Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

города Химки Московской области

«Изучение процентов в 5 классе»

подготовила

учитель математики

Новикова Мария Александровна

г. Химки

2013

Изучение процентов в 5 классе.

Содержание.

1. Введение, исторические сведения, начало изучения темы.

2. Устные упражнения на проценты.

3. Изложение темы по учебнику Виленкина Н.Я. и др.

4. Решение задач на нахождение процентов от процентов.

5. Комбинированные задачи на дроби и проценты.

1. Проценты – одна из самых трудных тем для пятиклассников. Это можно объяснить, в частности, тем, что понятие процента не является чисто математическим, а относится к терминам экономистов. Например, в учебнике Виленкина Н.Я., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и Жохова В.И. дается следующее определение процента: «Процентом называют одну сотую часть числа». И далее: 39 % = 0,39. однако это не совсем обычное равенство, так как если a = b, то заменить a на b можно всюду и всегда. Но нельзя писать х ^{39 %} вместо х ^0,39.

Только войдя в курс дела, привыкнув к новым словам, ученик сможет понять, почему получается такое несоответствие: если увеличить число х на у, а затем полученное число уменьшить на у, то снова получится х; но если увеличить х на 10 %, а затем полученное число уменьшить на 10 %, получится не х, а 0,9 х. Отсюда ясно, что проценты – это особый язык, к которому ученику надо привыкать.

В этом разделе программы 5 класса хорошо рассказать учащимся об истории возникновения процентов, а также об истории появления знака процента.

Итак, слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетам часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту /, возник современный символ для обозначения процента (см. схему, которую можно использовать на уроке).

Как возник знак процента %

pro cento Ù cento Ù cto Ù c/o Ù %

В учебнике Виленкина Н.Я., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и Жохова В.И. «Математика, 5» в рубрике «История математики» дана еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике. Где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В названном учебнике содержатся также достаточно полезные с точки зрения общего развития дополнительные сведения, касающиеся промилле (от латинского «с тысячи») – десятой части процента. Сказать учащимся об этом нужно, указав при этом его обозначения %_0.

Вообще, изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

В этой теме можно использовать старинные задачи и задачи с историческими сюжетами, которые при необходимости учитель с легкостью может составить и сам, например, путем переформулировки некоторых задач, изложенных в учебнике 5-ого класса (следует ввести в такие задачи старинный сюжет). Разумеется, главное в составлении таких задач – фантазия, эрудиция и понимание цели образовательных задач.

Приведем примеры двух задач исторического содержания, которые были составления для работы в 5-м классе по теме «Проценты».

Задача 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20 % от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Ответ: 60 сестерциев.

Задача 2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80 % от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Ответ: 140 рублей.

Теоретический исторический материал по теме «Проценты» можно найти в книге Депмана И. Я. И Виленкина Н. Я. «За страницами учебника математики».

2. Важную роль в теме «Проценты» нужно уделить устным упражнениям.

Так как в практической жизни полезно знать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина – 50 %, четверть – 25 %, три четверти – 75 %, пятая часть – 20 %, три пятых – 60 % и так далее, а также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов (увеличить в 2 раза – это значит увеличить на 100%, в 3 раза – на 200%, уменьшить в 2 раза – это значит уменьшить на 50 %), то можно предложить для устной работы следующие задачи.

• Расшифруйте название европейского государства, подобрав указанные доли величины.

1

четверть

80 %

Р

2

примерно треть

20%

О

3

половина

25%

А

4

пятая часть

50%

Д

5

примерно две трети

75%

А

6

четыре пятых

66%

Р

7

три четверти

33 %

Н

Ответ: АНДОРРА.

• Один ученик сказал: «Одна треть всех учащихся школы – это 30% всех учащихся школы». Прав ли он?

• Найдите группы равносильных утверждений и составьте для каждой группы буквенный код:

А

Расходы уменьшились в 2 раза

К

Расходы увеличились на 300 %

В

Расходы увеличились в 2 раза

Л

Расходы уменьшились в 2 раза

С

Расходы увеличились в 4 раза

М

Расходы уменьшились на 50%

Д

Расходы уменьшились на 80%

Н

Расходы увеличились на 200%

Е

Расходы уменьшились на 50%

О

Расходы увеличились на 100%

П

Расходы увеличились в 3 раза

Б

Расходы увеличились на 50%

Ф

Расходы увеличились в 1,5 раза

Г

Расходы уменьшились в 5 раз

Ответ: АМ, ВО, СК, ДГ, ЕЛ, ПН, ФБ.

• Определите по каждому рисунку, какой примерно процент фигуры закрашен, и выберите наиболее подходящий ответ из трех данных. Прочитайте название столицы европейского государства. Какое это государство?

1. Б – 30%, М – 70%, В – 50%

Нарисован шестиугольник, закрашена половина.

2. А – 25%, Н – 45%, Т – 55%

Нарисован квадрат, закрашена четверть.

3. Г – 10%, Д – 20%, Е – 30%

Нарисован круг, закрашено 20%.

4. Л – 40%, У – 80 %, К – 60%

Нарисован прямоугольник, закрашено 80%.

5. Р – 33%, И – 50%, Ц – 66%

Нарисован треугольник, закрашено две трети.

Ответ: ВАДУЦ (государство Лихтенштейн).

• Верно ли, что:

1. 30% равны одной трети (нет);

2. 25% равны одной пятой (нет, четверть);

3. 49% составляют меньше половины (да);

4. 78% составляют больше трех четвертей (да);

5. Увеличить на 200% - это значит увеличить в 2 раза (нет, в 3 раза);

6. Уменьшить на 50% - это уменьшить в 2 раза (да).

3. По учебнику Виленкина Н. Я., Чеснокова А. С., Шварцбурда С. И., Жохова В. И. проценты изучаются в 4 четверти, на изучение темы отводится 5 часов при 5 часах в неделю и 6 часов при 6 часах в неделю. Учитывая то, что согласно программно-методическим материалам, у учащихся важно выработать содержательное понимание смысла термина «процент» и сформировать умения решать простейшие задачи на проценты трех видов: находить несколько процентов от какой-либо величины; находить число, если известно несколько его процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого, времени, отведенного на изучение темы «Проценты», может оказаться недостаточно. Для увеличения времени на изучение процентов можно воспользоваться задачами, которые предлагает Г.Г. Левитас для решения в течение года. При изучении каждого пункта учебника можно включить в домашнее задание одну из предлагаемых задач, а затем на уроке разобрать ее решение. Приведем примеры нескольких таких задач.

№1 Один процент числа – это его сотая часть. Например, один процент числа 300 равен сотой части числа 300, т.е. 300:100=3. Чему равен один процент числа 4800?

№2 Напоминаем: один процент числа – это его сотая часть. Чему равен один процент числа 72000?

№3 Вспомни: один процент числа равен его сотой части. Один процент обозначается так: 1%. Чему равен 1% числа 400?

№4 Чему равен 1% от 6700? Чему равны 2% от 6700?

№5 Что больше, 1% числа 200 или 5% числа 100?

№6 Прибор стоил 120 рублей. Он подешевел на 10 %. На сколько рублей подешевел прибор? Сколько рублей он теперь стоит?

№7 1% числа равен 20. Чему равно все число?

Это можно узнать так: 20 × 100 = 2000 (ведь если 20 – это сотая часть числа, то само это число в 100 раз больше, чем 20).

1% числа равен 30. Чему равно все число?

№8 1% числа равен 75. Чему равно все число?

№9 2% числа равны 40. Чему равно все число?

Решая такие задачи в течение продолжительного времени, к концу учебного года учащиеся научатся решать эти задачи и привыкнут к понятию процента, им легче будет усвоить и решение трех основных задач на проценты: нахождение нескольких процентов от данного числа, нахождение числа по его процентам и нахождение процентного соотношения.

Примеры задач:

№1 Фрекен Бок испекла 80 пирожков. Карлсон тут же съел 10% пирожков. Сколько пирожков съел Карлсон?

Решение.

1. 80 : 100 = 0,8 – составляет 1%,

2. 0,8 × 10 = 8 (пир.)

Ответ: 8 пирожков съел Карлсон.

№2 Буратино прочитал 138 страниц азбуки, что составляет 23% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в азбуке?

Решение.

1. 138 : 23 = 6 (стр.) – составляет 1%,

2. 6 × 100 = 600 (стр.)

Ответ: 600 страниц в азбуке.

№3 Три Толстяка съели 558 тортов из 1800. Какой процент тортов съели Три Толстяка?

Решение.

Три Толстяка съели 558/1800 всех тортов. Обратим дробь в десятичную, получим 0,31 или 31 %.

Ответ: 31% всех тортов Съели Три Толстяка.

В учебнике Виленкина Н.Я., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и Жохова В.И. «Математика, 5» есть рубрика, отмеченная славянской буквой «глаголь», в которой, в частности, уделяется внимание правильному произношению и употреблению слова «процент».

G

1. Ударение в слове процент во всех числах и падежах сохраняется на втором слоге.

2. Сочетание «несколько процентов (чего?)…» используется, если зависимое слово – существительное, не имеющее количественного значения. Например, тридцать процентов населения.

3. Сочетание «несколько процентов (от чего?)…» используется, если зависимое слово – числительное. Например, десять процентов от шестидесяти.

4. Если зависимое слово по смыслу связано с количеством, допустимы обе конструкции. Например, шесть процентов зарплаты и шесть процентов от зарплаты.

5. Слова процент, проценты читаются в большинстве случаев в том же падеже, что и числительное. Например, одна пятая равна двадцати процентам (дательный падеж); ноль целых шесть десятых больше пятидесяти процентов (родительный падеж).

6. После любого падежа числительных, оканчивающихся словом тысяча или миллион, слово проценты ставится в родительном падеже. Например, прирост производительности труда равен тысяче процентов.

Учитывая возрастные особенности пятиклассников, можно сделать разнообразнее условия предлагаемых в учебнике задач, действующими лицами в которых могут стать персонажи из сказок или мультфильмов. Например, вместо задачи: «Геологи проделали путь длиной 2450 км. 10% пути они пролетели на самолете, 60 % пути проплыли в лодках, а остальную часть прошли пешком. Сколько километров геологи прошли пешком?» можно предложить следующую: «Дядя Федор, кот Матроскин и пес Шарик проделали путь от станции до деревни Простоквашино длиной в 2 км 700 м. 10% пути они проехали на машине, 60% пути – на повозке почтальона Печкина, а остальную часть прошли пешком. Сколько километров наши герои прошли пешком?»

4. Можно рассмотреть задачи на нахождение процентов от процентов.

№1 На предприятии в прошлом году 40% рабочих мест обслуживали женщины, а в этом году число женщин увеличилось на 10%. Какой процент рабочих мест обслуживают женщины теперь, при условии, что одна женщина обслуживает одно рабочее место и число рабочих мест не меняется?

Решение.

Решение 40%+10%=50% является неверным.

Допустим на предприятии х рабочих мест. В прошлом году их обслуживали 0,4х женщин. В этом году число женщин увеличилось на 0,1 × 0,4х = 0,04х. Значит, теперь женщин стало (0,4 + 0,04) х = 0,44х. Получается, что теперь 44 % рабочих мест обслуживается женщинами. Не 50%, а 44%!

Ответ: 44%.

№2 Неизвестный положил в банк 200 долларов на условиях 10% годовых. Какая сумма будет на счете у неизвестного через три года?

Решение.

Рассуждение о том, что каждый год вклад возрастает на 10%, а значит, за три года он возрастет на 30%, т.е. на 60 долларов и будет составлять 200+60=260 долларов, неправильно.

К концу первого года вклад вырос на 10% и составил 200+20=220 долларов. К концу следующего года увеличилась на 10% та сумма, которая была на счете у неизвестного к началу этого года. Прирост составил, таким образом, 220 × 0,1 = 22 доллара, а сам вклад стал равным 220+22=242 доллара. К концу третьего года прирост составил 242 × 0,1 = 24,2 доллара, а вклад вырос до 242+24,2=266,2 доллара.

Ответ: 266,2 доллара.

5. В 5 классе можно решать комбинированные задачи на дроби и проценты.

№1 В питомнике вырастили 3200 саженцев фруктовых деревьев. Саженцы яблонь составили 55% всех саженцев, причем 2/11 яблонь были сорта «Память воина». Сколько саженцев яблонь этого сорта вырастили в питомнике?

№2 В пятые классы гимназии поступало 400 учеников. Конкурсный отбор по математике выдержали 3/10 всех учеников, а 60% сдавших математику успешно написали работу по русскому языку и были зачислены в гимназию. Сколько пятых классов в этой гимназии, если в каждый из них зачислено по 24 ученика?

№3 В олимпиаде по математике приняли участие 700 школьников. Во второй тур прошли 3/10 всех школьников, а 30% прошедших во второй тур стали победителями, и для награждения были объединены в группы по 7 человек в каждой. Сколько групп для награждения было на олимпиаде?

Используемая литература:

1. Учебник математики 5 класса авт. Виленкин Н.Я. и др., М.: Мнемозина, 2010 год

2. За страницами учебника математики авт. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин, 2000 год

3. Учебник Левитаса Г.Г., Тарасова Л.Г.

Список используемой литературы:

1. Учебник математики 5 класса авт. Виленкин Н.Я. и др., М.: Мнемозина, 2010 год

2. За страницами учебника математики авт. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин, 2000 год

3. Учебник Левитаса Г.Г., Тарасова Л.Г.