Нестандартные приёмы решения алгебраических задач, 10 класс

ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Г. НОЯБРЬСК

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 6

муниципального образования город Ноябрьск»

(МБОУ СОШ № 6)


«Нестандартные приёмы решения алгебраических задач»

(10 класс)









Разработчик:

Милько Т.В.,

учитель математики

МБОУ СОШ № 6,

высшая квалификационная категория











г. Ноябрьск

2013 год


Ключевая идея решения – создание геометрической модели алгебраической задачи на основе теоремы косинусов.


Пример 1. Найдите положительные корни уравнения.


4+x2 - 2 3x + x2- 3 xy +y2 + 9+y2- 3 3y = 13.


Решение: По условию задачи x>0, y>0.

Введём обозначения:


4+x2 -2 3x = a; x2- 3xy +y2 = b; 9+y2-3 3 y = c. Тогда a+b+c = 13.


Возведя в квадрат обе части каждого из равенств, получим:


a2 = 4+х2 -2 3 х; b2 = x2 - 3 xy+y2; c2 = 9+y2-3 3 y. Преобразуя их к виду

.

a2 = 222 - 2∙ 2х ∙ 3 ; b2 = x2 + y2 – 2xу 3; c2 = 32 + y2 -2∙3у 3 ,

2 2 2

первое из них можно рассматривать как теорему косинусов для треугольника со сторонами a, 2, x и углом  φ1= 30°, где φ 1 = (2,х),

второе – как теорему косинусов для треугольника со сторонами

b, х, y и углом φ2= 30°, где φ2 = (х,y),

третье равенство – как теорему косинусов для треугольника со сторонами

с, y, 3 и углом φ3= 30°, где φ3 = (y,3).


1) 2) 3)

2 a x b y c

30° 30° 30°

x y 3


Совместив эти треугольниками сторонами x и y, получим пифагоров треугольник. (22+32=13.)











Обозначим B через α. Рассмотрим ∆CDB: по теореме синусов:


CD BC

sin B sinCDB


CDB=180°- (α +30°)=150°- α. Значит:

y 3 3∙sin α

sin α sin (150°- α) sin (150°- α)


Воспользуемся формулой: sin(α-β) = sin α cos β - sin β cos α.

3sin α

sin 150° cos α - sin α cos 150°

2 3

Из ∆ACB: sin α= 13; cos α= 13.

3 ∙ 2

Значит, 13 62 13 12 12(2 3 -3)

1 3 2 3 13(2 3 +3) 2 3 +3 3

2 13 13 2

=4(2 3 - 3).


CE CB

Из ∆BCE по т. косинусов: sin β sin BEC , т.е.


x 3 3sin α

sin α sin (120°- α) sin (120°- α)


3 ∙ 2 6

13 13 3 ∙ 3 1 ∙ 2 6 ∙ 2 13

sin 120° cos α - sin α cos 120° 2 13 2 13 13 (3 3 + 2)


12 12(3 3 -2)

3 3 +2 23 .

Ответ: x =; y =4 (2 -3).

Пример 2: Найти положительные решения системы уравнений:

x2+xy+y2=9,

z2+yx+y2=16,

x2+xz+z2=100.


Решение. По условию x>0, y>0, z>0.

Преобразуем каждое уравнение системы к виду:

x2+y2+2xy = 32; y2+z2+2yz .= 42; z2+x2+2zх= 102.

Каждое из уравнений можно рассмотреть как теорему косинусов, записанную для треугольников со сторонами:

1) x, y, 3 и углом  φ1= 60°, где φ 1 = (x,y).

2) y, z, 4 и углом φ2= 60°, где φ2 = (y,z).

3) z, x, 10 и углом φ3= 60°, где φ3 = (z,x).

Совместив эти треугольники, получим следующую модель:

Проверим неравенство треугольника для наибольшей стороны:

10<3+4(неверно). Значит, такой треугольник не существует, т.е. система

уравнений не имеет положительных решений.

Ответ: решений нет.


Список использованной литературы



Источники информации: по материалам Осенней математико-английской школы УРЭК г. Белорецк.











Нравится материал? Поддержи автора!

Ещё документы из категории математика:

X Код для использования на сайте:
Ширина блока px

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

X

Чтобы скачать документ, порекомендуйте, пожалуйста, его своим друзьям в любой соц. сети.

После чего кнопка «СКАЧАТЬ» станет доступной!

Кнопочки находятся чуть ниже. Спасибо!

Кнопки:

Скачать документ