Кострова Галина Валентиновна, учитель математики МОУ Ликургская ООШ Буйского района Костромской области

Урок алгебры по теме: "Числовые последовательности". 9-й класс

Цели:

• Образовательная: разъяснить учащимся смысл понятий «последовательность», «n-ый член последовательности»; познакомить со способами задания последовательности.

• Развивающая: развитие самостоятельности, взаимопомощи при работе в парах, сообразительности.

• Воспитательная: воспитание активности и аккуратности.

Учебник: Алгебра (в двух частях) для 9 класса, Часть 1: Учебник. А.Г. Мордкович, М.: Мнемозина,2010 г. Часть  2: Задачник. . А.Г. Мордкович,Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская  Москва Мнемозина, 2010 г.

Оборудование: компьютер, проектор, мультимедийная презентация

Ход урока:

1. Организационный момент

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием «последовательность», узнаем, какими могут быть последовательности и рассмотрим способы задания последовательностей.

2. Подготовка обучающихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока (работа в парах, дифференцированный подход)

Ученики получает свое задание. После его выполнения отчитывается каждый учащийся.

Задание 1.

Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких явлений и событий.

Ответы: дни недели, названия месяцев, возраст человека, номер счёта в банке, последовательно происходит смена дня и ночи, последовательно увеличивает скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д.

Задание 2: предлагается найти закономерности и показать их с помощью стрелки.

В порядке возрастания положительные нечетные числа

1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…

В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1

1; 3; 5; 7; 9; …

В порядке возрастания положительные числа, кратные 5

5; 10; 15; 20; 25; …

Ответы:

1. В порядке возрастания положительные нечетные числа (1; 3; 5; 7; 9; … )

2. В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…)

3. В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 (5; 10; 15; 20; 25; …)

Задание 3: найдите закономерности

1; 4; 7; 10; 13; …

Увеличение на 3

10; 19; 37; 73; 145; …

Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза

6; 8; 16; 18; 36; …

Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1

Ответы:

1. 1; 4; 7; 10; 13; … (Увеличение на 3)

2. 10; 19; 37; 73; 145; … (Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1)

3. 6; 8; 16; 18; 36; … (Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза)

3. Изучение нового материала

Рассмотренные нами числовые ряды и есть примеры числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, и т. д., n-ным членами последовательности.

Обозначают члены последовательности так а₁; а₂; а₃; а₄; … а_n;

Последовательности могут быть конечными и бесконечными, возрастающими и убывающими.

Задания для устной работы

1.Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а₁; а₄; а₁₀; а_n;

2.Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной? (да)

3.Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 1000; 9999)

4.Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; …? (нет, так как нельзя по первым шести членам обнаружить какую-нибудь закономерность)

Существуют различные способы, которые позволяют задать последовательность.

Аналитический способ. С помощью формулы n-ого члена последовательности.

Формула общего члена позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером. Например, если х_n=3n+2, то

х₅=3^.5+2=17;

х₄₅=3^.45+2=137.

Рекуррентный способ

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro– возвращаться).

Например, последовательность, заданную правилом

а₁=1; а_n+1= а_n +3

можно записать с многоточием:

1; 4; 7; 10; 13; …

4. Закрепление изученного материала (работа в группах, дифференцированный подход)

Ученик получает индивидуальное задание, которое выполняют самостоятельно. При выполнении заданий ребята обсуждают решение и записывают его в тетрадь.

Даны последовательности: а_n=n⁴ ; а_n=(-1)ⁿn² ; а_n=n +4; а_n=-n-4; а_n=2ⁿ -5; а_n=3ⁿ -1.

Задание 1: Последовательности заданны формулами. Впишите пропущенные члены последовательности:

1; ___; 81; ___; 625; ...
-1; 4; ___; ___; -25; …
5; ___; ___; ___; 9; …
___; -6; ___; ___ ; -9; …
___; ___; 3; 11; ___; …
2; 8; ___; ___; ___; …

Задание 2:

Выписать первые пять членов последовательности, заданной формулой своего n-ого члена.

Задание 3:

Определите, какими числами являются члены этих последовательностей, заполните таблицу.

Положительные и отрицательные числа

Положительные числа

Отрицательные числа

5. Историческая справка

Рекуррентное задание последовательности может быть и более сложным. Например, равенства: х₁=1; х₂=1; х_n+2= х_n+1 + х_n

Также позволяют вычислять поочередно члены последовательности:

х₃= х₂ + х₁ =1+1=2;
х₄= х₃ + х₂ =2+1=3;
х₅= х₄ + х₃ =3+2=5; … .

Проще всего выписывать члены этой последовательности, если перевести равенство на русский язык: каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … .

Члены этой последовательности называются числами Фибоначчи – по имени средневекового итальянского ученого Леонардо Фибоначчи (1180 – 1240 ) из г. Пизы. Последовательность Фибоначчи рассмотрена им в 1202 году в книге «Liber abacci». Эти числа встречаются в математике и природе довольно часто: треугольник Паскаля, количество веток на дереве или приплод от пары кроликов за определенный период времени, семена в подсолнечнике.

Блез Паскаль (1623 – 1662 ) один из самых знаменитых людей в истории человечества. Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке:

Продолжите строчку сами!

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
(1 6 15 20 15 6 1)

Между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля существует интересная связь. Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим:

для 1 диагонали – 1;

для 2 диагонали – 1;

для 3 диагонали – 1+1=2;

для 4 диагонали – 1+2=3;

для 5 диагонали – 1+3+1=5;

для 6 диагонали – 1+4+3=8;

для 7 диагонали – 1+5+6+1=13 ….

Мы получили не что иное, как числа Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.

Выполнение заданий по учебнику.

№ 15.6, 15.8, 15.12.

Домашнее задание.

№ 15.7, 15.9, 15.13, 15.14.

Решение тестов.

6. Подведение итогов урока

Рефлексия.

Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы ее задания.

Приведите примеры числовой последовательности: конечной и бесконечной.

Какие способы задания последовательности вы знаете.

Какая формула называется рекуррентной?

Как называются числа, образующие последовательность?

Что значит «задать последовательность»?

Какие способы задания последовательности вы знаете?

В заключение урока слова Сергея Лазо

«Значение математики для умственного развития человека огромно, она дисциплинирует ум, приучает нас быстро разбираться в том или ином вопросе естествознания и жизни. В математике есть своя философия, своя поэзия. Она дает человеку силу мышления. К сожалению я не обладаю особенными математическими знаниями. Я советовал бы каждому человеку в молодости посвящать три часа в день математике, независимо от его знаний. Пусть он полюбит математику, он тогда привыкнет к философии; естественные науки и техника будут  ему легко даваться. Это на всю жизнь сделает его стойким и сильным духом... Большинство же отнекиваются от математики из-за лени...»

Задание 1.

Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких явлений и событий.

Задание 2: предлагается найти закономерности и показать их с помощью стрелки.

В порядке возрастания положительные нечетные числа

1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…

В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1

1; 3; 5; 7; 9; …

В порядке возрастания положительные числа, кратные 5

5; 10; 15; 20; 25; …

Задание 3: найдите закономерности

1; 4; 7; 10; 13; …

Увеличение на 3

10; 19; 37; 73; 145; …

Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза

6; 8; 16; 18; 36; …

Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1

Задания для устной работы

1.Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а₁; а₄; а₁₀; а_n;

2.Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной?

3.Назовите её первый и последний члены.

4.Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; …?

Закрепление изученного материала

Даны последовательности: а_n=n⁴ ; а_n=(-1)ⁿn² ; а_n=n +4; а_n=-n-4; а_n=2ⁿ -5; а_n=3ⁿ -1.

Задание 1: Последовательности заданны формулами. Впишите пропущенные члены последовательности:

1; ___; 81; ___; 625; ...
-1; 4; ___; ___; -25; …
5; ___; ___; ___; 9; …
___; -6; ___; ___ ; -9; …
___; ___; 3; 11; ___; …
2; 8; ___; ___; ___; …

Задание 2:

Выписать первые пять членов последовательности, заданной формулой своего n-ого члена.

Задание 3:

Определите, какими числами являются члены этих последовательностей, заполните таблицу.

Положительные и отрицательные числа

Положительные числа

Отрицательные числа