Басенко Наталья Владимировна,

учитель математики МБОУ «Лицей №6» г.Курска,

Сергеева Светлана Анатольевна,

учитель математики МБОУ « Средняя общеобразовательная школа №27 имени А.А.Дейнеки» г.Курска.

Вовлечение школьников в процесс решения олимпиадных задач как фактор успеха.

Предмет: Математика

Возраст: 12- 15 лет

Выявление и обучение одарённых детей в настоящее время очень актуально. Воспитание творческой, неординарно мыслящей личности – важная задача школы и общества в целом. Педагог должен чётко представлять, что требуется от него в современных условиях. Конечно, необходимо самому быть человеком увлечённым, стремиться к реализации интересных проектов, поиску новых форм работы с обучающимися. Но не менее важно обладать педагогической интуицией, позволяющей рассмотреть в своих учениках детей, обладающих нестандартным мышлением.

Олимпиады – одна из традиционных форм работы с одарёнными детьми. Подготовка к олимпиадам различного уровня – это серьёзная система методической работы учителя. Обучающиеся, которые изучают математику только в пределах школьной программы, порой на олимпиадах не могут не только предложить правильное решение, но и просто понять условие задачи. Анализ результатов олимпиад показывает, что высоких успехов достигают те ученики, с которыми учитель работал по отдельной программе (индивидуально, в математических кружках).

Как показывает опыт, начинать такую работу необходимо в 5-6 классах, иначе потом трудно будет вызвать интерес и привлечь ученика к решению сложных, оригинальных задач. Важно помочь одарённым детям организовать так свою учебную деятельность, чтобы у них оставалось время и желание выполнять интересные, неординарные задания.

Вовлечение школьников в процесс решения олимпиадных задач является одной из эффективных мер повышения учебной мотивации, освоения творческого подхода к учебной деятельности, созданию предпосылок для развития научного образа мышления. Работа над олимпиадными задачами способствует повышению интеллекта, уровня математической культуры.

Психолог, много лет посвятившая работе с одаренными детьми, В.С. Юркевич обозначила три закона развития высоких способностей (одарённости):

- развитие способностей происходит только в той деятельности, в которой ребёнок получает положительные эмоции;

- для развития способностей необходимо постоянное повышение сложности основной деятельности;

- деятельность, чтобы быть развивающей (как способности, так и личность ребёнка), должна представлять для него значительную ценность (по внутренней мотивации).

Мир математических задач широк и многогранен. Как суметь «объять необъятное»? Как сформировать у школьника способность принимать взвешенные решения в нестандартных ситуациях? Однозначных ответов на эти вопросы нет. Как нет и окончательных, универсальных «рецептов» решения олимпиадных задач, необходимы вдохновение, озарение, романтика творческого поиска. Умение решать олимпиадные задачи – целое искусство, которое дается единицам и требует дополнительной целенаправленной подготовки и всесторонней поддержки со стороны учителя.

Представленный материал успешно применялся на занятиях математического кружка, подборка задач с олимпиад по математике разных лет иллюстрирует применение теории в новых ситуациях.

Даже малоискушенный игрок стремится как-то организовать свои действия, свести их к системе. Способ игры, основанный на каком-либо соображении, принято называть стратегией. Она будет выигрышной, если гарантирует победу за конечное число ходов (при любых ответах противника). Число затраченных ходов не безразлично игроку. В таких случаях говорят об оптимальности выигрышной стратегии по тому или иному критерию.

Какими же соображениями руководствуется игрок, выбирая стратегию? Какие он находит ориентиры для построения своих планов? Одним из них может стать понятие четности. Суть его состоит в том, что главное стратегическое решение принимается с учетом того, четно ли число некоторых элементов (например, ходов, клеток игрового поля и т.п.), фигурирующих в игре. Более подробно эти ситуации разберем на примере.

Задача 1.

Может ли конь, начав маршрут с клетки а1 и закончив его на клетке h8, обойти все поля шахматной доски, посетив каждое из них ровно один раз?

Решение.

Доказательство невозможности такого маршрута опирается на свойство коня менять с каждым ходом цвет занимаемого поля. Таким образом, любую клетку одного цвета с исходной (а именно таково поле h8) конь займет на четном ходу. С другой стороны, для выполнения поставленной задачи ему требуется 63 (нечетное число) хода. Противоречие.

Рассмотренный прием носит название проверки на четность. Обычно ее используют как простое и эффективное средство доказать невозможность того или иного факта. Список подобных примеров можно было бы и продолжить. Но более интересны игровые ситуации. Среди них особого внимания заслуживают те, в которых игрок достигает свою цель манипулированием четностью.

Опытные игроки хорошо знают, что в процессе игры могут возникать позиции, выигрыш в которых целиком зависит от очередности хода. Достаточно сохранить ее за собой или же (что более парадоксально) передать противнику, и победа обеспечена. Такой сбой в естественной очередности хода называют выигрышем (потерей) темпа. Иногда его предусматривают сами правила игры. В других случаях это право завоевывают в упорной борьбе, а порой к нему вынуждают противника. За подтверждающим примером рассмотрим следующую задачу.

Задача 2.

У одного из двух игроков, играющих в «морской бой» по традиционным правилам, на непростреленном участке игрового поля (рис.1), имеющем размеры 5х5, осталась неповрежденной флотилия кораблей в составе одного крейсера (1х3), двух эсминцев (1х2) и четырех катеров (1х1). Докажите, что его партнер, начав игру, может закончить ее без единого промаха.

Решение.

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Рис. 2-6.

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

рис. 1.

Посмотрим, как указанную в задаче флотилию можно разместить на оставшемся участке игрового поля. Самое малое расстояние между любыми кораблями флотилии, согласно правилам, равно одной клетке. Это дает право условно увеличить площадь каждого корабля на величину окружающей его каймы шириной 0,5 клетки. Суммарная площадь фигур, полученных таким образом, будет равна (4х4 + 2х6 + 1х8) = 36 клеткам. Той же величины будет и площадь «расширенного» участка игрового поля. Следовательно, «расширенные» корабли впритык покрывают «расширенный» участок. Это позволяет утверждать, что все его угловые клетки будут заняты кораблями.

Произведя небольшой перебор, получим 5 геометрически различных (не совпадающих при наложении) размещений флотилии на заданном поле.
(рис.2-6)

Оптимальная стратегия игры заключается в следующем. Первые 4 удачных выстрела (после каждого из них право хода сохраняется за игроком) производятся в угловые клетки, поскольку известно, что они заняты кораблями. Если 3 из них будут иметь своим результатом потопление кораблей, то размещение флотилии является таким, которое изображено на рисунке 6. Следовательно, и все остальные выстрелы в этом случае игрок может сделать без промаха. Если же только один из первых четырех выстрелов имеет результатом потопление корабля, то, очевидно, на игровом поле имеет место одно из размещений флотилии, изображенных на рис. 2-3.

На основании того, что «расширенные» корабли впритык покрывают «расширенный» участок, 5-й и 6-й выстрелы игрок может произвести без промаха по клеткам, являющимся третьими по счету от угловой, занятой потопленным катером. В зависимости от результата этих двух выстрелов игрок определяет, какому из случаев (рис.2 или рис.3) соответствует размещение флотилии, сделанное его партнером.

Рассуждая подобным образом, игрок может установить, что если в результате двух выстрелов из первых четырех два корабля партнера потоплены, то размещение флотилии соответствует рис.4-5. Таким образом, 6 выстрелов дают возможность определить, какому из пяти возможных размещений флотилии, изображенных на рис.2-6, соответствует размещение кораблей партнера.

Особенно ярко понятия четности и манипулирования ею проявляются в симметрической стратегии. Существует класс игр, в которых победителем объявляется игрок, делающий заключительный ход. Таким образом, сами правила диктуют соперникам доктрину – бороться за то, чтобы общее число ходов оказалось нужной им четности. Если оно четно – выиграет 2-й игрок, если же нечетно – победит начинающий. Но как же регулировать четность ходов? Здесь и приходит на помощь симметричная стратегия. В ее основе лежит нехитрая идея копировать ходы противника. При этом рассуждения 2-го игрока (после 1-го хода начинающего) сводятся примерно к следующему.

Привлекая геометрические соображения, он старается найти ось симметрии, которая делила бы исходную конфигурацию элементов на две равные области так, чтобы ход начинающего целиком оказался в одной из них. Ось найдена. Тогда 2-й игрок делает свой 1-й ход симметрично первому ходу начинающего. Он целиком окажется во второй области. Если начинающий и дальше ходит в свою область, то в силу симметрии у 2-го игрока всегда найдется ответный ход в своей области. Если же начинающий на каком-либо ходе сменит область, то же сделает и 2-й игрок. Ясно, что по исчерпании возможных ходов завершающим (победителем) окажется 2-й игрок.

С первого взгляда может показаться, что роль начинающего в подобных играх пассивна и во всех случаях он обречен на поражение. Однако стоит начинающему передать очередность хода партнеру, как оба игрока поменяются ролями. Техника такой передачи в разных играх может быть различна, но чаще всего она совершается вдоль оси симметрии. Симметричную стратегию можно считать частным случаем более общей парной стратегии. Ее название подчеркивает, что вся игра как бы разбивается на парные ходы. А оптимальность стратегии предполагает, что если один из участников сделал какой-либо ход, то ход противника (не обязательно симметричный) должен принадлежать той же паре. Рассмотрим пример.

Задача 3.

Два игрока поочередно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие р. Запрещается писать делители уже вписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для а) р=10; б) р=1000, и укажите ее.

Решение.

В обоих случаях выигрывает начинающий. а) Первым ходом он пишет, например, число 6, после чего 2-й может написать одно из чисел (4;5), (7;8), (9;10), которые мы объединили в пары. 1-му в ответ на любой ход 2-го следует записывать другое число из той же пары.

б) Рассмотрим новую игру: правила те же, но среди чисел нет единицы. Если у 1-го есть выигрышная стратегия в этой игре, то он сразу же ее применяет. Если нет, то он сначала пишет 1, а потом применяет выигрышную стратегию 2-го в новой игре.

Мы уже достаточно глубоко прочувствовали то значение, которое оказывает темп на ход игры в целом. Не случайно этот важнейший элемент в том или ином виде использует большинство стратегий. Существует целый ряд игр, правила которых с самого начала отдают инициативу начинающему. Такая ситуация носит название преимущества первого хода. Умение же удержать это преимущество, сделать его реализуемым и добиться победы целиком зависит от искусства игрока.

Стратегия, создающая угрозы, требующие немедленного отражения, называется стратегией непрерывной угрозы. Ее цель – навязать противнику развитие игры в нужном (иногда буквально в геометрическом) направлении. Примером ее реализации в шахматах может служить серия последовательных шахов с целью завлечь неприятельского короля на поле, удобное для объявления ему мата, или же проведения необходимой перегруппировки фигур.

Эта же стратегия на заключительном этапе применяется во всех играх типа «крестики-нолики». Рассмотрим пример такой, несколько идеализированной игры.

○

×

○

×

×

○

×

○

○

×

×

○

×

○

○

×

а)

б)

Рис.7-8. Варианты угроз в игре «крестики-нолики»

Задача 4.

На бесконечном клетчатом поле двое играют в такой вариант игры И(т,n) «крестики – нолики» до квадрата nхn. На каждом ходу (их делают поочередно) игрок отмечает своим знаком (крестиком или ноликом) любые т () неотмеченные клетки. Побеждает игрок, первым отметивший своим знаком какой-либо квадрат nхn. Укажите значения т, n, для которых у начинающего (крестиков) имеется выигрышная стратегия.

Решение.

Мы решим задачу для игры И(2,2). Ситуацию, в которой у игрока возникает возможность выиграть следующим ходом (быть может, при ошибочных действиях партнера), назовем угрозой (шахом). В игре И(2,2) крестики выигрывают не позднее 6-го хода. Первым ходом они объявляют двузначный шах, отражение которого требует от ноликов также не менее двух знаков. Второй ход крестиков, учитывающий возможные варианты защиты ноликов, изображен на рис.7, а, б. Из позиции рис.7, а крестики выигрывают на 4-м ходу, и разбор этого варианта мы оставляем. Сами же разберем два наиболее сильных ответа ноликов на 2-й ход (рис.8, а, б). Из этих позиций 3-м ходом крестики переходят к позициям рис.9, а (в ней выигрыш также достигается на 4-м ходу) и рис.9, б, на которой мы остановимся. Отразить созданные угрозы нолики могут, лишь пометив клетку d5 и одну из клеток d3 или e4. Если помечены клетки d5, e4, то 4-м ходом крестики создадут неотразимые угрозы, пометив, например, клетки b5 и e1. Если же на 3-м ходу нолики пометили клетки d5, d3, то крестики отражают угрозу ходом b2, c2, а на 5-м ходу создают те же неотразимые угрозы, помечая клетки b5, e1.

Видимо, крестики побеждают и в игре И(7,3) и вообще в игре
И(), но доказать это не просто.

○

×

7

○

×

×

○

6

×

○

×

5

×

×

4

×

○

×

3

×

○

×

○

2

○

×

1

a

b

c

d

e

f

а)

б)

Рис. 9. Ликвидация угроз

Задачи на применение выигрышных стратегий часто встречаются в текстах олимпиадных работ. Вот некоторые из них.

Задача 5.(1999 год)

Два кота украли цепочку из шести сосисок и теперь делят ее между собой. По очереди каждый кот перекусывает по одной перемычке между сосисками и съедает появляющиеся при этом одиночные сосиски. У какого кота выигрышная стратегия и какая?

Решение.

Между шестью сосисками пять перемычек, поэтому коты их будут перекусывать пять раз: три раза первый кот и два – второй. При каждом перекусывании второй может добыть себе по сосиске, поэтому две сосиски он может получить независимо от поведения первого кота. Покажем, что первый кот может добыть себе 4 сосиски. Первым ходом он перегрызает цепочку посередине, получаются две цепочки по три сосиски. Второй может отделить себе одну, а первый после этого съедает оставшиеся две. Затем второй снова отделяет себе одну сосиску, а две оставшиеся достанутся первому коту.

Ответ: первый съедает 4, второй две сосиски.

Задача 6.

Двое игроков играют в такую игру. Каждый по очереди закрашивает клетки квадрата 10х10, причем можно закрасить одну из трех фигур: прямоугольник 1х2 или квадраты 1х1 или 2х2, при этом дважды клетку закрашивать нельзя. Выигрывает закрасивший последнюю клетку. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

Решение.

Начинающий игрок первым ходом закрашивает квадрат 2х2 такой, чтобы его центр совпадал с центром квадрата 10х10; затем он центрально симметрично повторяет ходы второго игрока и выигрывает.

Задача 7. (1992 год)

Петя и Вася играют в такую игру. Перед ними лежат 34 вишенки. За один ход разрешается съесть 1, 2 или 3 вишенки. Вася начинает игру, потом ребята делают ходы по очереди.

а) Выигрывает тот, кто съест последнюю вишенку.

б) Проигрывает тот, кто съест последнюю вишенку.

У кого из ребят выигрышная стратегия и какая?

Решение.

И в а) и в б) выигрывает Вася.

В а) он сначала съедает 2 вишенки, а потом дополняет ходы Пети до 4 (если Петя ест 1 вишенку, то Вася – 3; Петя – 2, Вася – 2; Петя – 3, Вася – 1). Тогда число вишенок (которое Вася предварительно сделал равным 16) уменьшается «четверками», так что последний ход будет за Васей.

В б) Вася сначала съедает 1 вишенку, а потом играет так же, как и в а). Тогда последняя вишенка достанется Пете.

Задача 8. (2005 год)

На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Решение.

Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.  Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – х монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – х) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005=101· 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

Задача 9. (2007 год)

Дана белая доска размером 100 x 100 клеток. Двое по очереди красят ее клетки в черный цвет, причем первый всегда закрашивает квадрат 2 x 2, а второй три клетки, образующие «уголок». Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре: первый или второй? Ответ обоснуйте.

Решение.

Ответ: второй. В одном из углов доски второй играющий своим первым ходом закрашивает три клетки в прямоугольнике 2 x 3, а три оставшиеся клетки из этого прямоугольника объявляет «заповедником». В дальнейшем второй делает любые возможные ходы, не затрагивающие клетки «заповедника». Если такой ход становится невозможным, то он закрашивает клетки заповедника. Легко понять, что ответного хода у первого играющего нет.

Задача 10. (2008 год)

Клетчатая прямоугольная сетка m x n связана из веревочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную веревочку. Если не останется ни одного замкнутого веревочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

Решение.

Ответ: если m + n – четно, то выигрывает второй игрок, если m + n – нечетно, то выигрывает первый. В начале игры веревочек единичной длины было m(n + 1) + n(m + 1) = 2mn + m + n. Это число имеет ту же четность, что и число m + n. Последний ход в игре разрушает последний замкнутый контур. Докажем, что граница любого замкнутого конура содержит четное количество веревочек единичной длины. Действительно, рассмотрим границу произвольного замкнутого контура. Каждый вертикальный столбец исходной сетки содержит четное количество горизонтальных веревочек единичной длины из этой границы (возможно, и нулевое), т. к. войдя в замкнутый контур, на­пример, снизу, мы обязаны из него выйти. Аналогично, каждая горизонтальная строка исходной сетки содержит четное количество вертикальных веревочек единичной длины. Таким образом, общее количество единич­ных веревочек на границе замкнутого контура – четно. Выигрышная стратегия для любого игрока состоит в том, чтобы не разрушать последний замкнутый контур, пока есть такая возможность.

Задача 11. (2009 год)

Имеется три кучи камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20 камней. За ход разрешается разбить любую кучу на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто победит – начинающий или его партнер?

Решение.

После каждого хода количество кучек увеличивается на 1. Сначала их было 3, в конце – 45. Всего будет сделано 42 хода, последний ход сделает второй игрок и выиграет.

Задача 12. (2011 год)

Дано уравнение_. Первый из двух игроков заменяет любые две звездочки данного уравнения числами, отличными от нуля. Затем второй игрок заменяет числом оставшуюся звездочку. Первый игрок выигрывает, если полученное уравнение будет иметь хотя бы один корень, по абсолютной величине больший 2010, в противном случае выигрывает второй игрок. Кто из игроков гарантированно сумеет добиться победы? Опишите стратегию победителя.

Решение.

1. Перепишем данное уравнение в виде_. Для того, чтобы

уравнение гарантированно имело действительные корни необходимо и

достаточно, чтобы a и c имели разные знаки. Следовательно, первый игрок

первым ходом должен заменить a и c числами с разными знаками.

2. Пусть _, тогда _

3. Предположим, что второй игрок выигрывает, тогда

4. Полученная система не будет иметь решения (а следовательно, второй игрок не сможет победить) в том случае, когда

5. Значение c должно быть отрицательным и удовлетворять условиям: _ и при любом значении b условие выполняется.

Ответ: выигрывает первый игрок.

Приведенные в статье задачи показывают преимущества математического подхода к разбору игровых ситуаций. Отыскание выигрышной стратегии в каждой конкретной игре оставляет еще много места для самостоятельного творчества.

Литература

1. Коннова Е.Г. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион,2008.128 с.

2. Юркевич В.С. Одарённый ребёнок: иллюзии и реальность.М.: Просвещение, 2000.136 с.