Государственное образовательное учреждение

начального профессионального образования

«Профессиональное училище №5» г. Белгорода

Конспект урока

по математике на тему:

Некоторые следствия из аксиом стереометрии

для учащихся 10 классов

Подготовила:

Кобзева Ирина Алексеевна,

преподаватель информатики и математики

ГОУ НПО ПУ №5

Белгород 2010

Тема урока: Некоторые следствия из аксиом

Цель урока:

ознакомить учащихся с данной темой, показать применение аксиом к решению задач.

Ход урока

1. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Вопросы учащимся:

а) Решение задачи 3(а) — учащиеся дают обоснованный ответ (да — первый случай аксиома А₁, второй случай аксиома А₂.

б) Сформулировать аксиомы планиметрии.

в) Сформулировать аксиомы А₁—А₃ стереометрии.

III. Новый материал

Докажем следствие из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Учащиеся записывают формулировку теоремы — стр. 6 учебника.

Дано: а, М € а.

Доказать: (а, М) € а.

Доказательство: Отметим, что теорема содержит два утверждения: 1. О существовании плоскости. 2. О единственности плоскости.

а) Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М. Докажем, что через прямую а и точку М проходит плоскость. Отметим на прямой а 2 точки: Р и Q. Точки M, Р и Q не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме А₁ через эти точки проходит некоторая плоскость α. Так как 2 точки прямой а (Р и Q) лежат в плоскости α, то по аксиоме А₂ плоскость α проходит через прямую а.

б) Единственность плоскости, проходящей через прямую А и точку М, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку M проходит через точки М, Р и Q. Следовательно, эта плоскость совпадет с плоскостью α, так как по аксиоме А₁ через точки М, Р и Q проходит только одна плоскость.

Теорема доказана.

Теорема 2. Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Формулировку учащиеся записывают в тетрадь под руководством учителя с учебника (стр. 7).

Устно разбирают доказательство, а запись выполняют дома.

Учитель обращает внимание учащихся, что данная теорема также состоит их 2 утверждений: существования и единственности, и доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.

III. Закрепление изученного материала

Учащиеся работают в тетрадях.

Один учащийся выходит к доске и решает задачу 6, случай 1: точки лежат на одной прямой.

Дано: АВ, ВС, АС.

Доказать: (АВ, ВС, АС) € (АВС).

Доказательство:

1. (А, В, С) € а, так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А₂ (А, В, С) € АВС;

2. (А, В, С) € а. Через А, В и С по А₁ проходит единственная плоскость. 2 точки каждого из отрезков АВ, АС и ВС лежат в плоскости, следовательно, по А₂ прямые АВ, ВС, АС, а значит, и отрезки АВ, ВС, АС лежат в плоскости и т. д.

Задача с плаката

Учащиеся работают в тетради, предварительно сделав чертеж.

Дано: АВСD - ромб, АС∩ ВD = О, М € а, (А, D, 0) € α.

АВ = 4 см, <А = 60⁰.

Найти: (В, С) € α, D € МОВ, МОВ ∩АDО, S_ABCD

Решение: Учитель проводит фронтальную работу по вопросам плаката.

1) D € α, О € α, то по А₂ DО € а, так как В € DО, то В € α.

Аналогично А € α, О € α, то по A₂ АО € α, так как С € АО, то С € α.

2) ОВ € МОВ, D € ОВ, то D € МОВ.

3) О € МОВ,О € АDО.

В € МОВ, В € АDО =› МОВ∩ АDО = ВО, но так как ВО— часть DВ, то МОВ ∩АDО=DВ.

Учитель обращает внимание учащихся на тот факт, что если 2 плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

4) S_ромба=4∙4∙sin 60⁰=8 √3 (см²).

IV. Подведение итогов

Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомили со следствиями и применили их при решении задач.

V. Оценки (с комментариями)

Домашнее задание

П. 2, 3, стр. 4—7.

Теорема 2, стр. 7 — записать доказательство.

Повторить А₁—А₃.

Задача 8

Ответ:

а) нет, окружность можно вращать вокруг прямой, соединяющей эти две точки;

б) да.

Литература:

Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян и др. М.: Просвещение