f (A) > 0 (3) f(A) < 0 (6)

Если в первой системе объединить условия (1) и (3) , а во второй условия (4) и (6), то получим новую систему :

x₀= -b/2a < A,

a∙ f(A) >0 .

Теорема 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х₁<А<х₂ тогда и только тогда, когда

а>0 или a<0

f (A) <0 f(A) >0

Запишем условия данных систем одним неравенством: a∙f(A) <0 .

Теорема 3. Оба корня больше числа А, то есть х₁>А и х₂>А тогда и только тогда, когда

а>0 (1) a<0 (4)

х₀ >А (2) или x₀ >A (5)

f(A) >0 (3) f(A)<0 (6)

Объединяя в первой системе условия (1) и (3), а во второй системе условия (4) и (6) , получим:

х₀ > А,

а∙f(A) >0 .

Теорема 4. Оба корня лежат между числами А и В, то есть А<х₁<В и А<х₂<В тогда и только тогда, когда

a>0 (1) a<0 (5)

A<x₀<B (2) или A< х₀ <B (6)

F (A) >0 (3) f(A) <0 (7)

f(b) >0 (4) f(B) < 0 (8)

Объединив условия (1), (3) и (4) первой системы и условия (5), (7) и (8) второй системы, получим

А < х₀ < В,

a∙f(A) > 0,

a∙f(B) > 0.

Теорема 5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [A;B], то есть х₁< А < В < х₂ тогда и только тогда, когда

а>0 a<0

f(A)<0 или f(A)>0

f(B)<0 f(B)>0

Упростив данные системы, получим :

a∙f(A)<0,

a∙f(B)<0 .

Рассмотрим вопросы практического применения теорем о знаках квадратного трехчлена и теорем о расположении корней квадратного трехчлена.

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х²+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных

положительных корня?

Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1( о знаках

корней квадратного трехчлена). Составим систему :

D= (a+1)²- 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,

x₁∙x₂=9>0, <=> a< -1.

-2∙(a+1)>0.

Решив последнюю систему, получим , что -∞<a< -4 .

Ответ :- ∞<a< -4 .

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х²-4х + (4-а²)=0 имеет два корня разных

знаков?

Решение. Воспользуемся теоремой 2 (о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а² <0

а² > 0

│а│> 2 => а< -2 или а> 2.

Ответ : а<-2 и а>2 .

Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х² – 2ах + а² – а- 6 =0 имеет два разных

отрицательных корня?

Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем

систему :

D>0 , а+6>0,

x₀<0 , a<0,

f(0)>0 ; a²-a-6>0.

Решив последнюю систему, получим -6<a<-2 .

Ответ : -6<a<-2.

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного

уравнения

х² + (4а+5)∙х + 3-2а =0.

Решение. Пусть х₁ и х₂ корни квадратного трехчлена, причем х₁<2<х₂. Воспользуемся теоремой 2

(о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D= 16a² +48a +13 >0,

F(2)= 2² + (4a+5)∙2 +3- 2a<0.

Решив систему, получим 17+6а<0 или а < -17/6 .

Ответ : а< -17/ 6.

Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения 4х² – 2х + а =0 находятся между

числами -1 и 1?

Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1, то -1<х₁<1 и -1<х₂<1. Воспользуемся

теоремой 4 ( о знаках корней квадратного трехчлена) и составим систему :

-1< х₀= 2/4< 1, 6 + а >0 ,

4∙(4+2+а)>0, => 2 + а >0 ,

4∙(4 -2+а)>0, 4 – 16а>0;

D=(-2)² - 4∙4а >0;

Решив систему, получим -2< а < ¼ .

Ответ : -2< а < ¼ .