Тема «Геометрическое применение производной»

Производная функции y = y(x) при данном значении аргумента х = х₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х₀ и ординатой y₀ = y(x₀)

y'(x₀) = tg (1)

Если y(x) имеет при х = х₀ бесконечную производную, то уравнение касательной таково: х = х₀

Уравнение нормали, т. е. прямой, проходящей через точку касания М₀(х₀; у₀) перпендикулярно касательной, записывается в виде

у – у₀ =(х – х₀) (3)

Примеры.

1. Составить уравнение касательной и нормали к параболе

у = 2х²-6х+3 в точке М₀(1; -1)

Решение: Найдем производную функции у = 2х²-6х+3 при х =1. Имеем

у' = 4х – 6, откуда у'(1) = -2.

Воспользовавшись уравнением касательной к графику функции, получим искомое уравнение: у – (-1) = -2(х - 1) или 2х + у – 1= 0.

Уравнение нормали получим, используя уравнение (3)

у + 1 = (х – 1), или х – 2у – 3 = 0

2. Составить уравнения касательной и нормали (решить самостоятельно):

а) к гиперболе у = в точке А(2;3)

б) к кривой у = х³ + 4х² – 1 в точке с абсциссой х₀ = -1

в) к параболе у = х² – 4х + 4 в точках, ординаты которых равны единице.

Тема «Механические приложения производной»

Производная от функции y = y(x), вычисленная при значении аргумента х = х₀, представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой переменной х в точке х = х₀.

В частности, если зависимость между пройденным путем s и временем t при прямолинейном движении выражается формулой s = s(t), то скорость движения в любой момент времени t есть (т. е. скорость изменения скорости) есть

Пример.

1. Точка движется прямолинейно по закону s = (s выражается в метрах, - в секундах). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после начала движения.

Решение:

Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени:

v(t) = = , откуда v(1) = 4 (м/с)

Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени: a(t) = = 2t + 4.

Следовательно, a(1) = 6(м/с²)

Решить самостоятельно следующие задачи:

2. Закон прямолинейного движения точки выражается формулой

s = 1 + (s выражается в метрах, - в секундах). Найти скорость и ускорение движения в момент времени

3. Тело массой 25 кг движется прямолинейно по закону s = ln(1 + Найти кинетическую энергию тела (0.5m через 2с после начала движения.

4. Точка движется по оси абсцисс по закону x = 0,25(

(х выражается в метрах, - в секундах). В какой момент времени точка остановится?