42

Понятие последовательности, словесный
и аналитический способы ее задания

Цели: ввести понятие последовательности, конечной и бесконечной; рассмотреть последовательности, заданные словесно и с помощью формулы п-го члена; формировать умение находить п-й член последовательности по заданной формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

Учение о последовательностях и их частном случае – прогрессиях – является существенной, хотя и несколько изолированной, частью курса алгебры. Для создания представления о последовательностях следует начать с рассмотрения конкретных примеров:

П р и м е р 1.2; 4; 6; 8; …

Сразу обращаем внимание учащихся, что числа записаны в определенном порядке. Словесно эту последовательность можно описать (задать) так: «последовательность четных положительных чисел». Просим назвать число, которое будет стоять в этой последовательности на пятом месте, на восьмом, на сотом. Замечаем, что если «место» числа в последовательности обозначить натуральным числом п, то вычислить это число можно, оно равно 2п.

П р и м е р 2.

Последовательность правильных дробей с числителем равным 1. Для любого натурального числа п можно указать соответствующую дробь, стоящую в этой последовательности на п-ом месте – она равна . Теперь легко вычислить, что на седьмом месте должна стоять дробь , на тридцатом – дробь , на тысячном – дробь .

Числа, образующие последовательности, называются членами последовательности и обозначаются буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена, например: а₁; а₂; а₃; а₄; …; а_п; … а_п – общий или п-й член последовательности.

Сама последовательность обозначается (а_п).

Таким образом, последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу п ставится в соответствие член последовательности а_п. Обращаем внимание учащихся, что мы использовали два способа задания последовательности: словесный и аналитический (с помощью формулы п-го числа).

П р и м е р 3.Последовательность двузначных чисел: 10; 11; 12; 13; …; 97; 98; 99.

В о п р о с у ч а щ и м с я: чем отличается эта последовательность от двух предыдущих? Она содержит конечное число членов и называется конечной – в отличие от предыдущих последовательностей, которые содержат бесконечно много членов и называются бесконечными.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, выполняемые учащимися на этом уроке, можно условно разбить на три группы:

1. Выписать первые несколько членов последовательности по ее словесному описанию.

2. Выписать первые несколько членов и вычислить некоторый (любой) член последовательности по формуле п-го члена.

3. По заданным первым членам последовательности составить формулу п-го члена последовательности.

Упражнения: №

При выполнении первых заданий внимание следует уделить правильной записи членов последовательности, чтобы не забывали указывать индексы.№

При решении этих упражнений следует еще раз обратить внимание учащихся, что индексы – это натуральные числа и порядковые номера членов последовательности. Возможно устное выполнение этого задания. №

Решение у доски, с объяснениями. №

Самостоятельное решение с устной проверкой. №

Это задание, «обратное» предыдущим, носит развивающий характер.

IV. Итоги урока.

– Как называются числа, образующие последовательность?

– Что значит «задать последовательность»?

– Какие способы задания последовательности вы знаете?

Домашнее задание: №

У р о к

Рекуррентный способ задания
последовательности

Цели: рассмотреть последовательности, заданные рекуррентными формулами; формировать умения задавать последовательности различными способами; закрепить навыки использования индексных обозначений и нахождения п-го члена последовательности по его формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Назовите пропущенный член последовательности:

а) 1; 3; 5; *; 9; …

б) –10; 10; –10; 10; *; …

в) а₁; …; а_{п – 2}; *; а_п; …

Последовательность задана формулой п-го члена, найти ее член с заданным индексом:

г) х_п = 5п – 2, х₅ = *

д) у_п = п³ – п, у₃ = *

е) b_n = (–1)ⁿ · n, b₆ = *.

Последовательность задана несколькими первыми членами, задайте формулу п-го члена:

ж) 4; 8; 12; 16; … х_п = * (О т в е т: х_п = 4п.)

з) 7; 7; 7; … а_п = * (О т в е т: а_п = 7.)

и) 1; … с_п = * (О т в е т: с_п = .)

к) 3; 7; 11; 15; … х_п = *.

Последний пример оказывается проблемным. Ученики не могут придумать формулу, выражающую через п ее п-й член. Но можно заметить, что определенная закономерность все же есть – каждый член последовательности, начиная со второго, можно получить прибавлением к предыдущему числа 4. Можно ввести новый способ задания последовательности – рекуррентный.

III. Объяснение нового материала.

Помимо словесного и аналитического, существует еще один способ задания последовательности. Он состоит в том, что указывают ее первый член или первые несколько членов и формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько). Такую формулу называют рекуррентной (от латинского слова reccuro – возвращаться), а соответствующий способ задания последовательности – рекуррентным способом.

Возвращаемся к устному последнему примеру. Последовательность можно задать рекуррентно:

х₁ = 3; х_{п + 1} = х_п + 4.

Как уже говорилось, рекуррентно последовательность можно задать через несколько предыдущих членов. Пусть (и_п) – последовательность, в которой и₁ = 1; и₂ = 1; и_{п + 1} = и_п + и_{п – 1} при п > 2. Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи. Выписываем первые ее несколько членов:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; …

Здесь возможно привести небольшую справку из истории математики, либо предложить учащимся подготовить реферат или доклад на тему «Числа Фибоначчи и золотое сечение».

IV. Формирование умений и навыков.

При решении следующих примеров следует требовать от учащихся не только «подставлять» числовые значения в рекуррентную формулу, но и проговаривать словесную формулировку задания последовательности.

Упражнения:

1. Выпишите пять первых членов последовательности (с_п), если:

а) с₁ = 3, с_{п + 1} = с_п + 4;

б) с₁ = 4, с_{п + 1} = 2 · с_п.

2. № 568, 569 (а, б) – самостоятельное решение, одновременно решение на откидных досках и последующая проверка.

3. № 672 (а, б). Это задание повышенного уровня сложности, которое заключается в том, что формула задания последовательности записана в «непривычном» виде:

у₁ = –3; у_{п + 1} – у_п = 10.

Прежде чем применять ее, нужно записать ее в таком виде, чтобы последующий член явно выражался через предыдущий:

у_{п + 1} = у_п + 10.

Дальше ученики могут продолжить работу самостоятельно с последующей устной проверкой результатов.

V. Диктант.

Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках задание, относящееся ко второму варианту).

1) Является ли конечной или бесконечной последовательность делителей [кратных] числа 1200 [8]?

2) Является ли конечной или бесконечной последовательность кратных [делителей] числа 6 [2400]?

3) Последовательность задана формулой а_п = 5п + 2 [b_n = n² – 3]. Запишите, чему равен ее 3-й член.

4) Запишите последний член последовательности всех трехзначных[двухзначных] чисел.

5) Запишите рекуррентную формулу а_{п + 1} = а_п – 4, где а₁ = 5 [b_{n + 1} = , где b₁ = 8]. Найдите а₂ [b₂].

О т в е т ы: 1) Конечной [Бесконечной].

2) Бесконечной [Конечной].

3) 17 [6].

4) 999 [99].

5) 1 [2].

V. Развивающие задания. Задайте формулой п-го члена последовательность (b_n), если известно, что:

а) b₁ = 4; b_{n + 1} = b_n+ 4;

б) b₁ = 1, b_{n + 1} = 5b_n.

VII. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы задания последовательности существуют?

– В чем сущность рекуррентного способа задания последовательности?

– Можно ли одну и ту же последовательность задать различными способами? Приведите примеры.

Домашнее задание: №

У р о к

Арифметическая прогрессия.
Формула (рекуррентная) п-го члена арифметической прогрессии

Цели: ввести понятия арифметической прогрессии и разности арифметической прогрессии; вывести рекуррентную формулу п-го члена арифметической прогрессии; формировать умения нахождения разности и нескольких первых членов арифметической прогрессии по первому члену и разности, а также п-го члена по формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Актуализация знаний. Назовите первые три члена последовательности:

а) a_n = ; б) b_n = 3n – 1; в) с_п = п² + 1.

Для последовательности, заданной первым членом и рекуррентной формулой, найдите второй и третий члены:

г) x₁ = 2, x_{п + 1} = ;

д) у₁ = 3, у_{п + 1} = у_п² – 5.

III. Объяснение нового материала.

1. Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

(а_п) – арифметическая прогрессия, если для любого п N выполняется условие а_{п + 1} = а_п + d, где d – некоторое число. Число d называется «разностью арифметической прогрессии», так как из определения следует, что а_{п + 1} – а_п = d.

Далее следует привести примеры арифметических прогрессий, причем следует варьировать значение d (положительные числа; отрицательные; нуль; дробные).

П р и м е р ы арифметических прогрессий:

1) а₁ = 1, d = 1.

1; 2; 3; 4; … (последовательные натуральные числа).

2) а₁ = 1, d = 2.

1; 3; 5; 6; … (последовательность положительных нечетных чисел).

3) а₁ = –2, d = –2.

–2; –4; –6; –8; –10; … (последовательность отрицательных четных чисел).

4) а₁ = 7, d = 0.

7; 7; 7; 7; … (постоянная последовательность).

5) а₁ = 1, d = 0,3.

1; 1,3; 1,6; 1,9; 2,2; …

Обращаем внимание, что если d > 0, то арифметическая прогрессия возрастающая, если d < 0 – убывающая, если d = 0 – постоянная.

2. Итак, учащиеся знают, что для того чтобы найти любой член арифметической прогрессии (или задать ее), достаточно знать ее первый член и разность. Следует подвести их к мысли, что это очень трудоемко, например:

(а_п) – арифметическая прогрессия, где а₁ = 2, d = 27. Найти сотый член.

Пользуясь определением, нам нужно сделать 100 шагов. Это громоздко. Хотелось бы знать формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии только по первому члену, разности и порядковому номеру искомого члена.

Для вывода формулы пользуемся определением арифметической прогрессии:

а₁

а₂ = а₁ + d

а₃ = а₂ + d = (а₁ + d) + d = а₁ + 2d

а₄ = а₃ + d = (а₁ + 2d) + d = а₁ + 3d

а₅ = а₄ + d = (а₁ + 3d) + d = а₁ + 4d

а₆ = … = а₁ + 5d

П р и м е р 1. (с_п) – арифметическая прогрессия,

с₁ = 0,62, d = 0,24; с₅₀ –?

с₅₀ = с₁ + d (50 – 1) = 0,62 + 0,24 · 49 = 12,38.

Этот пример на «прямое» использование формулы п-го члена арифметической прогрессии.

П р и м е р 2. Выяснить, является ли число –122 членом арифметической прогрессии (х_п):

23; 17,2; 11,4; 5,6; …

При рассмотрении этого примера пояснить, что для решения надо доказать, что существует п N, при котором будет верна формула п-го члена:

–122 = 23 + (п – 1) · (–5,8), где –5,8 = 17,2 – 23 – разность арифметической прогрессии.

IV. Формирование умений и навыков. Все задания, выполняемые учащимися на этом уроке, можно разбить на 3 типа:

1) На «узнавание» арифметической прогрессии, определение ее первого члена и разности.

2) На нахождение п-го члена арифметической прогрессии по определению и по формуле.

3) На запись формулы п-го члена по первому члену и разности, решение задач на «косвенное» использование формулы п-го члена (например, нахождение п).

Упражнения:

1. Решить устно:

а) Является ли последовательность арифметической прогрессией:

–3,5; –7; –10,5; –14; –17,5; … (Да.)

5; 5; 5; 5; … (Да.)

2; 12; 22; 23; 32; … ? (Нет.)

б) Найти члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:

–10; –7; с₃; с₄; с₅; с₆

–3,4; –1,4; а₃; а₄

12; у₂; 20; у₄.

в) (а_п) – арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

12а₁; 12а₂; …; 12а_п; …

3а₁ + 1; 3а₂ + 1; …; 12а_п + 1; … ?

2. № Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ Решение у доски с объяснением.

№ Самостоятельное решение и одновременно на скрытых досках с проверкой.

3. № Задание на «не прямое» применение формулы. Еще раз подчеркнуть, что с помощью этой формулы можно находить следующие величины: а_п; а₁; d; п.

V. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется арифметической прогрессией?

– Как задается арифметическая прогрессия?

– Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

Домашнее задание: №

У р о к

Свойство арифметической прогрессии

Цели: вывести и доказать характеристическое свойство арифметической прогрессии; формировать умения применять свойство арифметической прогрессии при решении задач; продолжить формирование навыков применения определения арифметической прогрессии и формулы п-го члена.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках задание, относящееся ко второму варианту).

1) У арифметической прогрессии первый член 4 [6], второй член 6 [2]. Найдите разность d.

2) У арифметической прогрессии первый член 6 [4], второй член 2 [6]. Найдите третий член.

3) Найдите десятый [восьмой] член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность 4 [5].

4) Является ли последовательность четных [нечетных] чисел арифметической прогрессией?

5) а_п – арифметическая прогрессия. Выразите через а₁ и d:

а₁₀; а_2k; a_{k + 3} [a₂₀; a_k; a_{2k + 1}].

О т в е т ы: 1) 2 [–4];

2) –2 [8];

3) 37 [36];

4) Да [Да];

5) а₁₀ = а₁ + 9d [а₂₀ = а₁ + 19d];

а_2k = а₁ + d (2k – 1) [а_k = а₁ + d (k – 1)];

a_{k + 3} = а₁ + d (k + 2) [a_{2k + 1} = а₁ + 2dk].

III. Объяснение нового материала.

У с т н о е з а д а н и е:

Дана арифметическая прогрессия (х_п): 2; 5; 8; 11; 14.

Вычислить: = (5.)

= (8.)

= (11.)

Замечаем интересное свойство и формируем его – «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов».

Так как мы это предположили исходя из рассмотрения конкретной последовательности, данное утверждение следует доказать:

Пусть (х_п) – арифметическая прогрессия, тогда

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть

2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1},

х_п =

Следует обратить особое внимание учащихся, что это утверждение – свойство арифметической прогрессии. А если мы сформулируем обратное утверждение и сможем его доказать, то как будет оно называться? Это будет признак арифметической прогрессии: «Если в последовательности (х_п) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией».

Пусть х_п = , где п ≥ 2, тогда 2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1,}

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть разность между последующим и предыдущим членами последовательности (х_п) остается постоянной. Значит, (х_п) – арифметическая прогрессия.

IV. Формирование умений и навыков.

Задачи, решаемые на этом уроке, более разнообразны по сравнению с предыдущим уроком. Теперь мы можем использовать определение арифметической прогрессии, ее свойство и признак, формулу п-го члена.

Кроме того, появляются задачи, в тексте которых не задана арифметическая прогрессия в явном виде. Нужно «перевести» условие на математический язык, «увидеть» арифметическую прогрессию, решить задачу и формулировку ответа опять «перевести» на язык условия.

Упражнения:

1. № Самостоятельное решение заданий на «прямое» применение формулы п-го члена и нахождения разности.

№ Решение у доски с объяснениями. Необходимо самостоятельно задать арифметическую прогрессию (х_п), где

х₁ = 50 (м/мин) – скорость поезда в конце первой минуты;

d = 50 (м/мин) – увеличение скорости;

х₂₀ –?

х₂₀ = х₁ + d (20 – 1);

х₂₀ = 50 + 50 · 19 = 50 · 20 = 1000 (м/мин).

Обращаем внимание, что скорость принято выражать в км/ч, значит, ответ · 60 = 60 (км/ч).

2. № Эти упражнения на неоднократное применение формулы п-го члена арифметической прогрессии, сводящиеся к решению системы уравнений либо неравенства.

Особое внимание следует уделить анализу условия. Решение полученной системы уравнений и неравенства ученики могут осуществить самостоятельно.

3. Упражнение на применение свойства арифметической прогрессии носит развивающий характер.

Первый член арифметической прогрессии равен 7. Найдите второй и третий ее члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.

Р е ш е н и е

Пусть (а_п) – арифметическая прогрессия, где

а₁ = 7;

а₂ = п²;

а₃ = (п + 1)², п N.

По свойству арифметической прогрессии:

а₂ = ;

а₁ + а₃ = 2а₂;

7 + (п + 1)² = 2п²;

п² – 2п – 8 = 0;

п = 4 или п = –2. Так как п N, то –2 – не удовлетворяет условию.

а₂ = 4² = 16;

а₃ = 5² = 25.

V. Итоги урока.

– Сформулируйте свойство арифметической прогрессии.

– Сформулируйте признак арифметической прогрессии.

Домашнее задание: №

У р о к

Формула п-го члена арифметической прогрессии (аналитическая)

Цели: вывести аналитическую формулу п-го члена арифметической прогрессии; формировать умения задавать арифметическую прогрессию аналитической и рекуррентной формулами; закрепить умения и навыки применения формул п-го члена и свойства арифметической прогрессии.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашней работы.

1. № У доски – решение с комментариями ученика.

2. Ответы учащихся на вопросы по домашней работе.

III. Объяснение нового материала.

1. а_п = а₁ + d (п – 1) – формула п-го члена арифметической прогрессии. Запишем ее в виде а_п = d · п + (а₁ – d), так как (а₁ – d) – некоторое число, то обозначим его b = а₁ – d и k = d, тогда получаем, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа. Такие формулы мы встречали при изучении последовательностей. Делаем вывод, что арифметическую прогрессию можно задать не только рекуррентной, но и аналитической формулой.

Более того, верно и обратное утверждение: последовательность (а_п), заданная формулой вида а_п = k · п + b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Найдем разность (п + 1)-го и п-го членов последовательности (а_п):

а_{п + 1} – а_п = k (п + 1) + b – (kп + b) = kп + k + b – kп – b = k. Значит, при любом п справедливо а_{п + 1} = а_п + k и по определению (а_п) – арифметическая прогрессия с разностью k.

IV. Формирование умений и навыков. Упражнения:

№ Можно решать устно.

№ . При решении этой задачи необходимо использовать сведения из курса геометрии (подобие треугольников). Обозначив А₁В₁ = х, получим А₂В₂ = 2х; А₃В₃ = 3х; … А_пВ_п = п · х, где х = 1,5 (см), получим последовательность, заданную формулой А_пВ_п = 1,5 · п, то есть формула имеет вид а_п = kп + b, где k = 1,5; b = 0. Дальнейшие вычисления проводим, используя формулу п-го члена арифметической прогрессии.

V. Самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 3,4; –0,2; …, найдите следующие за ними четыре ее члена.

2. В арифметической прогрессии (b_п) известны b₁ = –0,8, d = 4. Найдите b₃; b₂₄.

3. В арифметической прогрессии (х_п) известны х₁ = 14 и d = 0,5. Найдите номер члена прогрессии, равного 34.

4.* Мастерская изготовила в январе 106 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 12 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в июне?

В а р и а н т 2

1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 2,8; –0,4; …, найдите следующие за ними четыре ее члена.

2. В арифметической прогрессии (а_п) известны а₁ = –1,2, d = 3. Найдите а₄; а₂₁.

3. В арифметической прогрессии (b_п) известны b₁ = 12 и d = 3. Найдите номер члена прогрессии, равного 27.

4.* Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в августе?

VI. Итоги урока. Анализ результатов самостоятельной работы.

Домашнее задание: №

У р о к 62
Нахождение суммы первых п членов
арифметической прогрессии

Цели: вывести формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

У с т н о:

1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

2. Приведите пример арифметической прогрессии.

3. Сформулируйте определение разности арифметической прогрессии.

4. Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

П и с ь м е н н о:

В а р и а н т 1.

№ 578 (а).

В а р и а н т 2.

№ 578 (б).

III. Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации.

З а д а ч а. Ученик мастера изготовил в первую неделю работы 15 гончарных изделий, а в каждую следующую неделю изготовлял на 5 изделий больше, чем в предыдущую. Сколько изделий ученик изготовил за восьмую неделю? Сколько изделий ученик изготовил всего в течение десяти недель?

Ответ на первый вопрос ученики знают, как получить, такие задачи решались ими на прошлых занятиях. Количество изготовленных изделий в первую, вторую и т. д. недели можно обозначить а₁, а₂,… а_п, …, причем (а_п) – арифметическая прогрессия с разностью d = 5 и первым членом а₁ = 15. За восьмую неделю ученик изготовил гончарных изделий:

а₈ = 15 + 5 (8 – 1) = 50.

Для ответа на второй вопрос ученики могут предложить только такой способ решения: подсчитать количество изделий, выполненных за 2-ю, 3-ю, …, 10-ю неделю, и сложить. Это очень долго. А если в задаче нужно будет найти сумму ста членов арифметической прогрессии, тысячи? Возникает проблема – нужна общая формула.

2. Пример из истории математики.

С формулой суммы п первых членов арифметической прогрессии связан эпизод из жизни немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855). Маленькому Карлу было 9 лет, когда учитель, занятый проверкой работ учеников, предложил классу сложить все натуральные числа от 1 до 100, рассчитывая надолго занять детей. Каково же было удивление преподавателя, когда через несколько минут Гаусс подошел к нему с верным ответом! Он подошел к решению творчески, заметив, что можно складывать числа не подряд, а парами: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 … и т. д. Легко увидеть, что сумма чисел в каждой паре равна 101, а таких пар 50, значит общая сумма равна 101 · 50 = 5050.

А можно ли с помощью рассуждений, аналогичных тем, что проводил маленький Гаусс, найти сумму первых п членов любой арифметической прогрессии?

3. Вывод формулы.

Пусть (а_п) – арифметическая прогрессия.

Обозначим S_n сумму п первых членов арифметической прогрессии.

S_n = а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + … + а_{п – 1} + а_п (1)

S_n = а_п + а_{п – 1} + а_{п – 2} + а_{п – 3} + … + а₂ + а₁ (2)

Докажем, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а₁ + а_п.

a₂ + a_{n – 1} = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n;

a₃ + a_{n – 2} = (a₂ + d) + (a_{n – 1} – d) = a₂ + a_{n – 1} = a₁ + a_n;

a₄ + a_{n – 3} = (a₃ + d) + (a_{n – 2} – d) = a₃ + a_{n – 2} = a₁ + a_n и т. д.

Число таких пар равно п. Складываем почленно (1) и (2) и получаем

2S_n = (a₁ + a_n) · n.

– формула суммы п первых членов

арифметической прогрессии.

Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а₁ и d арифметической прогрессии.

S_n = · n, а_п = а₁ + d (п – 1);

S_n = · n;

– формула суммы п первых членов

арифметической прогрессии.

4. Пример.

Вернемся к задаче про ученика мастера. В течение 10 недель ученик мастера изготовил

S₁₀ = · 10 = 375 изделий.

IV. Формирование умений и навыков.

Так как формул суммы п первых членов арифметической прогрессии две, то необходимо сперва выяснить, в заданиях какого вида лучше использовать каждую из них, а затем при решении упражнений анализировать условие и выбирать формулу.

Упражнения:

1) Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; …

Р е ш е н и е

а₁ = 4, d = 1,5, значит, по формуле II:

а₃₀ = · 30 = 772,5.

2) Найти сумму первых сорока членов последовательности (а_п), заданной формулой а_п = 5 · п – 4.

Последовательность (а_п) задана формулой вида а_п = kn + b, где k = 5 и b = –4, значит, (а_п) – арифметическая прогрессия. Если применять формулу II, то для этого сперва надо найти а₁, а₂ , затем d как разность а₁ – а₂. Это неудобно, проще сразу найти а₁, а₄₀ и подставить в формулу I.

а₁ = 5 · 1 – 4 = 1; а₄ = 5 · 40 – 4 = 196;

S₄₀ = = 3940.

3) № 603, № 604. На «прямое» применение формул I и II. Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ 606.

№ 608 (а). У доски с объяснением. Здесь необходимо «увидеть», что последовательность слагаемых – арифметическая прогрессия, где а₁ = 2, d = 2 и количество слагаемых равно п, можно применить формулу II. А можно задать эту прогрессию формулой а_п = 2п и применить формулу I.

V. Итоги урока.

– Назовите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии (2 вида).

– В каких случаях удобнее применять формулу I, II?

Домашнее задание: № 605, № 607, № 608 (б), № 621 (а).

У р о к 63
Применение формулы суммы первых п членов
арифметической прогрессии

Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой:

а) х_п = 2п + 1;

б) у_п = п² – п;

в) z_n = –64?

2. Найдите разность арифметической прогрессии:

г) 17; 13; 9; …

д) (х_п), если х₁₀ = 4, х₁₂ = 14;

е) (у_п), если у_п = 3п – 0,5.

3. (а_п) – арифметическая прогрессия, вычислите:

ж) а₇, если а₁ = 1, d = –2;

з) а₁₀, если а_п = 17 · п – 100;

и) а₁₂, если а₁ = 0, а₂ = 3.

III. Проверочная работа.

Работа проводится по вариантом, задания на «прямое» применение формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии.

В а р и а н т 1

1) Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если а₁ = 16,5; d = –1,5.

2) Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой а_п = 3п + 2.

3) Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 8, а₇ = 26.

В а р и а н т 2

1) Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если а₁ = 18,5; d = –2,5.

2) Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой х_п = 4п + 5.

3) Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 6, а₁₁ = 46.

О т в е т ы:

Задание

I вариант

II вариант

1

99

72,5

2

2540

940

3

215

336

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разделить на следующие виды:

1) На вычисление суммы первых п членов арифметической прогрессии по двум формулам (требует выбора формулы в зависимости от условия задачи).

2) На вычисление отдельных членов, числа членов, разности арифметической прогрессии по формулам суммы первых п членов.

3) На нахождение вышеперечисленных величин при наличии дополнительных условий и ограничений, сводящиеся к решению систем уравнений, неравенств.

Задания первого вида были выполнены в ходе проверочной работы.

Упражнения:

№ 609 (в), № 610, № 612, № 614, № 616. Решение у доски с комментариями.

Р е ш е н и е

№ 609 (в).

(а_п) – арифметическая прогрессия;

а_п = 4п, а_п ≤ 300;

4п ≤ 300;

п ≤ 75, значит, п = 75 – количество таких чисел.

а₁ = 4; а₇₅ = 4 · 75 = 300;

S₇₅ = · 75 = 11400.

О т в е т: 11400.

№ 610.

В этом упражнении задана арифметическая прогрессия (а_п), где
а₁ = 10; d = 3. Наши формулы позволяют находить сумму с первого по п-й член включительно, а требуется найти с 15-го по 30-й включительно. Заметим, что мы можем найти суммы членов арифметической прогрессии с 1-го по 30-й и с 1-го по 14-й включительно, их разность и даст искомый результат.

S₃₀ = · 30; S₃₀ = · 30 = 1605.

S₁₄ = · 14; S₁₄ = · 14 = 413.

S₃₀ – S₁₄ = 1192.

О т в е т: 1192.

№ 612.

(с_п) – арифметическая прогрессия;

с₇ = 18,5; с₁₇ = –26,5.

S₂₀ = · 20; S₂₀ = · 20 = 55.

О т в е т: 55.

№ 616.

Количество шаров в каждом ряду можно представить в виде арифметической прогрессии (а_п), где а₁ = 1; d = 1.

1. S_n = 120. Найти п.

S_n = · п; 120 = · п;

240 = (п + 1) · п;

п² + п – 240 = 0;

п = 15 или п = –16, так как п N, то выбираем п = 15.

2. п = 30. Найти S₃₀.

S₃₀ = · 30; S₃₀ = · 30 = 465.

О т в е т: 15 рядов, 465 шаров.

V. Итоги урока.

Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 153).

Домашнее задание: № 609 (б; г), № 611, № 613

У р о к 64
Контрольная работа № 4

В а р и а н т 1

1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = –15 и d = 3.

2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; …

3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (b_п), заданной формулой b_п = 3п – 1.

4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (а_п), в которой а₁ = 25,5 и а₉ = 5,5?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

В а р и а н т 2

1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 70 и d = –3.

2. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: –21; –18; –15; …

3. Найдите сумму сорока первых членов последовательности (b_п), заданной формулой b_п = 4п – 2.

4. Является ли число 30,4 членом арифметической прогрессии (а_п), в которой а₁ = 11,6 и а₁₅ = 17,2?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.

В а р и а н т 3

1. Найдите тридцать второй член арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 65 и d = –2.

2. Найдите сумму двадцати четырех первых членов арифметической прогрессии: 42; 34; 26; …

3. Найдите сумму восьмидесяти первых членов последовательности (b_п), заданной формулой b_п = 2п – 5.

4. Является ли число 6,5 членом арифметической прогрессии (а_п), в которой а₁ = –2,25 и а₁₁ = 10,25?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих 80.

В а р и а н т 4

1. Найдите сорок третий член арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = –9 и d = 4.

2. Найдите сумму четырнадцати первых членов арифметической прогрессии: –63; –58; –53; …

3. Найдите сумму ста двадцати первых членов последовательности (b_п), заданной формулой b_п = 3п – 2.

4. Является ли число 35,8 членом арифметической прогрессии (а_п), в которой а₁ = –23,6 и а₂₂ = 11?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не превосходящих 150.

В контрольной работе задания 1 и 2 обязательного уровня.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = –15, d = 3.

а₂₃ = а₁ + 22d; а₂₃ = –15 + 22 · 3 = –15 + 66 = 51.

О т в е т: 51.

2. 8; 4; 0; … – арифметическая прогрессия;

а₁ = 8, d = – 4.

S_n = · п; S₁₆ = · 16 = (16 – 60) · 8 =
= –44 · 8 = –352.

О т в е т: –352.

3. b_п = 3п – 1, значит, (b_п) – арифметическая прогрессия.

b₁ = 3 · 1 – 1 = 2; b₆₀ = 3 · 60 – 1 = 179;

S_n = · п; S₆₀ = · 60 = 181 · 30 = 5430.

О т в е т: 5430.

4. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = 25,5; а₉ = 5,5.

Пусть а_п = 54,5.

d = ; d = = = –2,5;

а_п = а₁ + d (п – 1); 54,5 = 25,5 – 2,5 (п – 1); 2,5 (п – 1) = –29;

п – 1 = –11,6; п = –10,6, п N, значит, 54,5 не является членом арифметической прогрессии (а_п).

О т в е т: нет.

5. (а_п) – арифметическая прогрессия; а_п = 3п; а_п ≤ 100;

3п ≤ 100; п ≤ 33, так как п N,то п = 33.

S_n = · п; а₁ = 3; а₃₃ = 99, тогда

S₃₃ = · 33 = 1683.

О т в е т: 1683.

В а р и а н т 2

1. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = 70, d = –3.

а₁₈ = а₁ + 17d; а₁₈ = 70 + 17 · (–3) = 70 – 51 = 19.

О т в е т: 19.

2. –21; –18; –15; … – арифметическая прогрессия;

а₁ = –21, d = 3.

S_n = · п; S₂₀ = · 20 = · 20 =
= 15 · 10 = 150.

О т в е т: 150.

3. b_п = 4п – 2, значит, (b_п) – арифметическая прогрессия.

b₁ = 2; b₄₀ = 4 · 40 – 2 = 160 – 2 = 158;

S_n = · п; S₄₀ = · 40 = 160 · 20 = 3200.

О т в е т: 3200.

4. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = 11,6; а₁₅ = 17,2.

Пусть а_п = 30,4.

d = ; d = = = 0,4;

а_п = а₁ + d (п – 1); 30,4 = 11,6 + 0,4 (п – 1); 0,4 (п – 1) = 18,8;

п – 1 = 47; п = 48, п N, значит, 30,4 является членом арифметической прогрессии (а_п).

О т в е т: да.

5. (а_п) – арифметическая прогрессия; а_п = 7п; а_п ≤ 150;

7п ≤ 150; п ≤ 21, так как п N,то п = 21.

S_n = · п; а₁ = 7; а₂₁ = 147, тогда

S₂₁ = · 21 = 77 · 21 = 1617.

О т в е т: 1617.

В а р и а н т 3

1. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = 65, d = –2.

а₃₂ = а₁ + 31d; а₃₂ = 65 + 31 · (–2) = 65 – 62 = 3.

О т в е т: 3.

2. 42; 34; 26; … – арифметическая прогрессия;

а₁ = 42, d = –8.

S_n = · п; S₂₄ = · 24 = · 24 =
= –100 · 12 = –1200.

О т в е т: –1200.

3. b_п = 2п – 5, значит (b_п) – арифметическая прогрессия.

b₁ = –3; b₈₀ = 2 · 80 – 5 = 160 – 5 = 155

S_n = · п; S₃₀ = · 80 = 152 · 40 = 6080.

О т в е т: 6080.

4. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = –2,25; а₁₁ = 10,25.

Пусть а_п = 6,5.

d = ; d = = 1,25.

а_п = а₁ + d (п – 1); 6,5 = –2,25 + 1,25 (п – 1);

1,25 (п – 1) = 8,75;

п – 1 = 7; п = 8, п N, значит, число 6,5 является членом арифметической прогрессии (а_п).

О т в е т: да.

5. (а_п) – арифметическая прогрессия, а_п = 9п; а_п ≤ 80;

9п ≤ 80; п ≤ 8, так как п N,то п = 8.

а₁ = 9; а₈ = 72, S_n = · п; S₈ = · 8 = 324.

О т в е т: 324.

В а р и а н т 4

1. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = –9, d = 4.

а₄₃ = а₁ + 42d; а₄₃ = –9 + 42 · 4 = –9 + 168 = 159.

О т в е т: 159.

2. –63; –58; –53; … – арифметическая прогрессия;

а₁ = –63, d = 5.

S_n = · п; S₁₄ = · 14 = · 14 =
= –61 · 7 = –427.

О т в е т: –427.

3. b_п = 3п – 2, значит (b_п) – арифметическая прогрессия.

b₁ = 1; b₁₂₀ = 3 · 120 – 2 = 358

S_n = · п; S₁₂₀ = · 120 = 359 · 60 = 21540

О т в е т: 21540.

4. (а_п) – арифметическая прогрессия, а₁ = –23,6; а₂₂ = 11.

Пусть а_п = 35,8.

d = ; d = = = 1;

а_п = а₁ + d (п – 1); 35,8 = –23,6 + (п – 1);

(п – 1) = –59,4; п – 1 = ; п – 1 = 36;

п = 37, п N, значит, число 35,8 не является членом арифметической прогрессии (а_п).

О т в е т: нет.

5. (а_п) – арифметическая прогрессия; а_п = 6п; а_п ≤ 150;

6п ≤ 150; п ≤ 25, так как п N, то п = 25.

S_n = · п;а₁ = 6; а₂₅ = 150, тогда

S₂₅ = · 25 = 78 · 25 = 1950.

У р о к 65

Геометрическая прогрессия. Формула
п-го члена геометрической прогрессии

Цели: ввести понятия геометрической прогрессии и знаменателя геометрической прогрессии; вывести формулу п-го члена геометрической прогрессии; формировать умения нахождения знаменателя и нескольких первых членов геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю, а также п-го члена по формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

Разбор типичных ошибок, допущенных учащимися в контрольной работе, консультация учителя.

III. Устная работа.

Подставьте в квадратик пропущенный элемент, назовите формулу для арифметической прогрессии (а_п).

а) а_{п + 1} = а₁ + ;

б) а_п = а₁ + d · ;

в) 2а_п =  + а_{п + 1};

г)  = kn + b;

д) ;

е) .

IV. Объяснение нового материала.

1. Для мотивации изучения геометрической прогрессии целесообразно начать с решения задачи практического характера, например по расчету банковских процентов.

З а д а ч а. Родители девятиклассника положили на его имя в банк 10000 рублей на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 9 %. Какая сумма будет на счету к его совершеннолетию через три года? Через шесть лет?

Р е ш е н и е

Начальная сумма вклада составляет 10000 р. Через год эта сумма возрастает на 9 % и составит 109 % от 10000 р. Обозначим b₁ сумму на счету к концу первого года, тогда b₁ = 10000 · 1,09 (р.). К концу второго года уже сумма b₁ увеличится на 9 % и составит b₂ = b₁ · 1,09. К концу третьего года сумма составит b₃ = b₂ · 1,09. И так далее.

Рассмотрим последовательность b₁, b₂, b₃, … b₆, … b_п, в ней каждый член, начиная со второго, получен умножением предыдущего члена на 1,09. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

2. Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

(b_п) – геометрическая прогрессия, если для любого n N выполняются условия b_п ≠ 0 и b_{п + 1} = b_п · q, где q – некоторое число. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии, так как из определения следует, что = q.

Напоминаем ученикам, что геометрическая прогрессия – частный вид последовательности, заданной рекуррентным способом.

3. Характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например по такому плану:

а) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.

П р и м е р: 1; 3; 9; 27; 81; … (то есть b₁ = 1, q = 3) или

–2; –8; –32; … (то есть b₁ = –2, q = 4).

б) Если 0 < q < 1, то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.

П р и м е р: (то есть b₁ = 1, q = ) или

(то есть b₁ = –1, q = ).

в) Пусть q < –1, тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.

П р и м е р: (то есть b₁ = –8, q = ).

д) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, то есть b₁; b₁; b₁; …; b₁; …, а при q = –1 все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, то есть: а₁; –а₁; а₁; –а₁; …

4. Вывод формулы п-го члена не вызывает затруднений у учащихся, действуем по аналогии с арифметической прогрессией. Сильному в учебе классу можно предложить провести доказательство самостоятельно.

Пусть (b_п) – геометрическая прогрессия и b₁ – первый член, q – знаменатель, тогда

b₂ = b₁ · q

b₃ = b₂ · q = (b₁ · q) · q = b₁ · q²

b₄ = b₃ · q = (b₁ · q²) · q = b₁ · q³

b₅ = b₄ · q = (b₁ · q³) · q = b₁ · q⁴

… …

– формула п-го члена геометрической прогрессии

V. Формирование умений и навыков.

1. Вернемся к решению задачи с банковскими процентами. Мы имеем геометрическую прогрессию (b_п), где b₁ = 10000, q = 1,09. Сумма, накопленная вкладчиком, через три года будет равняться четвертому члену этой прогрессии, а через шесть лет – седьмому.

В ы ч и с л и м: b₄ = 10000 · (1,09)³ ≈ 12950;

b₇ = 10000 · (1,09)⁶ ≈ 16771.

О т в е т: на счету у вкладчика через три года окажется сумма, приближенно равная 12950 р.; через шесть лет – 16771 р.

2. Упражнения:

№ 623 (а, в), № 624 (а, в, д). Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ 627 (а, б), № 628 (б, в). Решение у доски с объяснениями.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

– Сформулируйте определение знаменателя геометрической прогрессии.

– Назовите формулу п-го члена геометрической прогрессии.

Домашнее задание: № 623 (б, г), № 624 (б, г, е), № 627 (в, г), № 628 (а, г),

У р о к 66
Свойство геометрической прогрессии

Цели: вывести и доказать характеристическое свойство геометрической прогрессии; формировать умение применять свойство геометрической прогрессии при решении задач; закрепить умения и навыки применения определения и формулы п-го члена геометрической прогрессии.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках дано задание, относящееся ко второму варианту).

1) У геометрической прогрессии первый член 8 [9], второй член 4 [3]. Найдите знаменатель q.

2) У геометрической прогрессии первый член 9 [8], второй член 3 [4]. Найдите третий член.

3) Найдите четвертый [шестой] член геометрической прогрессии, если ее первый член равен 1, а знаменатель q равен –2.

4) Является ли последовательность степеней числа 2 [3] геометрической прогрессией?

5) Является ли последовательность четных [нечетных] чисел геометрической прогрессией?

О т в е т ы: 1)

2) 1 [2];

3) –8 [–32];

4) да [да];

5) нет [нет].

III. Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации, востребование умения действовать «по аналогии».

Арифметическая прогрессия

(а_п)

Геометрическая прогрессия

(b_n)

a_{n – 1} = a_n – d

b_{n – 1} =

a_n

b_n

a_{n + 1} = a_n + d

b_{n + 1} = b_n · q

a_{n – 1} + a_{n + 1} = a_n – d + a_n + d

a_{n – 1} + a_{n + 1} = 2a_n

b_{n – 1} · b_{n + 1} = · b_n · q

b_{n – 1} · b_{n + 1} =

Здесь следует обратить внимание учащихся, что при выводе соответствующего свойства для арифметической прогрессии в равенствах у нас были слагаемые d и – d, поэтому для их сокращения требовалось почленно складывать неравенства. Для геометрической прогрессии в равенствах сомножители q и , поэтому следует перемножить равенства.

2. Теперь можно сформулировать с в о й с т в о геометрической прогрессии: «Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов».

Доказательство приведено выше.

Как и в случае с арифметической прогрессией, можно доказать обратную теорему, которая будет являться п р и з н а к о м геометрической прогрессии: «Если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией».

Пусть = b_{n – 1} · b_{n + 1}, для любого п ≥ 2, так как все числа отличны от нуля, разделим обе части равенства на b_n · b_{n – 1}, получим . Это означает, что отношение последующего члена к предыдущему – постоянное число, значит, (b_n) – геометрическая прогрессия.

3. Продолжаем действовать по аналогии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии можно переписать и сформулировать по-другому:

= b_{n – 1} · b_{n + 1},

, то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов (для арифметической прогрессии речь шла о среднем арифметическом).

IV. Формирование умений и навыков.

В соответствии с поставленными целями на этом уроке следует выполнить следующие группы заданий:

1) Вычисление п-го члена геометрической прогрессии по формуле
(«прямое» применение).

2) Нахождение знаменателя и первого члена прогрессии по формуле п-го члена геометрической прогрессии («не прямое» применение).

3) Использование характеристического свойства геометрической прогрессии для нахождения членов и знаменателя геометрической прогрессии.

4) Комбинированные задания.

Кроме того, в некоторых заданиях не указана явно геометрическая прогрессия – ее необходимо «увидеть», задать, обосновать и только затем решать, используя соответствующие формулы.

Упражнения:

№ 625 (а, б), № 626 (а). «Прямое» применение формулы п-го члена геометрической прогрессии.

№ 630, № 631. «Не прямое» применение формулы п-го члена геометрической прогрессии, либо на использование характеристического свойства геометрической прогрессии.

№ 631 (а).

Р е ш е н и е

(с_п) – геометрическая прогрессия;

с₅ = –6, с₇ = –54.

I с п о с о б. с₅ = с₁ · q⁴

с₇ = с₁ · q⁶

q² = , q² = 9, q = 3 или q = –3.

II с п о с о б. | с₆ | = = 18; значит,

с₆ = 18 или с₆ = –18, тогда

q = ; q = = –3 или q = = 3.

О т в е т: 3; –3.

Обычно удобнее решать первым способом, но можно и вторым, способы равносильны.

№ 632 (а), № 633 (б).

№ 629. В этой задаче используются межпредметные связи с геометрией.

А₁ВС₁ подобен АВС, и коэффициент подобия равен .

Площади этих треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, значит, , то есть .

Аналогично докажем, что . И т. д.

Значения площадей треугольников образуют геометрическую прогрессию (х_п), где х₁ = 768 и q = . Площадь А₉ВС₉ равна десятому члену этой прогрессии. Вычислим его:

О т в е т: см².

№ 638. Задача аналогична той, которую решали перед введением понятия геометрической прогрессии.

№ 643. Задание повышенной сложности можно прорешать с учащимися, чтобы закрепить не только навыки применения свойств арифметической и геометрической прогрессии, но и умение действовать по аналогии.

Р е ш е н и е

Пусть a; b; c – арифметическая прогрессия.

По условию a + b + c = 21 (*) и a; (b – 1); (c + 1) – геометрическая прогрессия. По свойству арифметической прогрессии 2b = а + с, значит, из (*) 3b = 21, b = 7.

а + с = 21 – 7 = 14;

с = 14 – а.

По свойству геометрической прогрессии

(b – 1)² = a · (с + 1);

36 = а (15 – а);

а² – 15а + 36 = 0;

а = 3 или а = 12, тогда

с = 14 – 3 = 11 или с = 14 – 12 = 2.

О т в е т: 3; 7; 11 или 12; 7; 2.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 625 (в, г), № 626 (б), № 634, № 639.

У р о к 67
Нахождение суммы первых п членов
геометрической прогрессии

Цели: вывести формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1) Выпишите формулу п члена геометрической прогрессии.

2) В геометрической прогрессии (b_п) известны b₁ = 1,6 и q = 2. Найдите b₅; b_k.

3) Найдите первый член геометрической прогрессии (b_п), в которой b₆ = , q = .

4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что b₄ = 25, b₆ = 16.

В а р и а н т 2

1) Выпишите характеристическое свойство геометрической прогрессии.

2) В геометрической прогрессии (а_п) известны а₁ = 3,2 и q = . Найдите а₄; а_{k + 1}.

3) Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой а₅ = , q = .

4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n), в которой b₆ = 100, b₈ = 9.

О т в е т ы:

Задание

Вариант 1

Вариант 2

1

2

3

1

b_n = b₁ · q^{n – 1}

b_n² = b_{n – 1} · b_{n + 1}

Окончание табл.

1

2

3

2

25,6; 0,8 · 2^k

0,4; 1,6 ·

3

9

4

или –

0,3 или –0,3

III. Объяснение нового материала.

1. У с т н а я р а б о т а (актуализация знаний).

Упростить выражение:

а) ; б) ; в) 3^{п + 1} – 3^{п – 1}.

2. Привести легенду об индийском принце и изобретателе шахмат, который в награду за изобретение попросил столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на 1-ю клетку положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, на третью – в два раза больше, чем на вторую, и т. д. до 64-й клетки.

Количество зерен в клетках составляет геометрическую прогрессию 1; 2; 2²; 2³; … 2⁶³. Если мы сумму обозначим через S, то

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³. Домножим обе части на знаменатель геометрической прогрессии:

2S = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴;

2S – S = (2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴) – (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³);

S = 2⁶⁴ – 1.

Если подсчитать это число и перевести на килограммы, то масса превысит триллион тонн.

3. Решая предыдущую задачу, мы уже определим принцип вывода формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии.

Повторим эти рассуждения для произвольных b₁ и q.

S_п = b₁ + b₂ + b₃ + … b_{п – 1} + b_п; (1)

, так как b₁q = b₂,

, получаем

. (2)

Вычитаем почленно из (2) равенство (1) и получаем

S_n (q – 1) = b_nq – b₁, тогда

– формула суммы первых

п членов геометрической

прогрессии.

Задать учащимся вопрос: а как быть в случае, когда q =1?

4. Также можно дать задание самостоятельно преобразовать формулу, чтобы выражать сумму только через b₁, q и п.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 648, № 649 (а, г). Самостоятельное решение упражнений на «прямое» применение формулы II.

№ 651 (а, б), № 653. Решение у доски с комментариями.

№ 654.

Р е ш е н и е

а) (х_п) – геометрическая прогрессия; х₅ = 1 = ; q = .

х₅ = х₁ · q⁴; = х₁ · ; = · х₁; х₁ = 90.

S₅ = ; S₅ = = 134.

О т в е т: 134.

При решении этого примера можно использовать обе формулы нахождения суммы первых п членов геометрической прогрессии, и учащиеся должны уметь выбирать формулу в зависимости от задачной ситуации.

№ 655. Это задание повышенной трудности, для решения которого следует не только подставлять значения в формулу, но и оценивать результат, исключать посторонние решения.

Р е ш е н и е

а₁ > 0, a₃ > 0, a₅ > 0

а₂ < 0, а₄ < 0

q < 0

а₁ = 2, a₅ = 162;

a₅ = а₁ · q⁴; 162 = 2 · q⁴;

q⁴ = 81;

q = –3, так как q < 0.

S₆ = ; S₆ = = = –364.

О т в е т: –364.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– По каким формулам находят сумму первых п членов геометрической прогрессии?

– Какие ограничения накладываются на выражения в формулах?

– Как находится сумма первых п членов геометрической прогрессии со знаменателем, равным 1?

Домашнее задание:

У р о к 68
Применение формулы суммы первых п членов
геометрической прогрессии

Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) 3^2п : 9^{п – 1}; (9.)

б) 4^п · 2^{6 – 2п}; (64.)

в) 16 : 4^{1 + 2п} · 8^п. (2^{2 – п}.)

2. Является ли геометрической прогрессией последовательность (х_п), если:

а) х_п = 2^п; (Да.)

б) х_п = 3^–п; (Да.)

в) х_п = п²; (Нет.)

г) х_п = a · bⁿ, если а  0, b  0. (Да.)

3. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию? (Да, любые три равных числа.)

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке предлагаются для решения упражнения на нахождение суммы первых п членов геометрической прогрессии по двум формулам, а также задания на применение формулы п-го члена и характеристического свойства геометрической прогрессии, в том числе повышенной сложности. Перед решением следует вспомнить определение геометрической прогрессии и все формулы, относящиеся к ней.

Упражнения:

1. № 635.

Р е ш е н и е

(х_п) – геометрическая прогрессия.

(х_п) : 2; а; b; ;

;

;

.

О т в е т: а = 1; b = .

№ 640.

Р е ш е н и е

(х_п) – геометрическая прогрессия.

х₁ = 760;

q = 0,8, так как после каждого движения поршня удаляется 20 % воздуха, значит, остается 80 %. Давление после шести движений поршня равно х₇ = х₁ · q⁶; х₇ = 760 · (0,8)⁶ ≈ 199,23.

О т в е т: ≈ 199,23 мм рт. ст.

2. С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а (с последующей проверкой на этом же уроке).

В а р и а н т 1

1) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой .

2) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 5; –2,5; … .

3) (а_п) – геометрическая прогрессия. Найдите S₄, если а₁ = 3, q = –2.

4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = , S₄ = 65.

В а р и а н т 2

1) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой .

2) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 1,5; –3; … .

3) (a_п) – геометрическая прогрессия. Найдите S₅, если а₁ = 18, q = –.

4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = 2, S₈ = 765.

Р е ш е н и я самостоятельной работы

В а р и а н т 1

1)

2) ;

3)

4)

В а р и а н т 2

1)

2)

3)

4)

3. З а д а н и я п о в ы ш е н н о й с л о ж н о с т и.

№ 657.

Д а н о: (х_п) – геометрическая прогрессия.

х_п > 0 для любого n N;

х₁ + х₂ = 8; х₃ + х₄ = 72; S_k = 242.

Н а й т и: k.

Р е ш е н и е

Пусть q – знаменатель прогрессии и q > 0 (так как х_п > 0), тогда по определению х_п = х₁ · q^{п – 1}. По условию

Получаем

(так как q > 0).

Находим

3^k = 243; 3^k = 3⁵; k = 5.

О т в е т: 5 членов.

З а д а ч а. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму пяти первых членов.

Р е ш е н и е

Пусть a, b, c – первые члены геометрической прогрессии. По свойству геометрической прогрессии имеем b² = ac. Учитывая условия задачи, запишем следующую систему уравнений с тремя неизвестными:

Из первого уравнения a + c = 13 – b. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

a² + 2ac + c² = 169 – 26b + b² (1);

из второго уравнения a² + c² = 91 – b². Подставляем в уравнение (1) и получаем:

91 – b² + 2b² = 169 – 26b + b²,

26b = 78,

b = 3.

Подставляем значение b = 3 в исходную систему и получаем:

Таким образом, первые три члена последовательности 1; 3; 9 (q = 3) или 9; 3; 1 .

О т в е т: 1; 3; 121 или 9;

Задачи повышенной сложности можно решать следующим образом: разобрать идею решения, составить исходную систему уравнений, а ее решение предложить выполнить самостоятельно дома. Или сильным в учебе ученикам предложить решить в классе, а с более слабыми учениками продолжить отрабатывать основные формулы по стандартным упражнениям из сборника самостоятельных работ.

IV. Итоги урока.

Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 163).

Домашнее задание: № 636, № 658, № 710.

У р о к 69
Контрольная работа № 5

В а р и а н т 1

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_п), если b₁ = –32 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (b_п) равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

3. Между числами и 3 вставьте три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.

4. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (b_п) с положительными членами, зная, что b₂ = 0,04 и b₄ = 0,16.

5. Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой q = 3, S₄ = 560.

В а р и а н т 2

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (b_п), если b₁ = 0,81 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (b_п) равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии.

3. Между числами и 196 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию.

4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (b_п) с положительными членами, зная, что b₂ = 1,2 и b₄ = 4,8.

5. Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой q = –2, S₅ = 330.

В а р и а н т 3

1. Найдите пятый член геометрической прогрессии (b_п), если b₁ = –125 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (b_п) равен 4, а знаменатель равен 2. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.

3. Между числами 48 и вставьте три числа так, чтобы вместе с данными они составили геометрическую прогрессию.

4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (b_п) с положительными членами, зная, что b₃ = 0,05 и b₅ = 0,45.

5. Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой q = –3, S₄ = 400.

В а р и а н т 4

1. Найдите девятый член геометрической прогрессии (b_п), если
b₁ = 100000 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (b_п) равен 6, а знаменатель равен 4. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.

3. Между числами 35 и вставьте три числа так, чтобы вместе с данными они образовывали геометрическую прогрессию.

4. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (b_п) с положительными членами, зная, что b₃ = 3,6 и b₅ = 32,4.

5. Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой q = 2, S₅ = 403.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = –32, q = .

b₇ = b₁ · q⁶,

О т в е т: –0,5.

2. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 2, q = 3.

.

О т в е т: 728.

3. ; а₂; а₃; а₄; 3 – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (b_п) – геометрическая прогрессия, b_п > 0, b₂ = 0,04, b₄ = 0,16.

b₂ = b₁ · q;

;

0,16 = 0,04 · q²; q² = 4; q = 2 (так как b_п > 0)

О т в е т: 10,22.

5. (а_п) – геометрическая прогрессия, q = 3, S₄ = 560.

О т в е т: 14.

В а р и а н т 2

1. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 0,81, q = .

b₆ = b₁ · q⁵,

О т в е т: .

2. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 6, q = 2.

О т в е т: 762.

3. ; а₂; а₃; а₄; 196 – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (b_п) – геометрическая прогрессия, b_п > 0, b₂ = 1,2, b₄ = 4,8.

b₂ = b₁ · q;

;

4,8 = 1,2 · q²; q² = 4; q = 2 (так как b_п > 0);

О т в е т: 153.

5. (а_п) – геометрическая прогрессия, q = –2, S₄ = 330.

О т в е т: 30.

В а р и а н т 3

1. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = –125, q = .

b₅ = b₁ · q⁴,

О т в е т: –0,2.

2. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 4, q = 2.

О т в е т: 1020.

3. 48; а₂; а₃; а₄; – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (b_п) – геометрическая прогрессия, b_п > 0, b₃ = 0,05, b₅ = 0,45.

b₃ = b₁ · q²;

;

0,45 = 0,05 · q²; q² = 9; q = 3 (так как b_п > 0);

О т в е т: 18.

5. (а_п) – геометрическая прогрессия, q = –3, S₄ = 400.

О т в е т: –20.

В а р и а н т 4

1. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 100000, q = .

b₉ = b₁ · q⁸,

О т в е т: 0,256.

2. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 6, q = 4.

О т в е т: 2046.

3. 35; а₂; а₃; а₄; – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (b_п) – геометрическая прогрессия, b_п > 0, b₃ = 3,6, b₅ = 32,4.

b₃ = b₁ · q²;

;

32,4 = 3,6 · q²; q² = 9; q = 3 (так как b_п > 0);

О т в е т: 48,4.

5. (а_п) – геометрическая прогрессия, q = 2, S₅ = 403.

О т в е т: 13.

У р о к 70
Обощающий урок по теме
«Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Цель: систематизировать знания и умения по изученной теме.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

1. Учащиеся, выполнившие задания контрольной работы на «хорошо» и «отлично», получают карточки-задания повышенной сложности.

К а р т о ч к а № 1.

1. Найдите число членов арифметической прогрессии а₁;а₂; …; а_2п, если а₂ + а₄ + а₆ + … + а_2п = 126 и а_{п – 2} + а_{п + 4} = 42.

1) 6; 2) 8; 3) 10; 4) 16; 5) 12.

2. Найдите 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + … + 97 – 99.

1) –46; 2) –48; 3) –50; 4) –52; 5) –54.

3. Вычислите сумму первых п членов последовательности 1; 3; 7; 15; 31; …; 2^п – 1.

1) 4^п + 3п; 2) 2 (2^п –1) – п; 3) 2^п + п + 1;

4) 2^2п – 4п; 5) определить нельзя.

К а р т о ч к а № 2.

1. Сколько бы ни взять первых членов арифметической прогрессии, сумма их равна утроенному произведению квадрата числа этих членов. Найдите седьмой член этой прогрессии.

1) 8; 2) 9; 3) 11; 4) 10; 5) 7.

2. На сколько уменьшится сумма 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 12 + … + 20 · 80, если второй множитель в каждом слагаемом уменьшить на единицу?

1) 60; 2) 120; 3) 210; 4) 375; 5) 465.

3. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3, получается остаток, равный 1.

1) 1875; 2) 925; 3) 1900; 4) 2850; 5) 2125.

К а р т о ч к а № 3.

1. Сумма четырех первых членов арифметической прогрессии равна 124, а сумма четырех последних ее членов равна 156. Сколько членов в этой прогрессии, если известно, что сумма их равна 350?

1) 8; 2) 9; 3) 11; 4) 10; 5) 7.

2. На сколько уменьшится сумма 1 · 4 + 2 · 6 + 3 · 8 + … + 10 · 22, если второй множитель в каждом слагаемом уменьшить на 3?

1) 165; 2) 30; 3) 180; 4) 90; 5) 330.

3. Вычислите сумму (а₃ – а₁) + (а₅ – а₃)² + … + (а₁₉ – а₁₇)² для арифметической прогрессии с членами а₁, а₂, … а_п и разностью d = 1.

1) 1022; 2) 8192; 3) 4094; 4) 8194; 5) 4096.

К а р т о ч к а № 4.

1. Сумма первых четырех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 15, а сумма последующих четырех членов равна 240. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

1) 31; 2) 48; 3) 63; 4) 127; 5) 144.

2. Найдите сумму первых 20 чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1.

1) 950; 2) 1070; 3) 1090; 4) 1030; 5) 1100.

3. Сколько арифметических прогрессий (х_п) удовлетворяют условию (| х_п | – 1)² + (| х_п | – 1)² + … + (| х_п | – 1)² + ... = 0?

1) 2; 2) 1; 3) n; 4) 2n; 5) n – 1.

К а р т о ч к а № 5.

1. На сколько меньше десяти корень уравнения:

?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.

2. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4.

1) 527; 2) 535; 3) 536; 4) 542; 5) 545.

3. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, состоящей из четного числа членов, если сумма всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах?

1) 3; 2) ; 3) ; 4) 2; 5) 3.

К а р т о ч к а № 6.

1. Начиная с какого номера, члены геометрической прогрессии –8; 4; –2; … будут по модулю меньше 0,001?

1) 16; 2) 12; 3) 15; 4) 14; 5) 13.

2. Не равные нулю числа x, y, z образуют в указанном порядке знакопеременную геометрическую прогрессию, а числа x + y; y + z; z + x – арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1) –2; 2) –1; 3) –3; 4) –5; 5) –4.

3. Числовая последовательность 1; 8; 22; 43; … обладает таким свойством, что разности двух соседних членов составляют арифметическую прогрессию 7; 14; 21; … . Какой член данной последовательности равен 35351?

1) 97; 2) 99; 3) 101; 4) 103; 5) 107.

К а р т о ч к а № 7.

1. Укажите натуральное число, равное суммы всех предшествующих ему натуральных нечетных чисел.

1) 18; 2) 30; 3) 24; 4) 36; 5) 48.

2. Если к первым четырем членам геометрической прогрессии прибавить соответственно 1, 1, 4 и 18, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1) 2; 2) –2; 3) 3; 4) –3; 5) 4.

3. В последовательности, состоящей из натуральных чисел, второй член больше первого, а каждый член последовательности, начиная с третьего, является произведением двух предыдущих. Если четвертый член равен 18, то чему равна разность между вторым и первым членами последовательности?

1) 1; 2) 5; 3) 17; 4) 1 или 17; 5) 7.

К а р т о ч к а № 8.

1. Укажите натуральное число, равное суммы всех предшествующих ему натуральных нечетных чисел.

1) 68; 2) 24; 3) 32; 4) 64; 5) 40.

2. Последовательность (а_п) задана рекуррентной формулой а₁ = 0,
а₂ = 1, … а_{п + 2} = а_{п + 1} – а_п. Найдите 885-й член этой последовательности.

1) 1; 2) 0; 3) –1; 4) 2; 5) 3.

3. В последовательности, состоящей из натуральных чисел, первый член выбирается случайным образом, а каждый последующий член последовательности получается возведением предыдущего в квадрат и вычитанием из результата 5. Если третий член равен 116, то чему равен первый член последовательности?

1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8.

О т в е т ы:

№ карточки

1

2

3

4

5

6

7

8

1-е задание

5

4

4

3

1

4

3

3

2-е задание

1

3

1

2

2

1

1

1

3-е задание

2

1

1

1

4

3

1

2

2. Остальные учащиеся разбирают свои ошибки в группах (создаются 2 группы). Раздать учащимся шаблоны с правильным решением подобных задач из контрольной работы. Учащиеся сами выбирают нужную карточку и, используя ее, решают ошибочное задание. Исправив ошибочное решение, ученик выходит к доске и показывает правильное решение всему классу. После окончания этой работы ученики могут приступать к решению заданий по карточкам.

III. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что такое последовательность? Какие способы задания последовательности существуют?

– Сформулируйте определение арифметической прогрессии. Какое число называется разностью арифметической прогрессии?

– Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Какое число называется знаменателем геометрической прогрессии?

– Запишите формулы п-го члена и суммы первых п членов для арифметической и геометрической прогрессий.

Домашнее задание: