Открытый урок по алгебре в 9 классе

Тема: «Характеристическое свойство геометрической прогрессии»

Цели урока:

1. Образовательные: вспомнить и обобщить те знания, которые ученики уже имеют по геометрической прогрессии; активизировать работу по применению этих знаний; вывести и доказать характеристическое свойство геометрической прогрессии; приобрести умение по применению характеристического свойства при решении простых задач.

2. Развивающие: формировать умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждение по аналогии, делать выводы на основе выявленных закономерностей, строить и интерпретировать модель некоторой реальной ситуации.

3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, а также активности, умению аргументировано отстаивать свои взгляды.

Тип урока: комбинированный урок.

Структура урока

1. Подготовительный этап.

2. Актуализация знаний, умений и навыков.

3. Изучение нового материала.

4. Отработка знаний, умений и навыков по теме.

5. Решение задач практического содержания.

6. Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока

1. Подготовительный этап (3 мин.).

– Сегодня мы с вами выведем новое свойство геометрической прогрессии.

– Но сначала проверим домашнее задание.

Один ученик вызывается к доске и записывает определение геометрической прогрессии, формулу n-го члена геометрической прогрессии и формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

С остальными учениками проверяем выполнение домашнего задания, опрашивая с места ответы в домашних заданиях.

№17.25 (а, в) а); в)

№17.27 (а, б) а) ; б)

№17.28 (а, в) а) ; в)

№17.29 (а, в) а) , ,

в), ,

2. Актуализация знаний, умений и навыков (7 мин.).

– Чтобы вспомнить все, что вы знаете о геометрической прогрессии, проведем устную работу по карточкам. Будут работать две группы: группа девочек и группа мальчиков.

Каждой группе выдаются карточки с выбором ответа. После выполнения заданий в каждой группе должно получиться свое слово.

1 группа.

Карточка №1

Номер

1

Ответ

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ,

М. 2

Б.

Х. –2

Г. 0,5

Ответ: Х

1 группа.

Карточка №2

Номер

2

Ответ

Найдите первый член геометрической прогрессии, если ,

Н. 12

А. 3

Ч. 6

О. 1,5

Ответ: А

1 группа.

Карточка №3

Номер

3

Ответ

Найдите четвертый член геометрической прогрессии, ^{если ,}

М. 54

Е. 81

Л. 162

К. –54

Ответ: К

1 группа.

Карточка №4

Номер

4

Ответ

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если – возрастающая, ,

Р. 2

Б. –4

Ф. 4

В. –2

Ответ: Р

1 группа.

Карточка №5

Номер

5

Ответ

Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, если ,

К. –160

Т. –80

У. –26

Г. 80

Ответ: Т

1 группа.

Карточка №6

Номер

6

Ответ

Найдите пятый член геометрической прогрессии, если

И. 8

Ю. 40

Е. 4

А. 2

Ответ: Е

2 группа.

Карточка №1

Номер

1

Ответ

Найдите знаменатель геометрической прогрессии ,

У. –3

С.

Т.

А. 3

Ответ: С

2 группа.

Карточка №2

Номер

2

Ответ

Найдите первый член геометрической прогрессии, если ,

В. –2

Б.

Ч. 6

Г. 2

Ответ: В

2 группа.

Карточка №3

Номер

3

Ответ

Найдите четвертый член геометрической прогрессии, ^{если ,}

Е. 24

А. –48

Й. –24

И. 48

Ответ: Й

2 группа.

Карточка №4

Номер

4

Ответ

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если – знакочередующаяся, ,

Ю. 3

Б. –9

У. 9

О. –3

Ответ: О

2 группа.

Карточка №5

Номер

5

Ответ

Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, если ,

М. –21

Т. –85

Б. –255

Д. 85

Ответ: Т

1 группа

Под числом, соответствующим номеру задания, напишите букву.

1

2

4

2

3

5

6

4

Должно получиться слово ХАРАКТЕР.

2 группа

Под числом, соответствующим номеру задания, напишите букву.

1

2

4

3

1

5

2

4

Должно получиться слово СВОЙСТВО

Примечание:

1. Если будут присутствовать все ученики, то 1 группа – 4 девочки, 2 – группа – 3 мальчика.

2. Если не будет 1 девочки, то в группе девочек исключить Карточку №6, а букву в бланк написать учителю.

3. Карточки с заданием можно раздать с учетом уровня знаний ученика.

– В результате работы в 1 группе получилось слово Характер. По словарю Сергея Ивановича Ожегова характер – это отличительное свойство, качество, особенность кого-либо (чего-либо).

– Итак, сегодня мы с вами выведем еще одно свойство геометрической прогрессии – характеристическое свойство.

3. Изучение нового материала (14 мин.).

– Вам известно характеристическое свойство арифметической прогрессии, попробуем определить характеристическое свойство для геометрической прогрессии.

Рассмотрим последовательность чисел, являющуюся геометрической прогрессией

: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Выполните задания:

1. Найдите произведение членов этой прогрессии:

   с номерами 1 и 3

   = 4

   с номерами 2 и 4

   = 16

   с номерами 3 и 5

   = 64

2. Сравните полученное произведение с тем членом прогрессии, который находится между ними:

сравнить 4 и 2

сравнить 16 и 4

сравнить 64 и 8

– Какая закономерность существует?

– Произведение и равно квадрату

– Произведение и равно квадрату

– Произведение и равно квадрату

– В результате получили формулу…

– для

– Это свойство геометрической прогрессии называется характеристическим. Оно формулируется так: «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен произведению предыдущего и последующего членов».

– Докажем это свойство:

1. (по определению геометрической прогрессии для )

2. (по определению геометрической прогрессии)

3. Перемножим и , получим:

для

– Верно и обратное: если последовательность , состоящая из чисел, отличных от нуля, такова, что для любого выполняется равенство , то – геометрическая прогрессия.

– Доказательство этого утверждения разберите дома самостоятельно по учебнику стр. 166 – 167.

4. Отработка знаний, умений и навыков по теме (7 мин.).

№17.16 (а) – на доске учитель, ученики помогают.

а) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

– Из трех последовательных членов геометрической прогрессии известны первый и третий члены. Найти нужно второй член.

Дано:

, , ,

Найти:

Решение.

(характеристическое свойство)

или

Так как по условию , то – не подходит.

Ответ:

№17.31 (б) – ученики самостоятельно.

б) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

Дано:

, , ,

Найти: ,

Решение.

1) (характеристическое свойство)

или

Так как по условию , то .

2) (по определению)

Ответ: ,

№17.32 – вызвать к доске.

Найдите те значения t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Дано:

: t, 4t, 8

Найти: t

Решение.

1) Так как t, 4t, 8 – члены геометрической прогрессии, то (по определению геометрической прогрессии.

2) (характеристическое свойство)

Получим уравнение:

или

Так как , то .

Ответ:

5. Решение задач практического содержания (8 мин.).

№17.51 – на доске учитель вместе с учениками.

– Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

1. этап. Формализация – составление математической модели.

– К концу 1-ых двадцати минут будет бактерии.

К концу 2-ых двадцати минут будет бактерии.

К концу 3-их двадцати минут будет бактерий.

и т.д.

Получили последовательность: 2, 4, 8, …

Так как (), то данная последовательность является геометрической прогрессией, причем

– Какой же член геометрической прогрессии соответствует концу суток?

– Для этого нужно знать сколько раз 20 минут укладывается в сутках.

– В одном часе двадцать минут укладывается 3 раза, в сутках 24 часа, поэтому в сутках 72 раза укладывается по двадцать минут.

– Итак, к концу суток в организме будет бактерии. Математическая модель задачи будет представлять формулу 72-го ^{члена: , где} ,

2. этап. Работа с составленной модели.

3. этап. Ответ на вопрос задачи.

– По вопросу задачи нужно было найти количество бактерий образующихся из одной бактерии, поэтому из полученного числа нужно вычесть исходную бактерию. Значит, к концу суток образовалось бактерий.

Ответ: бактерий.

6. Подведение итогов и домашнее задание (2 мин.).

1. В начале урока вспомнили определение геометрической прогрессии, формулу n-го члена геометрической прогрессии, формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, а также вы показали, как можете использовать эти знания при решении заданий.

2. Потом мы с вами открыли новое для вас характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого, равен произведению предшествующего и последующего членов.

,

3. Затем решили несколько номеров, в которых используется это характеристическое свойство.

4. В конце урока разобрали задачу практического содержания, в которой применяются свойства геометрической прогрессии.

5. Домашнее задание:

§17 (стр. 166 – 167) – доказательство.

№17.16(б), 17.31(а), 17.33, 17.52.

6. Объявить оценки за урок.