ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Г. НОЯБРЬСК

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 6

муниципального образования город Ноябрьск»

(МБОУ СОШ № 6)

«Нестандартные приёмы решения алгебраических задач»

(10 класс)

Разработчик:

Милько Т.В.,

учитель математики

МБОУ СОШ № 6,

высшая квалификационная категория

г. Ноябрьск

2013 год

Ключевая идея решения – создание геометрической модели алгебраической задачи на основе теоремы косинусов.

Пример 1. Найдите положительные корни уравнения.

4+x² - 2 3x + x²- 3 xy +y² + 9+y²- 3 3y = 13.

Решение: По условию задачи x>0, y>0.

Введём обозначения:

4+x² -2 3x = a; x²- 3xy +y² = b; 9+y²-3 3 y = c. Тогда a+b+c = 13.

Возведя в квадрат обе части каждого из равенств, получим:

a² = 4+х² -2 3 х; b² = x² - 3 xy+y²; c² = 9+y²-3 3 y. Преобразуя их к виду

.

a² = 2² +х² - 2∙ 2х ∙ 3 ; b² = x² + y² – 2xу 3; c² = 3² + y² -2∙3у 3 ,

2 2 2

первое из них можно рассматривать как теорему косинусов для треугольника со сторонами a, 2, x и углом  φ₁= 30°, где φ ₁ = ∠(2,х),

второе – как теорему косинусов для треугольника со сторонами

b, х, y и углом φ₂= 30°, где φ₂ = ∠(х,y),

третье равенство – как теорему косинусов для треугольника со сторонами

с, y, 3 и углом φ₃= 30°, где φ₃ = ∠(y,3).

1) 2) 3)

2 a x b y c

30° 30° 30°

x y 3

Совместив эти треугольниками сторонами x и y, получим пифагоров треугольник. (2²+3²=13.)

Обозначим ∠ B через α. Рассмотрим ∆CDB: по теореме синусов:

CD BC

sin ∠B sin∠CDB

∠CDB=180°- (α +30°)=150°- α. Значит:

y 3 3∙sin α

sin α sin (150°- α) sin (150°- α)

Воспользуемся формулой: sin(α-β) = sin α ∙ cos β - sin β ∙ cos α.

3∙sin α

sin 150° ∙ cos α - sin α ∙ cos 150°

2 3

Из ∆ACB: sin α= 13; cos α= 13.

3 ∙ 2

Значит, 13 6∙2 13 12 12(2 3 -3)

1 ∙ 3 2 ∙ 3 13(2 3 +3) 2 3 +3 3

2 13 13 2

=4(2 3 - 3).

CE CB

Из ∆BCE по т. косинусов: sin β sin BEC , т.е.

x 3 3∙sin α

sin α sin (120°- α) sin (120°- α)

3 ∙ 2 6

13 13 3 ∙ 3 1 ∙ 2 6 ∙ 2 13

sin 120° ∙ cos α - sin α ∙ cos 120° 2 13 2 13 13 (3 3 + 2)

12 12(3 3 -2)

3 3 +2 23 .

Ответ: x =; y =4 (2 -3).

Пример 2: Найти положительные решения системы уравнений:

x²+xy+y²=9,

z²+yx+y²=16,

x²+xz+z²=100.

Решение. По условию x>0, y>0, z>0.

Преобразуем каждое уравнение системы к виду:

x²+y²+2xy = 3²; y²+z²+2yz .= 4²; z²+x²+2zх= 10².

Каждое из уравнений можно рассмотреть как теорему косинусов, записанную для треугольников со сторонами:

1) x, y, 3 и углом  φ₁= 60°, где φ ₁ = ∠(x,y).

2) y, z, 4 и углом φ₂= 60°, где φ₂ = ∠(y,z).

3) z, x, 10 и углом φ₃= 60°, где φ₃ = ∠(z,x).

Совместив эти треугольники, получим следующую модель:

Проверим неравенство треугольника для наибольшей стороны:

10<3+4(неверно). Значит, такой треугольник не существует, т.е. система

уравнений не имеет положительных решений.

Ответ: решений нет.

Список использованной литературы

Источники информации: по материалам Осенней математико-английской школы УРЭК г. Белорецк.