МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ПРОСТЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Простой арифметической задачей называется задача, которая решается одним арифметическим действием.

Простые задачи играют чрезвычайно важную роль при обучении учащихся математике.

Именно простые задачи позволяют раскрыть основной смысл и конкретизировать арифметические действия, сознательно овладеть теми или иными математическими знаниями.

На простой задаче учитель впервые знакомит учащихся со структурой задачи, показывает, что значит решить задачу, вооружает их основными приемами решения задач.

Простые задачи являются составной частью сложных задач, следовательно, формируя умение решать простые задачи, учитель готовит учащихся к решению сложных задач.

В школе VIII вида решаются задачи, раскрывающие конкретный смысл арифметических действий (I группа).

Это задачи:

-на нахождение суммы и на нахождение остатка (1-й класс),

-на нахождение произведения (суммы одинаковых слагаемых),

-на деление на равные части (3-й класс),

-на деление по содержанию (3-й класс).

Решаются также задачи, раскрывающие новый смысл арифметических действий.

Это задачи, связанные с понятием разности и отношения (II группа):

1.Увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.

2.Разностное сравнение чисел с вопросами «на сколько больше...», «на сколько меньше...».

3.Увеличение и уменьшение числа в несколько раз.

4.Краткое сравнение чисел или нахождение отношения чисел с вопросами: «Во сколько раз больше...», «Во сколько меньше...».

К задачам, раскрывающим зависимость между компонентами результов арифметических действий (III группа), относятся задачи:

-на нахождение неизвестного слагаемого,

-на нахождение неизвестного уменьшаемого, неизвестного вычитаемого.

В школе VIII вида на каждом году обучения учащиеся знакомятся с новыми видами простых задач.

Постепенное введение их объясняется:

-различной степенью трудности математических понятий,

-местом изучения тех арифметических действий, конкретный смысл которых они раскрывают.

Последовательность решения простых задач определена программой по математике школы VIII вида.

При обучении решению задач определенного вида целесообразно сначала предъявлять сюжетную задачу с однородными предметами. («В корзине 5 яблок, туда положили еще 3 яблока. Сколько всего яблок стало в корзине?»)

Затем вводятся сюжетные задачи с однородными предметами, от- личающимися теми или иными признаками: цветом, размером, материалом и т.д. (Например: «В корзине лежало 5 больших яблок, туда положили еще 3 маленьких яблока. Сколько всего яблок стало в корзине?»)

Наконец, вводятся задачи, в которых имеются обобщающие слова. (Например: «В корзине лежало 5 яблок, туда положили 3 груши. Сколько всего фруктов в корзине?»)

При решении задач такого содержания учащиеся затрудняются в выборе наименований при записи действий, в осмыслении числа, полученного в ответе. Решение такого рода задач требует более тщательного анализа содержания, выбора наименования числовых данных еще до записи решения задачи.

Для иллюстрации задач нового вида, особенно в младших классах, используются предметные пособия, изображения предметов в виде трафаретов, рисунки, символы предметов и др.

Однако учащиеся лучше понимают предметную ситуацию задачи, если они сами выполняют определенные операции с предметами или их изображениями или если задача инсценируется.

Поэтому целесообразно знакомить учащихся с новыми видами задач на задачах-инструкциях («Положи в коробку 3 карандаша. Возьми оттуда 1 карандаш. Сколько карандашей осталось в коробке?»),

-задачах-инсценировках («Учительница дала трем ученикам по 2 тетради (раздает трем ученикам тетради). Сколько всего тетрадей получили ученики?»).

Затем следует переходить к решению задач, содержание которых учащиеся могут зарисовать, изображая в рисунке сами предметы или их символы. («В пруду плавало 7 уток и 3 гуся. Сколько всего птиц плавало в пруду?»)

Учащиеся конкретизируют задачу трафаретами птиц или рисуют 7 квадратов и 3 круга, изображая символически уток квадратами, а гусей — кругами.

Вопрос записывается не полностью, а с помощью символов: круглая, квадратная или фигурная скобка символизирует сумму, а знак вопроса (?), что эта сумма неизвестна.

Наконец, учитель учит конкретизировать содержание задачи, вскрывая зависимость между данными и искомыми с помощью различных форм краткой записи.

Подготовительная работа к решению простых задач

Подготовку к решению арифметических задач следует начинать с обогащения и расширения практического опыта учащихся, ориентировки их в окружающей действительности.

Учеников нужно ввести в ту жизненную ситуацию, в которой приходится считать, решать арифметические задачи, производить измерения.

В этих ситуациях сами учащиеся должны выполнять определенные практические задания. Например (в период пропедевтики): «В корзине несколько грибов. Я взяла оттуда один гриб. Больше или меньше осталось грибов в корзине? Почему их осталось меньше?»; «В классе много ребят. Вошло еще несколько учеников. Больше или меньше стало ребят? Почему?»

Учитель организует наблюдения над изменением количества элементов предметных множеств, содержимого сосудов и т.д., что способствует развитию представлений учащихся о количестве и знакомству их с определенной терминологией, которая впоследствии встретится при формулировке текстовых задач:

-стало всего,

-осталось,

-взяли,

-дали еще,

-отдали,

-уменьшилось,

-стало меньше (больше),

-увеличилось и т. д.

Необходимо так организовать игровую и практическую деятельность учащихся, чтобы, являясь непосредственными участниками этой деятельности, а также наблюдая, учащиеся сами могли делать вывод в каждом отдельном случае: увеличилось или уменьшилось число элементов множества и какой операции и словесному выражению соответствует это увеличение или уменьшение.

Подобные упражнения можно проводить в виде игр с разнообразными игрушками, на предметах окружающей учеников действительности, близких их опыту и интересующих их. В процессе этих упражнений учащиеся учатся понимать вопросы: «Сколько? Сколько стало? Сколько осталось?» — и отвечать на них.

Этот этап подготовительной работы совпадает с началом работы над числами первого десятка и знакомством с арифметическими действиями, с решением и составлением примеров на основе операций с предметными множествами. Например: «На тарелке лежат 2 яблока (ученики под руководством учителя пересчитывают яблоки и находят цифру 2), я положила еще одно яблоко (ученики находят в цифровой кассе цифру 1). Сколько яблок стало на тарелке?»

Можно поставить и другие вопросы: «Сколько всего яблок на тарелке? Сколько яблок теперь лежит на тарелке? (Ученики пересчитывают яблоки и ставят цифру 3.) Больше или меньше яблок стало? Как получили 3 яблока? Что сделали для этого? Как записать это арифметическим действием?»

(2 + 1=3.)

Знакомство с простой задачей

Чтобы решить задачу, ученики должны:

-уметь решать арифметические примеры,

-слушать,

-а со 2-го класса читать задачу,

-повторять задачу по вопросам, по краткой записи, по памяти,

-выделять в задаче составные компоненты (условие, числовые данные, вопрос),

-оформлять краткую форму ее записи,

-решать задачу (выбирать правильно действие и производить вычисление, записывать решение),

-формулировать ответ устно и записывать его,

-проверять правильность решения задачи.

В 1-м классе учащиеся учатся решать задачи на нахождение суммы и остатка. Эти задачи вводятся впервые при изучении чисел первого десятка.

Предъявляя задачу, учитель должен сразу познакомить учащихся с термином «задача».

(Например, учитель вызывает к доске ученицу, дает ей два мяча и говорит:

-Ребята, сейчас решим задачу, слушайте ее. «У Маши два мяча. Учительница дала ей еще один мяч (учитель дает девочке один мяч). Сколько мячей стало у Маши?»

Что я вам рассказала, дети? - спрашивает учитель. - Послушайте эту задачу еще раз. О чем эта задача? (О мячах.) Сколько мячей было у Маши? («У Маши было 2 мяча», - говорят ученики и показывают цифру 2.) Сколько мячей дала ей учительница? Покажите цифру. Что нужно узнать в задаче или о чем спрашивается в задаче? Повторим задачу еще раз. Теперь задачу надо решить, т.е. ответить на вопрос задачи. Какое действие надо сделать, чтобы узнать, сколько мячей стало у Маши?

Учащиеся с помощью учителя отвечают: «Надо к двум мячам прибавить один мяч».

- Запишем решение задачи так: 2+1=3.

Действие задачи записывается в виде математического выражения в середине строки, чтобы отличить эту запись от примера.

-Что мы узнали? (У Маши стало 3 мяча.) Это ответ задачи. Учитель просит нескольких учеников повторить ответ задачи.

Решили ли мы эту задачу? (Да, решили.)

Учитель делает вывод: «В задаче спрашивалось, сколько мячей стало у Маши. Мы ответили на вопрос задачи, значит, решили задачу».

На этом же этапе учитель знакомит учащихся со структурой задачи (условием, числовыми данными, вопросом). Для лучшего различения и усвоения учащимися составных частей задачи следует предложить пересказать отдельно условие, назвать данные, повторить вопрос.

Функция вопроса осознается учащимися лучше и быстрее, если они не видят предметной совокупности, соответствующей ответу, не могут пересчитать ее, элементы (предметы убираются в коробку, корзину, закрываются и т.д.).

Надо постоянно выделять вопрос задачи и подчеркивать, что решить задачу — это значит выбрать нужное действие, выполнить его, т.е. ответить на вопрос задачи.

При обучении решению задач на нахождение суммы одинаковых слагаемых (на нахождение произведения), на деление на равные части или на деление по содержанию следует опираться на понимание учащимися сущности арифметических действий умножения и деления.

Например, предлагается задача: «Три девочки вышили по 2 салфетки каждая. Сколько всего салфеток вышили девочки?»

После разбора содержания задачи, ее конкретизации с помощью 3 кукол, которым даются по 2 салфетки, или ее инсценировки с помощью учениц класса учащиеся подводятся к выбору действия.

Учитель говорит: «Было 3 девочки (назвать имена девочек: Оля, Вера, Катя), каждая вышила по 2 салфетки (учитель дает каждой девочке по 2 салфетки). Как можно узнать, сколько всего салфеток вышили девочки?» Сначала задача решается сложением: 2с.+ 2с.+2с.=6с.

Затем, опираясь на знания учащихся о том, что умножение — это сумма одинаковых слагаемых, учитель выясняет, каким еще действием можно записать решение задачи. (Или: каким действием можно заменить нахождение суммы одинаковых слагаемых.)

Решение записывается так: 2с.х З=6с.

После решения задач с опорой на предметы следует перейти к решению задач такого же вида с опорой на иллюстрацию (или символическое изображение предметов).

Например: «В 3 вазы положили по 5 яблок в каждую. Сколько всего яблок в вазах?» Задачу можно проиллюстрировать с помощью кружков. После этого решать.

Решение. 5ябл. х З=15ябл. Ответ. Всего 15 яблок.

Вслед за этим решаются задачи без опоры на предметную деятельность или иллюстрацию.

При решении задач на деление на равные части и деление по содержанию учитель также опирается на понимание учащимися конкретного смысла этих арифметических действий.

Рассмотрим задачу: «Валя разложил 8 тетрадей поровну в 2 стопки. Сколько тетрадей он положил в каждую стопку?»

Условие этой задачи необходимо инсценировать: вызванный ученик делит тетради на две равные части; учитель закрывает полученные стопки, чтобы дети не могли пересчитать количество тетрадей в каждой из них, затем спрашивает: «Как узнать, сколько тетрадей в каждой стопке?»

Если учащиеся сразу ответить не могут, то следует задавать наводящие вопросы: «Сколько тетрадей было? Что Валя делал с тетрадями? На сколько равных частей он раскладывал эти тетради? Как это действие записать с помощью чисел и арифметических знаков?»

Решение. 8т.:2=4т. «Какой ответ этой задачи?»

Ответ. 4 тетради в каждой стопке.

После усвоения деления на равные части учащиеся знакомятся с практическим делением конкретного множества по содержанию. Учитель создает в классе определенную жизненную ситуацию и ставит перед учащимися задачу, для решения которой необходимо произвести операцию деления по содержанию. Выполнив деление на конкретных предметах, учащиеся учатся выражать эту операцию над элементами предметных множеств арифметическими действиями, т.е. переводят ее на «язык математики».

Например: «У меня 10 тетрадей. Их нужно раздать учащимся, по 2 тетради каждому. Сколько учеников получат тетради?»

Кто-либо из учеников делит 10 тетрадей по 2 тетради, т.е. раздает по 2 тетради учащимся. «Встанут те ученики, которые получили по 2 тетради. Сколько учеников получили по 2 тетради?» — спрашивает учитель.

Затем классу ставятся следующие вопросы: «Сколько было тетрадей? Что нужно было сделать с тетрадями? По сколько тетрадей нужно раздать (разделить) каждому ученику? Сколько учеников получили по 2 тетради? Какое арифметическое действие мы выполнили?

Запишем это действие деления так: 10т.: по 2т.=5(уч.)». Учащиеся учатся читать эту запись. Далее сравниваются задачи на деление на равные части и на деление по содержанию. При сравнении обращается внимание на сходство и различие в записи решения этих задач (действия одинаковы, но запись наименований различна).

Решение задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и других, при решении которых раскрывается новый смысл арифметических действий, опирается на понимание учащимися смысла выражений: «на столько-то единиц больше (меньше)», «во столько-то раз больше (меньше)» и т.п. Поэтому перед введением таких задач необходимо раскрыть смысл этих выражений.

При уточнении и формировании этих понятий можно выделить несколько этапов.

Первый этап: воспроизведение и уточнение понятий поровну, столько же, равны.

Учитель показывает 3 карандаша и просит всех учащихся взять карандашей столько же. Затем он вызывает одного из учеников и говорит: «У меня и у Саши карандашей поровну, равное количество». Далее предлагается ряд аналогичных заданий: отхлопать в ладоши столько же раз, нарисовать, вырезать столько же и т. д.

Второй этап: уточнение понятия «столько же и еще».

Учитель дает задание одному ученику поставить в ряд 5 кругов, а другому столько же и еще 2 круга, а затем сравнить круги в первом и втором ряду. Ученик ответит и запишет: «Во втором ряду кругов на 2 больше, чем в первом ряду: 5+2. В первом ряду кругов на 2 меньше».

Третий этап: введение понятия на столько-то единиц больше (путем практической деятельности с конкретными предметами).

Учитель говорит: «В одном ряду 4 листочка (кладет 4 листочка), в другом ряду на 1 листочек больше. Сколько листочков нужно положить во второй ряд? Во второй ряд я положу столько же листочков, сколько в первый (4 листочка). Сколько листочков надо еще прибавить, если во втором ряду на 1 листочек больше? (Прибавить один листочек.) Какое арифметическое действие запишем?»

«Положи на одну полоску 6 кругов, а на другую столько же без двух, т.е. меньше на 2. Что ты сделал? (Убрал 2 круга.) Каким арифметическим действием это можно записать?» (6-2.)

Четвертый этап: увеличение или уменьшение числа на несколько единиц.

Задания: «Увеличь число 10 на 2. Уменьши число 10 на 2. Как это сделать?»

После этого учащиеся начинают решать задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц. При этом следует обратить внимание на задачи с разнородными предметами. Например: «На парте лежат 7 карандашей, а тетрадей на 3 меньше. Сколько тетрадей лежит на парте?» При решении этой задачи ученики должны провести такое рассуждение: «На парте лежит тетрадей столько же, сколько карандашей без трех, т.е. на три меньше. Решение задачи записывается так: 7т.—3т.=4т. 4 тетради лежат на парте».

Затем решаются задачи, в которых входят выражения: «длиннее (короче) на ...», «выше (ниже) на ...», «уже (шире) на ...» и т.д.

Решение задач на разностное сравнение, т.е. установление, на сколько одно число больше или меньше другого, тесно связано с решением задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц.

Решение таких задач вызывает у учащихся школы VIII вида ряд трудностей. Их затрудняет необычная форма вопроса. Ученики уподобляют ее уже известной привычной форме, начиная вопрос со слова сколько. Наличие в вопросе слова больше является для учащихся с нарушением интеллекта определяющим при выборе действия.

Задачи на разностное сравнение с вопросами «На сколько больше?» нередко решаются учащимися сложением. Они долго не понимают, почему к одному и тому же условию можно поставить два вопроса: «На сколько больше...? На сколько меньше...?», решается же задача только одним действием - вычитанием. При записи ответа задачи учащиеся пропускают предлог «на».

Все это говорит о необходимости большой предварительной работы с учащимися. До решения задач на разностное сравнение учащихся нужно научить сравнивать предметы одной совокупности (целого и части), двух предметных совокупностей, величин чисел, устанавливая между ними отношения равенства и неравенства.

1. Сравнение предметных совокупностей:

а) сравниваются предметы одной совокупности

Например, всего 10 кругов, из них красных кругов 6. Устанавливается, что красных кругов меньше, а всего кругов больше. Учитель показывает, что если от всех кругов (10) отнять красные круги (6), то получим число (4), которое показывает разность количества всех кругов и красных. Можно сказать: всего кругов на 4 больше, чем красных, или красных кругов на 4 меньше, чем всего; значит, надо из 10 вычесть 6;

б) сравниваются предметы двух совокупностей

Например, учащимся предлагается сравнить, каких кругов больше: синих или зеленых. Учащиеся раскладывают на наборном полотне синие круги в один ряд и под каждый из них кладут в другом ряду зеленые круги. Затем ставится вопрос: «На сколько синих кругов больше, чем зеленых?» Учащиеся считают, сколько лишних синих кругов и сколько недостает зеленых кругов: «Синих на два круга больше, чем зеленых; зеленых на два круга меньше, чем синих». Сколько синих кругов? Сколько зеленых кругов? Если из синих кругов вычесть зеленые круги (6-4), то получим разность (2). Можно сказать: синих кругов на 2 больше, чем зеленых, или зеленых кругов на 2 меньше, чем синих.

2. Сравнение величин:

а) сравнивается целое и часть.

Например, учащимся предъявляется целая полоска. Часть ее закрашивается. Ставятся вопросы: «Что длиннее: вся полоска или закрашенная ее часть? На сколько вся полоска длиннее закрашенной части? На сколько закрашенная часть полоски короче всей полоски?» Ответ: «Надо из длины всей полоски вычесть длину закрашенной части полоски»;

б) сравниваются две величины, например две ленты.

Одна лента накладывается на другую так, чтобы совпали левые концы (это необходимо показать учащимся). Учитель спрашивает: «Какая лента длиннее, какая короче?» Выясняется, что одна лента длиннее другой на определенный отрезок, этот отрезок отрезается.

Так же сравниваются две полоски, два куска материи, две бечевки и т.д.

Далее решаются задачи вида: «У причала стояло 8 теплоходов. 5 теплоходов отошли от пристани. На сколько меньше теплоходов отошло от пристани, чем стояло у пристани? На сколько больше теплоходов стояло у пристани, чем отошло в море?»

«Садовод снял с яблони 50 кг яблок, а с груши 37 кг груш. На сколько килограммов яблок садовод снял больше, чем груш? На сколько килограммов груш меньше снял садовод, чем яблок?»

Задачи на разностное сравнение сравниваются с задачами на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц. При этом задача на разностное сравнение с вопросом «на сколько больше?» сравнивается с задачей на увеличение числа на несколько единиц, а задача с вопросом «на сколько меньше?» - с задачей на уменьшение числа на несколько единиц.

С задачами на увеличение и уменьшение числа в несколько раз возможно познакомить учащихся лишь тогда, когда они усвоили понятия «во столько-то раз больше», «во столько-то раз меньше», «увеличить в несколько раз», «уменьшить в несколько раз».

Требуется кропотливая работа, чтобы учащиеся усвоили эти понятия и выполняли соответствующие операции с предметными совокупностями, с величинами, числами.

Вначале учащиеся знакомятся с понятием увеличения числа и несколько раз, выполняя операции с предметными совокупностями. Например, учитель предлагает учащимся взять 3 гриба, сам тоже берет 3 гриба и ставит на наборное полотно. «Теперь,- говорит он, - поставим ниже еще столько же и еще столько же грибов, т.е. в два раза больше грибов. Вверху 3 гриба, а внизу в 2 раза больше. Нарисуйте две палочки, а под ними столько же, еще столько и еще столько же палочек. Сколько палочек сверху? Сколько внизу? Внизу палочек в 3 раза больше. Решать нужно так:

2п.хЗ=6 п.»

Затем понятие «увеличение в несколько раз» формируется на операциях с величинами. Например: «От мотка красной ленты отмерили 20см, а от мотка белой - в 2 раза больше». Учащиеся отмеряют 20см красной ленты, а белой -20 см и еще 20 см и записывают: 20смх2=40см белой ленты отмерили.

Затем учитель говорит: «Если требуется взять, отложить, отмерить и

т.д. предметов в несколько раз больше, надо умножить, а если в несколько раз меньше - разделить. Например, надо взять 8 тетрадей в клеточку, а в линейку в 2 раза меньше тетрадей. Сколько тетрадей надо взять в линейку?

8т.:2=4т.».

Следует на рисунке показать, что тетрадей в линейку в 2 раза меньше, чем в клетку, а тетрадей в клетку в 2 раза больше, чем в линейку.

Наряду с задачами с конкретным содержанием в этот период решаются и такие задачи: «Какое число получится, если 24 уменьшить в 6 раз, 8см увеличить в 3 раза, 25 уменьшить в 5 раз?»

Необходимо сравнивать задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и в несколько раз.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ СОСТАВНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Составной или сложной арифметической задачей называется задача, которая решается двумя и большим числом арифметических действий. Решение составной задачи по сравнению с простой более затруднительно для школьников с нарушением интеллекта.

Если при решении простой задачи ученик должен был установить зависимость между числовыми данными и, руководствуясь вопросом задачи, выбрать нужное действие, то в составной задаче (хотя бы в два действия) ученик должен либо получить недостающее третье данное, либо из трех числовых данных выбрать два и, учитывая отношения между ними, выбрать нужное действие.

Получив промежуточный ответ, он должен, установив зависимость между ним и имеющимся в условии третьим числовым данным, а также руководствуясь главным вопросом задачи, выбрать нужное действие. Следовательно, чтобы решить сложную задачу, ученик должен провести цепь логических рассуждений и сделать умозаключения.

Умственно отсталые школьники не узнают знакомых простых задач в контексте новой составной задачи, не актуализируют имеющиеся знания по решению уже известной, простой задачи. Это приводит к тому, что учащиеся составную задачу решают по аналогии с простой одним арифметическим действием.

К решению составных задач учитель может переходить тогда, когда убедится, что учащиеся овладели приемами решения простых задач, которые войдут в составную задачу, сами могут составить простую задачу определенного вида. Поэтому в подготовительный период, т.е. на протяжении всего первого года и в начале второго года обучения, следует предлагать учащимся задания:

1) к готовому условию подобрать вопрос;

2) по вопросу составить задачу, подобрав недостающие числовые данные.

Эти умения пригодятся учащимся при решении составных задач.

Полезны решения таких пар задач, в которых вторая задача является продолжением первой, т.е. ответ первой простой задачи является данным второй простой задачи.

Например: «В вазе лежало 5 красных и 7 желтых яблок. Сколько всего яблок в вазе?»; «В вазе лежало 12 яблок, 8 яблок съели. Сколько яблок осталось в вазе?»

Учащиеся решают каждую задачу отдельно. Решение задач сопоставляется. Учитель просит объяснить, почему первая задача решается сложением, а вторая - вычитанием. Обращается внимание учащихся на первое числовое данное второй задачи. Эта подготовительная работа необходима для того, чтобы сами учащиеся впоследствии научились составлять такие пары задач.

Вначале учитель предлагает:

1) только подобрать вопрос ко второй простой задаче, а затем составить вторую задачу из пары, первая задача предлагается готовой;

2) составить вторую задачу с числом, которое получилось при решении первой задачи, например: «Маша получила новогодний подарок. В нем было 6 шоколадных конфет и 5 карамелек. Сколько всего конфет было в подарке?» Решив задачу, ученики дают ответ: «Всего 11 конфет». «Теперь придумайте задачу о конфетах на вычитание, чтобы в ней было число 11», - говорит учитель. Такой вид упражнений поможет учащимся выделять впоследствии из составной задачи простые.

Необходимо сопоставить решение простой и составной задач. Причем составная задача должна отличаться от простой только дополнительным числовым данным и вопросом. Например: «У мальчика было в альбоме 8 марок. Он положил туда еще 6 марок. Сколько всего марок стало в альбоме?»;

«У мальчика в альбоме было 8 марок. Он положил туда еще 6 марок. 9 марок он подарил товарищу. Сколько марок осталось в альбоме?» Разбираются и решаются обе задачи. Решение задач с вопросами и ответами записывается.

Далее необходимо сопоставить решение и содержание простой и составной задач.

Во сколько действий решена первая задача? Во сколько действий решена вторая задача? Сколько действий сделал ученик в первой задаче? Сколько - во второй?

Чем еще отличается условие первой задачи от условия второй?

Какой вопрос первой задачи? Какой вопрос второй задачи? Почему нельзя было сразу ответить на вопрос второй задачи?

Чего мы не знали?

Сопоставляя простые и составные задачи, учащиеся постепенно научатся узнавать в составной задаче простые, уже бывшие в опыте их решения.

После решения составных задач (с тремя числами) с разнородными действиями на нахождение суммы и остатка предъявляются составные задачи, составленные из различных, ранее решавшихся видов простых задач: задачи на увеличение числа на несколько единиц и нахождение суммы и др.

Например: «Ребята посадили в первом ряду 8 елочек, а во втором на 4 елочки больше. Сколько всего елочек посадили ребята?»

Покажем рассуждения, которые надо провести, подводя учащихся к выбору действий от главного вопроса задачи: «Что нужно узнать в задаче? Какие елочки входят в число всех елочек? Можем ли сразу узнать, сколько всего елочек посадили ребята? Почему нет? Какого числа мы не знаем? Можно ли сейчас узнать, сколько елочек во втором ряду? Каким действием это можно сделать? Почему? Теперь мы знаем, сколько елочек в первом ряду, и узнали, сколько их во втором ряду. Можно ли теперь ответить на вопрос задачи? Каким действием? Почему? Решили ли мы задачу? Почему? Во сколько действий задача? Какое первое действие? Какое второе действие? Запишем решение задачи с пояснением».

Решение.

1. 8ел.+4ел. = 12елочек посадили ребята во втором ряду;

2. 8ел.+ 12ел.=20елочек посадили ребята.

Решение задачи учитель закрепляет с учащимися, задавая им вопросы: «Что означает число 12 елочек в ответе первого действия? Как получили это число? Почему выполнили сложение? Что показывает число 20 елочек? Сколько действий нужно было сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? Почему сразу одним действием нельзя было ответить на вопрос задачи? Чего мы не знали?» Далее можно провести последующую работу над этой же задачей.

По мере знакомства учащихся с новыми арифметическими действиями - умножением и делением (3-й класс), а также с новыми математическими понятиями - учащиеся решают новые как простые, так и составные задачи, в которые входят эти простые.

Например, учащиеся решают задачи на нахождение произведения и суммы или остатка, на деление на равные части и нахождение суммы, на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз и нахождение суммы и разности и т.д.

Составные задачи усложняются как за счет включения новых видов простых задач, так и за счет увеличения количества действий, которые надо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи. Если во 2-х и 3-х классах учащиеся решают задачи в 2 действия, то в 4-5-х классах - в 2-3 действия, в последующих классах - в 3-4 действия.

При решении составных задач учащихся следует научить общим приемам работы над задачей:

-умению анализировать содержание задачи, выделяя известные данные, искомое (т.е. устанавливая, что нужно узнать в задаче),

-определять, каких данных недостает для ответа на главный вопрос задачи (т.е. устанавливая промежуточные искомые).

Такому анализу содержания задачи во многом способствует умение учащихся конкретизировать его с помощью предметов, иллюстраций, краткой записи, схем и чертежей.

Учитель должен научить учащихся приемам решения задач, показать, что решение любой задачи складывается из ряда этапов:

-работа над содержанием,

-составление плана и выбора действий,

-выполнение действий,

-проверка правильности решения.

В практике работы школы VIII вида оправдал себя прием работы с карточками-заданиями, в которых излагается последовательность работы над задачей:

1.Прочитай задачу внимательно.

2.О чем говорится в задаче?

3.Что известно в задаче? Назови каждое число и объясни, что оно показывает.

4.Назови главный вопрос задачи. Объясни, что нужно узнать в задаче.

5.Запиши задачу кратко или сделай чертеж.

6.Повтори задачу по краткой записи.

7.Можно ли сразу ответить на главный вопрос задачи? Каких данных не хватает, чтобы ответить на этот вопрос сразу?

8.Что можно узнать сначала? Каким действием? Что можно узнать потом?

9.Составь план решения и наметь действия. Выполни решение.

10.Проверь решение и запиши ответ задачи.

Среди составных арифметических задач большое место и школе VIII вида занимают задачи, решаемые приведением к единице.

В содержание таких задач входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью. При этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, а определить нужно второе значение этой величины. Третья величина, связанная с двумя данными, остается без изменения. Например, в задаче: «За 3 булочки заплатили 6р. Купили 5 таких булочек. Сколько будет стоить покупка?» - даны два значения количества (количество булочек 3 и 5), одно значение стоимости. Второе значение стоимости неизвестно (искомое). Цена постоянная. Подготовительная работа к решению этих задач начинается с решения простых задач на нахождение суммы одинаковых слагаемых (или на нахождение произведения), на деление на равные части, тесно связанные с задачами на прямое приведение к единице.

С задачами на нахождение стоимости по цене и количеству учащиеся знакомятся в 3-м классе.

Можно начать работу над такими задачами, устраивая игры в магазин. На витрине магазина разложены товары. Это могут быть учебные принадлежности, книги, игрушки с указанием цены. Учитель обращает внимание на термин «цена». Он просит назвать цены ряда товаров. Ученику предлагается выбрать предмет для покупки и купить не один, а два или три таких предмета. На основе этого составляется задача, например: «Цена одной тетради 2р. Валя купила 3 тетради. Сколько денег уплатила Валя за все тетради?»

Учитель ставит вопросы: «Что известно в задаче? Что показывает число 2р.? (Цену одной тетради.) Что показывает число 3 тетради? (Количество купленных тетрадей.) Что неизвестно в задаче?» (Стоимость всей покупки.) (Слова «цена», «количество», «стоимость» учащиеся могут и не называть. Их называет в этом случае учитель.)

При разборе задачи учитель интонацией голоса подчеркивает слова «цена», «количество», «стоимость». Задача иллюстрируется.

На следующий год (4-й класс) вводятся те же задачи на зависимость между величинами, но неизвестными являются в них либо цена, либо количество. Учащиеся сами должны научиться составлять таблицы при решении подобных задач и вписывать в них числовые данные.

Решение таких задач готовит учащихся к знакомству с задачами на прямое приведение к единице, например: «3 тетради стоят 9 р. Сколько стоят 5 таких тетрадей?»

Чтобы учащиеся более осознанно решали сложные задачи, полезно сравнивать их с простыми задачами. Например, только что решенную задачу следует сравнить с такой простой задачей: «1 тетрадь стоит 3 р. Сколько стоят 5 таких же тетрадей?»

При решении задачи на обратное приведение к единице рассуждение можно проводить от данных задачи, например: «6 тетрадей стоят 12р. Что отсюда можно узнать? (Цену одной тетради.) Каким действием узнаем цену одной тетради? Если знаем цену тетради и стоимость всех тетрадей (24р.), то что отсюда можем узнать? (Количество тетрадей.) Каким действием? Какой первый вопрос задачи? Какое первое действие? Какой второй вопрос задачи? Какое второе действие? Решение задачи запишем так: сначала план, а потом действия».

Решение

12р.:6=2р.

24р.:2р=12(тетрадей)

Сколько стоит одна тетрадь? Сколько тетрадей купили?

Ответ. Купили 12 тетрадей.

Учащимся школы VIII вида очень трудно отдифференцировать два вида этих взаимно обратных задач, поэтому на этом этапе очень полезен прием сравнения, сопоставления условий и решений этих задач, сопоставление вопросов, записей наименований в действиях, ответов.

Задачи на прямое и обратное приведение к единице могут отражать зависимость между:

-скоростью, временем и расстоянием;

-между расходом материала на одно изделие, количество изделий и общим расходом материала;

-между массой одного предмета, количеством предметов и общей массой;

-между емкостью одного сосуда, количеством сосудов и общей емкостью и т. д.

Задачи на зависимость между скоростью, временем и расстоянием.

Прежде чем решать такие задачи, необходимо познакомить учащихся с величиной скорость, уточнить представление о времени и единицах измерения времени, о длине или расстоянии и единицах измерения длины, вспомнить известные им расстояния между городами, селами, расстояние от школы до определенного объекта, и в каких мерах длины измеряется расстояние.

Пройти с учащимися расстояние длиной 1км и установить, сколько времени затратили на этот путь. Установить зависимость между расстоянием и временем для его прохождения. А если это расстояние человек проходит не пешком, а едет на велосипеде, на лыжах, на машине, то больше или меньше он затратит времени? Если путь, который преодолевает человек одинаковый, то от чего зависит затрата времени? Перед учениками поставлена проблема. Готовы ли они ее решить? Далее учитель знакомит их с новой величиной - скоростью. Учащиеся в игре, на экскурсии должны наблюдать скорости движущихся предметов, людей, транспорта.

В доступной и по возможности наглядной форме надо показать учащимся, что скорость движения предметов различна. В зависимости от скорости движения в единицу времени (минуту, секунду, час) будет пройдено различное расстояние. Можно продемонстрировать скорость движения двух учеников: бегущего и идущего. Скорость движения бегущего ученика больше: за одно и то же время он проделывает большее расстояние. Далее предлагается задача: «Пешеход за 1ч проходит 5км. Сколько километров он пройдет за 3ч, если будет двигаться с той же скоростью?»

Целесообразно запись условия задачи дать в таблице, чтобы учащиеся могли лучше понять зависимость между тремя величинами: скоростью, временем и расстоянием.

Скорость

Время

Расстояние

5 км в час

3 ч

? км

Условие задачи следует учить изображать чертежом: скорость обозначать стрелкой, а расстояние - отрезком.

При решении сложных задач на движение пункты отправления или встречи движущихся объектов лучше обозначать точками, например: «Из двух городов навстречу друг другу вышли два поезда. Один шел со скоростью 75км в час, а другой 68км в час. Через 3ч они встретились. Каково расстояние между городами?»

Прежде чем приступить к решению данной задачи, надо продемонстрировать движение «навстречу друг другу», выяснить, понимают ли учащиеся это выражение. Затем получить ответы на вопросы: «Одинакова ли скорость у поездов? Одинаковое ли расстояние пройдут поезда до встречи? Какой поезд за 3ч пройдет путь больше и почему? К какому из городов ближе произойдет встреча и почему?» После этого учащиеся должны сделать чертеж. Так как задачу можно решить двумя способами, учитель сначала рассматривает путь решения, который предлагают учащиеся.

Если ученики самостоятельно не могут решить задачу даже когда сделан чертеж, то учитель ставит ряд наводящих вопросов, которые помогут учащимся выбрать путь решения задачи: «Можно ли узнать путь первого поезда до встречи? Почему? Каким действием? Можно ли узнать путь второго поезда до встречи? Почему? Каким действием? Можно ли теперь узнать расстояние между городами? Какой первый вопрос задачи? Какой второй вопрос задачи? Какой третий вопрос задачи?»

Рассуждения при решении этой задачи можно провести и иначе, объяснив учащимся, что сначала можно определить «скорость сближения»,

т.е. определить, на сколько километров в час приближаются поезда друг к другу. Для этого надо сложить скорости первого и второго поездов (75 км/ч+68 км/ч=143 км/ч). 143 км/ч — это «скорость сближения» двух поездов. Если «скорость сближения» 143 км/ч умножить на время движения поездов до встречи (3 ч), получим расстояние между городами: 143 км/чх3=429 км. Решение с пояснением

1.75км/ч+68км/ч=143км/ч - «скорость сближения».

2.143км/ч-3=429км - расстояние между городами.

Ответ. Расстояние между городами 429км.

Оба способа решения задачи сравниваются.

Учитель обращает внимание на то, что, хотя задача решена разными способами, ответы одинаковы. Это свидетельствует о правильности решения задачи.

При возможности решения задачи двумя способами выбирать для решения следует более рациональный способ.

Задачи на пропорциональное деление вводятся в 7-м классе. В школе VIII вида решаются задачи с двумя переменными величинами, связанными пропорциональной зависимостью и одной постоянной величиной. Это задачи вида:

1.Купили два отреза материи по одинаковой цене. В одном отрезе было 8м материи, а в другом 5м. За всю материю заплатили 117 р. Сколько стоит каждый отрез?

2.Купили по одинаковой цене 2 отреза материи, всего 13м, и уплатили 117р. Один отрез стоил 72р., а другой 45р. Сколько метров материи было в каждом отрезе?

Перед решением задач на пропорциональное деление надо решить ряд задач на приведение к единице, затем тщательно разобрать содержание предложенной задачи, с тем, чтобы учащиеся хорошо представили себе данные и искомое задачи. Содержание задачи можно записать в таблицу, это поможет учащимся лучше уяснить зависимость между данными и искомым. Цена Количество Стоимость

Одинаковая 8 м

5 м }П7р.

Учитель ставит ряд вопросов по содержанию задачи:

-«Сколько отрезов материи купили?

-Одинаковы ли были отрезы?

-Что сказано о цене 1м материи?

-Известна ли цена 1м материи?

-Сколько стоит вся материя?

-Что нужно узнать? Что означает выражение «каждый отрез»?

-Одинакова ли стоимость каждого отреза?

-Какой отрез будет стоить дороже? Почему?»

После разбора содержания задачи следует начать поиск решения задачи, начиная от главного вопроса: «Можно ли сразу ответить на вопрос: сколько стоил первый отрез? Почему нельзя? Можно ли сразу узнать цену 1м материи? Почему нельзя? Чего мы еще не знаем? Можно ли сразу узнать количество метров материи в двух отрезах? Почему можно? Каким действием? Значит, какой первый вопрос задачи? Какое первое действие? Если мы будем знать количество материи, а стоимость мы знаем, то что можно узнать? Значит, какой второй вопрос задачи? Какое второе действие? Когда мы узнаем цену материи, то что можно узнать дальше, каким действием? Что будем узнавать потом? Во сколько действий решается задача?»

Решение задачи записывается с вопросами или записывается каждое действие и поясняется.

Аналогично вводится решение задач другого вида.

Выработка обобщенного способа решения задач данного вида обеспечивается многократным решением задач с разнообразными фабулами, решением готовых и составленных самими учащимися задач, сравнением задач данного вида с ранее решавшимися видами задач и т. д.

18