sinx=cosx+1.

5) Решите уравнение: .

Вариант В.

Решите уравнение:

1. cos²+0,5,

2. sin³x+cos³x=3sinxcosx-1,

3. sin²x+0,25sin²2x-sinxsin²2x=0,

4. tg

5. Найдите сумму корней уравнения sin2из отрезка .

Вариант С.

1. Решите уравнение: cos

2) Укажите все решения уравнения 4sin²x(1+cos2x)=1-cos2x, удовлетворяющие неравенству x²<4.

3) При каких значениях параметра a уравнение cos²x- acosx=0 имеет хотя бы одно решение?

Практикум №12.

Решение тригонометрических уравнений. (40мин.)

Вариант А.

Решите уравнения:

1. 2cos

2. 

3) 5cos²x+6sinx-6=0,

4) 3sin²x-sinxcosx=2,

5).

Вариант В.

Решите уравнения:

1. sin=,

2. 5sin,

3)

4) 13sin²x+84sin2x-13cos²x+1=,

5) 3tg.

Вариант С.

1. Решите уравнение: cos x+cos16xcosx=.

2. Найдите количество корней уравнения на отрезке.

3) Решите уравнение: .

Практикум № 13.

Решение тригонометрических уравнений. (40 мин.)

Вариант А.

Решите уравнения:

1)

2)

3) .

4)

5) 1-cos=2sin

Вариант В.

Решите уравнения:

1)

2)

3) 4sin²x+sin²2x=3 и найдите корни, удовлетворяющие неравенству /x/<4,

4)

5)

Вариант С.

Решите уравнения:

1. (sinx+cosx)sin3x=2,

2. Sin(3x+5)-sin(x+1)=2sin(x+2),

3. 6tg²x-2cos²x=cos2x.

Практикум №14.

Решение тригонометрических уравнений.(40мин.)

Вариант А.

Решите уравнение:

1. cos²x-sin⁴2x=1,

2)

3)

4) cosxcos5x=cos6x и найдите сумму коней уравнения из промежутка, ответ дайте в градусах.

5) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

Вариант В.

Решите уравнения:

1) sinxcosx+6cosx+6=6sinx,

2) sin2x+tgx=2,

3) sin⁴x+cos³x=1,

4)

5) Найдите все корни уравнения удовлетворяющие условию <2.

Вариант С.

Решите уравнения:

1),

2) и найдите сумму корней из промежутка ,

3)

4) cos3x+3cosx=2sin3x.

Критерий оценивания практикумов по накопительной системе.

№ практикума

Кол-во баллов за одно задание А

Кол-во баллов за одно задание В

Кол-во баллов за одно задание С

Кол-во баллов на”3”

Кол-во баллов на

“4”

Кол-во баллов на “5”

1

2

3

5

12-15

16-18

от 19

3

1

2

5

8-11

12-24

от25

5

1

2

5

9-12

13-21

от25

8

1

3

5

5-7

8-14

от 25

10

1

2

5

5-8

9-14

от15

11

1

2

5

5-8

9-14

от 15

12

1

2

5

5-8

9-14

от15

13

1

2

5

5-7

8-13

от 14

14

1

2

5

5-8

9-14

от 15

Ответы .

Практикум №10

Вариант А

Вариант В

Вариант С

1)

1)

1) 0

2)

2)

2) -2;-1;3;4

3)

3)

3)-0,5

4) -60

4)

5) arctg3+ 6) 2

5)

Практикум №11

Вариант А

Вариант В

Вариант С

1) 2,5

1)

1)

2) 90

2)

2)

3)

3)

3) Указание: представить cos²

4)

4)

5)

5)0

Практикум №12

Вариант А

Вариант В

Вариант С

1)

1)

1) Указание: ввести вспомогательный аргумент, рассматривая уравнение asinx+bcosx=,a=1, b=cos16x.

2)

2) Указание: примените метод введения вспомогательного аргумента.

2)16

3)

3)

3) 2

4) -,

4)

5) решений нет

5) решений нет

Практикум №13

Вариант А

Вариант В

Вариант С

1) -

1)

1)

2)

2)

2) -2+

3)

3)

3)

4)

4) (-1)

5) 2

5)

Практикум №14

Вариант А

Вариант В

Вариант С

1) Указание: перенести в в правую часть уравнения cos²x.

1)

1)

2)

2)

2)

3)

3) Указание: представьтеsin⁴x=(1-cos²x)²

3)

4) 540

4) -

4) Указание: примените формулы тройного угла.

5) -180

5)

Список использованной литературы:

1.Шарыгин И.Ф. , Голубев В.И. Факультативный курс по математике, учебное пособие для учащихся 11 класса. М.: Просвещение, 1999.

2. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М.:Просвещение,1989.

3. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа.М.: Просвещение,2010.

Интернет-ресурсы

1. http://trigonometr.narod.ru/

2.http://www.alleng.ru

3. http://mirknig.com/2009/04/04/sbornik-knig-po-trigonometrii.html

4. http://aleshko.ucoz.kz/load/bank_didakticheskogo_materiala/testy_po_trigonometrii/12-1-0-348