Тема. Относительная частота случайного события.

Учебная задача:

1.Формирование системы по изучению понятия события;

2.Формирование системы фактов «случайное событие», «относительная частота случайного события», «статистический подход» в курсе математики.

3.Выявить позицию учащихся к проблеме судьбы и синонимичных ей понятий.

4.На примере повести “Фаталист” М. Ю. Лермонтова ввести категории диалектики (необходимость, случайность), обогатить терминологический запас слов.

5.Создать условия для переосмысления прежних понятий на основе художественной литературы и жизненного опыта.

Цели:

Образовательные:

• Организовать деятельность учащихся по комплексному применению знаний, умений и способов действия при решении задач на определение относительной частоты случайного события;

• Обеспечить на уроке условия для продуктивной познавательной деятельности учащихся при решении задач конструктивного уровня;

• Способствовать формированию познавательных и практических умений учащихся на всех этапах урока.

• Привлечь учащихся к активной познавательной деятельности (разрешение проблемы, настойчивости в достижении цели, умению отстаивать свои взгляды).

Развивающие:

• Создать условия для развития учащихся исследовательской культуры:

• Содействовать быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний, умений и способов действий в нестандартных ситуациях:

• Обеспечить развитие у школьников умений сравнивать познавательные объекты (разные решения одной и той же задачи)

• дидактическая: обобщение и систематизация сформированных ранее математических понятий, определений, фактов;

• психологическая: формирование видов учебно-познавательной деятельности;

• воспитательная: содействовать формированию у школьников чувства ответственности за собственную и коллективную деятельность, способствовать сплочению классного коллектива, проверка грамотной устной и письменной математической речи учащихся;

• Воспитать субъекта собственной жизни, способного самостоятельно находить способы решения стоящих перед ним задач, способного к самоизменению, саморазвитию и самоопределению, направленного на правильное отношение к общечеловеческим ценностям, высокого чувства гражданского долга.

Тип урока: комбинированный.

Методы: обучения- диалогический;

преподавания – частично – поисковый; исследовательский.

• Дидактическое и методическое оснащение урока: задачник; ПК; презентации;

• понятие, связанные и нет судьбой;

• видеозапись кинофильма “Фаталист”.

Знания и умения: формирование умений и навыков решения задач на определение относительной частоты случайного события.

Цели урока: рассмотреть основные понятия теории вероятности:

ввести понятия «случайное событие», «относительная частота случайного события»; выработать умения решать простейшие задачи с использованием этих понятий.

Ход урока.

На доске заранее развешаны понятия: удача, счастье, фортуна, предопределение, провидение, судьба, фатализм, случайность.

I.Сообщение темы и цели урока.

Уч. математики: Тема учебного занятия: Относительная частота случайного события. Сегодня мы рассмотрим основные понятия теории вероятности:«случайное событие», «относительная частота случайного события»; выработаем умения решать простейшие задачи с использованием этих понятий.

Уч. литературы: Ребята, вы верите в судьбу? (Ответы)

– Вот сегодня мы как раз и поговорим об этом очень неоднозначном понятии, попытаемся выяснить ваши позиции, связав их с философским разделом “диалектика” и еще раз поучимся отстаивать свою точку зрения.

II.Повторение и закрепление пройденного материала.

Уч. литературы: На какие произведения художественной литературы, связанные с этой же проблемой, натолкнуло вас слово СУДЬБА? (М.Ю. Лермонтов. “Фаталист”)

– Что это за фаталист? Кто это? Какого человека называют фаталистом? (Ответы учащихся)

Проверим по толковому словарю. (Чтение и запись в тетрадь).

Уч. математики: На II этапе занятия: устный опрос учащихся с целью установления содержательных связей между ведущими линиями школьного курса математики.

Вниманию учащихся предлагаются вопросы и задания.

Устно.

1.Что означает запись n!? Найдите значение выражения .

2.Что называется перестановкой из n элементов?

3.Что называется размещением из n элементов по k?

4.Что называется сочетанием из n элементов по k?

5. Запишите формулы?

Задачи устно.

III. Изучение нового материала.

Уч. математики: Познакомится с "новым" разделом математики "Теория вероятностей", методами исследования и вычислений.

«Не тот глуп, кто не знает, но тот, кто знать не хочет»

Сковорода Г.С.

Освоение данного модуля способствует развитию вашего логического мышления.

N

УЭ

Учебный материал с указанием заданий

Руководство по усвоению материала

УЭ-0

Входной контроль

3 мин.

УЭ-1

Интегрирующая цель

В процессе работы учащиеся должны овладеть следующими знаниями:

1. Какая наука изучает случайные события.

2. Усвоить, какие события называются случайными.

3. Усвоить, что такое относительная частота случайного события.

4. Какой подход называют статистическим в математике

5. План решения задач на нахождения относительная частота случайного события.

Умения и навыки:

1. Рационально выбирать уравнение для выражения одной переменной через другую, добиваться того чтобы одно из уравнений системы содержало только одну переменную;

2. Уметь применять алгоритм решения систем уравнений с двумя переменными способом подстановки.

2 мин.

УЭ-2

Цель: изучить понятия случайное событие, относительная частота случайного события, что изучает теория вероятности.

Уч. математики:

Запишите дату и тему урока в тетрадь.

Задание 1.

а) Прочитайте внимательно текст.

Нам нередко приходится проводить наблюдения, опыты, участвовать в экспериментах или испытаниях. Часто подобные исследования заканчиваются некоторым результатом, который заранее предсказать нельзя.

Если открыть книгу наугад, то невозможно знать заранее, какой номер страницы вы увидите. В самый жаркий и солнечный летний день мы твердо знаем, что лето кончится, наступит осень, а затем зима. Но невозможно сказать заранее, будет эта зима теплой или холодной. Нельзя до начала футбольного матча определить, с каким счетом закончится игра. Вы не можете быть уверенным в том, что, когда нажмете на кнопку выключателя, загорится настольная лампа.

Как правило, наблюдения или эксперимент определяются каким-то комплексом условий. Например, футбольный матч должен проходить по правилам.

Событием называется- результат наблюдения, опыта, эксперимента.

Случайным событием называют такой результат наблюденияили эксперимента, который при соблюдении определенных условий может произойти, а может и не произойти.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Событие случайное, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдет. Например. Обнаружение письма при проверке почтового ящика также является случайным событием.

Представим, что выпущен 1 000 000 лотерейных билетов и разыгрывается один автомобиль. Можно ли, приобретя один лотерейный билет, выиграть этот приз? Конечно, можно, хотя это событие маловероятно. А если будут разыгрываться 10 автомобилей? Ясно, что вероятность выигрыша увеличится. Если же представить, что разыгрываются 999 999 автомобилей, то вероятность выигрыша станет намного большей.

Следовательно, вероятности случайных событий можно сравнивать.

Люди давно заметили, что многие события происходят с той или иной, на удивление постоянной, частотой.

Вы знаете, что курение вредно для здоровья. По данным Всемирной организации здравоохранения (ВОЗ) курильщики составляют приблизительно 97 % от всех больных раком легких. Число 0,97 — это частота случайного события «тот, кто заболел раком легких,— курил», которая определяется таким соотношением:

Это впечатляющее число 97 % может у кого-то вызвать сомнения. Однако мы хотим подчеркнуть, что частота случайного события тем лучше характеризует явление, чем больше наблюдений проведено. Вывод ВОЗ основывается на анализе многих наблюдений, проведенных в разных странах, следовательно, касается всех людей.

В таких случаях говорят, что вероятность попасть на курильщика среди тех, кто заболел раком легких, приблизительно равна 0,97 (или 97 %).

Демография — наука о народонаселении.

Демографам хорошо известно число 0,514. Статистические данные, полученные в разные времена и в разных странах, свидетельствуют о том, что на 1000 новорожденных приходится в среднем 514 мальчиков. Число 0,514 называют частотой случайного события «рождение мальчика».

Оно определяется формулой

Подчеркнем, что это число получено в результате анализа многих наблюдений приблизительно равна 0,514.

Уч. литературы: О чем же спорят герои повести? На чем основан их спор?

(На столкновении двух точек зрения на судьбу: христианской, когда от человека ничего не зависит, все предопределено заранее и противоположной – человек сам создает себе судьбу.)

– Мы уже сказали так много слов, связанных с судьбой. Давайте же выберем более близкие и уберем лишнее. (С доски снимаются лишние понятия, не связанные с судьбой, с объяснением своей точки зрения и лексического значения слова.)

Итак, сегодня речь у нас пойдет о предопределении, случайности, судьбе, роке, фатальности, провидении, фортуне. А что им можно противопоставить? (Волю человека)

- Как вы думаете, спор в начале главы может хоть как-то характеризовать человека, может быть раскрыть какую-то черту характера? (Ответы учащихся)

– Вы, изучая это произведение в 9 классе, обратили внимание на то, что критики называют роман М.Ю. Лермонтова “Герой нашего времени” – романом, раскрывающим “диалектику души человеческой”? А задумывались ли вы или, может быть, знаете, что значит понятие диалектика? (Ответы учащихся)

Диалектика, (греч. dialegomai– веду беседу, рассуждаю) – наука о наиболее общих законах развития природы, общества и мышления, теории и методов познания явлений действительности в их развитии, самодвижении.

– Как это связанно с нашим текстом?...

У диалектики есть свои законы:

1) единства и борьбы противоположностей;

2) переход количественных изменений в качественные и обратно;

3) закон отрицания, категории которого мы сегодня рассмотрим более подробно.

Конечно, если рассмотреть любое явление, то можно его соотнести с несколькими категориями, раскрывающими эту связь причины и следствия, возможности и действительности, но нас сегодня будет волновать все же категории необходимости и случайности, которые более тесно связаны с кругом наших терминов. (Понятий)

Вывод: Исходя из этих категории любое явление одновременно есть и случайность, и необходимость, а пересечение двух необходимостей порождает случайность, вытекающую из внешних свойств, в то время как внутренние (главные) свойства, т. е. причины являются рождением необходимости.

Работа в паре 3 мин.

Непонятные для вас моменты спросите у учителя.

Эвристическая беседа.

Учащиеся самостоятельно формулируют и записывают вывод.

УЭ-3

Цель: изучить, как определяется относительная частота случайного события.

Уч. математики: Чтобы детальнее ознакомиться с понятием вероятности случайного события, обратимся к классическому примеру с подбрасыванием монеты.

Предположим, что в результате двух подбрасываний монеты дважды выпал герб. Тогда в данной серии, состоящей из двух испытаний, частота выпадения герба равна:

Означает ли это, что вероятность выпадения герба равна 1? Конечно, нет.

Для того чтобы по частоте случайного события можно было оценивать его вероятность, количество испытаний должно быть достаточно большим.

Начиная с ХVІІІ в. многие исследователи проводили серии испытаний с подбрасыванием монеты.

В таблице приведены результаты некоторых таких

Исследователь

Количество подбрасываний

монеты

Количество выпадений

герба

Частота выпадения

герба

Жорж Бюффон

(1707–1788)

4040

2048

0,5069

Огастес де Морган

(1806–1871)

4092

2048

0,5005

Уильям Джевонс

(1835–1882)

20 480

10 379

0,5068

Всеволод Романовский

(1879–1954)

80 640

39 699

0,4923

Карл Пирсон

(1857–1936)

24 000

12 012

0,5005

Уильям Феллер

(1906–1970)

10 000

4979

0,4979

По приведенным данным прослеживается четкая закономерность: при многократном подбрасывании монеты частота появления герба незначительно отклоняется от числа 0,5.Следовательно, можно считать, что вероятность события«выпадение герба» приблизительно равна 0,5. В каждом из рассмотренных примеров использовалось понятие частота случайного события. Эту величину мы вычисляли по формуле:

Работайте самостоятельно

Непонятные для вас моменты спросите у учителя.

Далее по частоте мы оценивали вероятность события, а именно:вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, найденной при проведении большого количества испытаний (наблюдений).

Такую оценку вероятности случайного события называютстатистической. Ее используют в разных областях деятельностичеловека: физике, химии, биологии, страховом бизнесе,социологии, экономике, здравоохранении, спорте.

Вв о д и м ы е о б о з н а ч е н и я:

А – событие;

т – число испытаний, при которых произошло событиеА;

п – общее число испытаний;

Р(A) = – относительная частота случайного события.

Проблемный вопрос: Почему важна относительная частота события? Приведите пример. (Иван попал в мишень три раза, Петр – четыре. Кто из них лучше стреляет? Можно ответить, что Петр – лучше, так как больше число попаданий. Но мы не знаем, сколько у каждого было попыток. Например, Иван сделал всего три выстрела и попал все три раза, относительная частота попадания Р(A) = = 1. А Петр сделал серию из 20 выстрелов и попал всего четыре раза: Р(A) = = 0,2.)

Задание 1.

Выполните задание из учебника №787.

Осуществите взаимную проверку с соседом.

Работа в паре

Работа самостоятельно

Свериться с эталоном

Работа в паре

Научитесь применять полученные знания.

Решите из учебника:

1. №788, №791, №856(а).

Проверьте свою работы.

Правильные ответы: №788 Ответ: .

№791 Ответ: а) 0,037; б) 0,037.

№856 Ответ: а) 0,4 > 0,2.

Оцените свою работу.

Все три задания выполнены правильно – “5”.

Два задания выполнено правильно – “4”.

Одно задания выполнено правильно – “3”.

Все задания выполнены неправильно – “2”

Если у тебя более 3 ошибок, изучи этот модуль еще раз. Попробуй выполнить работу сначала.

Вопросы для самоконтроля .

Что называется случайным событием?

Что называется исходом эксперимента?

Что называется относительной частотой случайного события? Приведите примеры.

Контроль:

Решите из учебника: № 856(б).

Первый лист сдайте учителю, а второй оставьте для самопроверки.

Уч. литературы:

Давайте посмотрим фрагмент видеозаписи спора Вулича и Печорина и разберемся на конкретном примере с этой категорией.

– Кто же принимает участие в споре? (Печорин и Вулич).

– А если рассмотреть более конкретно, то ....... (Вулич и судьба)

– Кто в этом споре является действующими “лицами”? (Вулич, пистолет)

– Были ли у них какие-нибудь внутренние причины необходимости осуществления этого спора ? (Учащиеся приходят к выводу, что Вуличу необходимо было удостовериться: есть ли все-таки предопределение, или нет ?. Здесь он бросает вызов судьбе, который, возможно, только сейчас ему представился, да еще и, и может быть, чтобы доказать и подсказать другим, результат эксперимента).

Так ..., причины Вулича мы рассмотрели... а пистолет... Были “у него” какие-нибудь внутренние причины осечься в самый “нужный” момент?

(Учащиеся цитируют слова Максима Максимовича о том, что “ ... эти азиатские курки часто осекаются, если дурно смазаны или недовольно крепко прижмешь пальцем.”), т.е. это внешние, механические свойства, т.е. случайность.

– Так что же это было – судьба ?, рок? или что-то другое?

У нас в повести есть еще случай, когда герой спорит с судьбой. Это...

– Вулич и пьяный казак.

– Казак и Печорин.

Учащиеся делятся на две группы, которые разбирают примеры из текста с точки зрения категории диалектики.

Поработав в группах, учащиеся приходят к выводу, что в первом случае (Вулич и казак) это была случайность, но рожденная необходимостями, исходя из которых смерть Вулича – единственный выход, т. е. как бы даже закономерно, что это произошло, т. к. Вулич был расслаблен, горд и не осознавал, что он один, ночью, в темном месте спрашивает что-то у незнакомого человека, а казак был пьян и просто испытывал потребность “натворить”, т. к. его же близкие знакомые подтверждают это: “как напьется чихиря, так и пошел крошить все, что попадется”, т. е. это его внутренняя потребность.

Во втором случае (Печорин и казак) учащиеся приходят к выводу, что итог должен был получиться именно таким, т. к. Печорин очень точно проанализировал ситуацию, предпринял кое- какие действия и лишь потом полез в окно, а казак, лежа на полу, тоже имел свою необходимость.

Задание выполняйте в тетради

Свериться с эталоном

Будьте объективны

Задание выполняйте на листах через копирку.

(Просмотр видеозаписи).

Работа в группах.

УЭ-4

Обобщение. Уч. математики:

Вернись к УЭ-1. Достиг ли ты поставленной цели?

Уч . литературы: Таким образом, мы приходим к выводу, какому ? Кто-нибудь уже пришел к нему ? Что еще все-таки у нас утверждает М. Ю. Лермонтов своим произведением и повестью “Фаталист” в частности ?

(Вывод учащихся: наша судьба – это наш анализ, расчет и воля. И только от нас она зависит. Рассудок и желание видеть что-то в будущем– вот основные категории так называемой “судьбы”).

– А какую “судьбу” вы себе хотите ?

Создайте себе рекламу: “Я через 30 лет”

– От чего она будет зависеть ?

– Что необходимо для этого сделать ? И кто это будет делать ? Судьба, Бог или ......

Формулирование учащимися основного вывода.

УЭ-5

Выходной контроль. Уч. математики:

7.0.Цель: установите уровень усвоения темы.

Закрепить знания, полученные на уроке.

7.1. Выходной контроль (самостоятельная работа).

7.2. Первый лист сдайте учителю, а второй оставьте для самопроверки.

7.3. Осуществите самопроверку по эталону. Самостоятельно оцените свою работу.

7.4. Ответьте на вопрос: достиг ли ты цели урока?

Для этого вернитесь к началу модуля и прочтите, какие перед вами стояли цели.

Ответьте (письменно) на вопросы анкеты.

Анкета

1. Как вы оцениваете свою работу на уроке?

2. Прочитайте еще раз цели урока. Какие из них удалось достичь, а какие нет?

3. Что интереснее: самому открывать новые знания или слушать объяснения учителя?

4. Было ли у вас на уроке время на посторонние занятия?

5. Хотелось бы вам чаще проводить уроки самообучения?

Уч . литературы: На доске записаны слова (необычно, скучно, трудно, возникло много вопросов, я справился, есть о чем подумать, это интересно, устал), подчеркните те слова, которые отражают ваши внутренние ощущения в данный момент.

Домашнее задание: Уч. математики:№ 789, № 790 (а, в), № 792, № 797 (б, в).

Уч . литературы: дома составите план работы над своим “образом – Я”, чтобы добиться той судьбы, о которой вы мечтаете. В него войдут три столбца.

Самовоспитание

Самосовершенствование

Самостроительство

 

 

 

Уч. математики, Уч . литературы: Благодарим всех за урок! (Выставление оценок)

10 мин.

Задание выполняйте на листах через копирку

эталон

УЭ-3

Задание 1.№787.

Р е ш е н и е

СобытиеА – появление нестандартной детали;

т = 12 – число нестандартных деталей;

п = 1000 – общее число деталей;

W(A) = = = 0,012 – относительная частота появления нестандартных деталей.

О т в е т: 0,012.

№ 788.

Р е ш е н и е

СобытиеА – солнечный день;

т = 46 – число солнечных дней за указанный период;

п = 31 + 31 = 62 – общее число дней в указанном периоде;

W(A) = = = – относительная частота солнечных дней в указанный период времени.

О т в е т: .

№ 791.

Р е ш е н и е

а) СобытиеА – появление в тексте буквы «в»;

т = 6 – количество букв «в» в тексте;

п = 164 – общее количество букв в тексте;

W(A) = = ≈ 0,037 – относительная частота появления буквы «в» в тексте.

б) СобытиеА – появление буквы «м» в тексте;

т = 6 – количество букв в тексте;

п = 164 – общее количество букв в тексте;

W(A) = = ≈ 0,037 – относительная частота появления буквы «м» в тексте.

О т в е т: а) 0,037; б) 0,037.

№ 856 (по вариантам, подсчет не для всех десятков).

а) СобытиеА – появление простого числа в первом десятке натуральных чисел от 1 до 99;

т = 4 – число простых чисел в первом десятке (2, 3, 5, 7) – частота появления;

п = 10 – количество чисел в первом десятке;

W(A) = = 0,4 – относительная частота события А.

СобытиеВ – появление простого числа в третьем десятке;

т = 2 – число простых чисел в третьем десятке (23, 29) – частота появления;

п = 10 – количество чисел в третьем десятке;

W(B) = = 0,2 – относительная частота события В. 0,4 > 0,2.

О т в е т: а) 0,4 > 0,2.

Контроль. № 856 (по вариантам, подсчет не для всех десятков).

б) СобытиеА – появление простого числа во втором десятке натуральных чисел от 1 до 99;

т = 4 – число простых чисел в втором десятке (11, 13, 17, 19) – частота появления;

п = 10 – количество чисел во втором десятке;

W(A) = = 0,4 – относительная частота события А.

СобытиеВ – появление простого числа в десятом десятке;

т = 1 – число простых чисел в десятом десятке (91) – частота появления;

п = 10 – количество чисел в десятом десятке;

W(B) = = 0,1 – относительная частота события В.

0,4 > 0,1.

Ответ: б) 0,4 > 0,1.

УЭ-5

Самостоятельная работа.

УЭ-5

Самостоятельная работа.

Метод подстановки.

1. Является ли решением системы уравнений пара чисел:

1 вариант

2 вариант.

А) (1;0); б)(1;1); в)(-1;1)?

А) (2;-1); б)(-1;2); в)(2;1)?

2.Решите систему методом подстановки:

3.Решите систему уравнений:

Ответы.

1 вариант.

2 вариант.

1. а) нет; б) да; в) нет.

1. а) да; б) нет; в) нет.

2.(1;-1)

2. (1;1)

3.(1,4;0,4)

3.(6;0)