Государственное образовательное учреждение

начального профессионального образования

«Профессиональное училище №5» г. Белгорода

Конспект урока

по математике на тему:

Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

для учащихся 10 классов

Подготовила:

Кобзева Ирина Алексеевна,

преподаватель информатики и математики

ГОУ НПО ПУ №5

Белгород 2010

Тема урока: Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

Цели урока:

1) ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии;

2) изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Ход урока

1. Организационный момент

II. Новый материал

Учитель знакомит с понятием стереометрии: С 7 класса вы начали знакомиться со школьным курсом геометрии.

Вопрос к учащимся: что такое геометрия? (Геометрия — наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» — греческое, в переводе — «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.) В 7—9 классах мы с вами изучали первый раздел геометрии — планиметрию.

Вопрос к учащимся: что такое планиметрия? (Планиметрия — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.)

Вспомним основные понятия планиметрии (см. плакат 1) (точка, прямая: обозначение, изображение).

Необходимо отметить, что эти понятия не определяемы, они принимаются интуитивно.

Сегодня мы приступим к изучению нового раздела геометрии — стереометрии.

Определение учащиеся записывают в тетрадь под руководством учителя (стр. 3 учебника): Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучается свойства фигур в пространстве.

Основные фигуры в пространстве: точка, прямая и плоскость (см. плакат 1).

Представление плоскости дает гладкая поверхность стены, стола.

Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся во все стороны, не ограниченной.

Учитель изображает на доске, учащиеся в тетради.

Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ‚ и т.д.

Необходимо отметить, что об этих фигурах мы имеем наглядное представление, но определения этих фигур в геометрии не даются. Их свойства выражены в аксиомах. С ними мы познакомимся немного позже.

Наряду с точкой, прямой и плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела, изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.

Учитель показывает модели и приводит примеры из окружающей действительности (см. плакат 2).

Учащиеся изображают в тетрадях куб и выделяют другим цветом некоторые элементы (точки, отрезки), например: точка А, отрезок ВС.

Теперь рассмотрим аксиомы стереометрии.

Вопрос к учащимся:

1) Что такое аксиома? (Аксиома — утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.)

2) Какие аксиомы планиметрии вы знаете?

— через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

— из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах:

А₁. Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Учащиеся под руководством учителя выписывают в тетрадь из учебника (стр. 5) аксиому А₁. делают рисунок а) с плаката 3:

Важно отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

А₂. Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости (см. плакат 3, рис. б).

Ученики делают запись и рисунок в тетрадь.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

А₃. Если 2 плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Говорят, плоскости пересекаются по прямой (см. плакат, З рис. в). Ученики делают запись на рисунок в тетрадь.

III. Закрепление изученного материала

1. Прочитать формулировки аксиом А₁—А₃.

2. Решаем задачи:

Учащиеся читают условие задачи по учебнику стр. 7—8 и дают ответ с объяснениями.

Задача 1 (а, б) с. 7.

Ответ:

а) Точки Р и Е лежат в плоскости (АDВ), а значит и прямая РЕ лежит в плоскости (АDВ) (по А₂). Аналогично МК лежит в плоскости (ВDС). Точки В и D лежат одновременно в плоскостях (АDВ) и (ВDС), а значит прямая ВD лежит в плоскостях (АDВ) и (АВС).

Аналогично АВ лежит в плоскостях (АDВ) и (АВС).

Точки С и Е лежат одновременно в плоскостях (АВС) и (DЕС), а значит прямая СЕ лежит в этих же плоскостях.

б) Заметим, что точка С лежит на прямой (DК) и в плоскости АВС, а следовательно, DК∩(АВС) в точке С, так как точек пересечения более одной (прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.

Аналогично СЕ пересекается с плоскостью (АDВ) в точке Е.

Задача 2(а) с. 7.

Ответ: а) В плоскости DСС₁: D, С, С₁, D₁, К, M, R (см. №1). В плоскости ВQС: В₁, В, Р, Q, С₁, М, С.

IV. Подведение итогов

Мы познакомились с новым разделом геометрии — стереометрией, узнали новые аксиомы и использовали их при решении задач.

Объявление оценок (с комментариями).

Домашнее задание

Повторить аксиомы планиметрии.

Выучить аксиомы А₁—А₃.

Прочитать пункт 1—2.

Задача 1(в, г)

Ответы:

в) в плоскости АDВ лежат точки: А, D, В, Е, Р, М, так как точка Е лежит на прямой АВ, а значит, и в плоскости АВD. В плоскости DВС лежат точки: D, В, С, M, К

г) плоскости АВС и DСВ пересекаются прямой ВС, так как обе точки В и С лежат в обеих плоскостях. Аналогично: АВD пересекается с СDА по прямой АD. Так как точка Е принадлежит РD, значит, Е принадлежит РDС и так как точка С принадлежит РDС, то прямая СЕ принадлежит РDС, а так как СЕ принадлежит АВС, то плоскости АВС и РDС пересекаются по прямой СЕ.

Задача 2 (б, д)

Ответы:

б) АА₁В₁; АА₁D₁.

д) МК∩DС = R; В₁С₁∩ВР =Q; С₁М∩DС = С.

Дополнительно:

Вариант I

3. [а) да, см. А₁ б) нет в) нет. В качестве примера можно взять квадрат г) да — это А₁].

Вариант II

4. (а) [нет. Если А, В, С лежат на одной прямой, то через А, С, D можно провести плоскость (А₁). Тогда точка В лежит в плоскости α, так как точка В лежит на прямой АС, а значит, точки А, В, С, D лежат в одной плоскости].

Вариант III

4. (б) [нет. Так как, если АВ и СD пересекаются, то через них можно провести плоскость (это теорема), а значит, А, В, С, D лежат в одной плоскости. Противоречие.]

Литература:

Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян и др. М.: Просвещение