XIII. Функции.

1. Распознавание графиков.

1. Укажите график функции, заданный формулой .

2. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите этот рисунок.

3. Укажите график функции, заданной формулой .

4. Укажите график функции, заданной формулой .

5. График какой функции из перечисленных изображен на рисунке?

а).

б).

в).

г).

6. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите этот рисунок.

8. Укажите график функции, заданной формулой .

9. Укажите график функции, заданной формулой .

10. Укажите график функции, заданной формулой .

11. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

а). в).

б). г).

12. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

а). в).

б). г).

13. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

а). в).

б). г).

14. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

а). в).

б). г).

15. График какой функции изображен на рисунке?

а).

б).

в).

г).

16. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

а).

б).

в).

г).

17. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

а).

б).

в).

г).

18. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

а).

б).

в).

г).

2. Область определения функции.

1. Найдите наименьшее целое число, входящее в область определения каждой из функций:

а). ; б). ;

в) .

2. Найдите наибольшее целое число, входящее в область определения каждой из функций:

а). ; б). .

3. Найдите количество целых чисел, входящих в область определения каждой из функций:

а). ; б). ;

в). .

4. Найдите область определения функции:

а). ; б). .

5. Найдите область определения функции. В ответе укажите наименьшее целое значение:

а). ;

б). ;

в). ;

г). ;

д). .

6. Найдите область определения функции и укажите сумму целых её значений:

а). ; б). ; в). ;г)..

7. Найдите область определения функции:

а). ; е). ;

б). ; ё). ;

в). ; ж). ;

г). ; з). ;

д). ; и). .

8. Какое из перечисленных ниже чисел принадлежит области определения функции:

а). : 1). ; 2). ; 3). ; 4. ;

б). : 1). ; 2). ; 3). ; 4). ;

в). : 1). ; 2). ; 3). ; 4). ;

г). : 1). ; 2). ; 3). ; 4). ;

д). : 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

9. Для какой из указанных функций областью определения является промежуток :

а). ; б). ; в). ; г). .

10. Для какой из указанных функций областью определения является промежуток :

а). ; б). ; в). ; г). ?

11. Для какой из указанных функций областью определения является промежуток :

а). ; б). ; в). ; г). ?

12. Укажите все значения , при которых не определена функция :

а). ; б). ; в). ; г). ?

13. Укажите все значения , при которых не определена функция :

а). ; б). ; в). ; г). ?

14. Укажите все значения , при которых не определена функция :

а). ; б). ; в). ; г). ?

15. На каком из указанных множеств совпадают графики функций и :

а). ; б). ; в). ; г). Ни на каком из перечисленных?

16. На каком из указанных множеств совпадают графики функций и :

а). ; б). ; в). ; г). Ни на каком из перечисленных?

17. На каком из указанных множеств не существует ни одна из функций и :

а). ; б). ; в). ; г). ?

18. Найдите количество целых значений , при которых функция определена:

а). ; д). ;

б). ; е). ;

в). ; ж). ;

г). ; з). .

19. Укажите наименьшее число из области определения функции .

20. Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции .

21. Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции .

22. Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции .

23. Найдите наименьшее целое число, не входящее в область определения функции .

24. Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции .

25. Найдите количество целых чисел, принадлежащих области определения функции:

а). ; в). .

б). ;

26. Найдите все значения , при которых область определения функции содержит ровно три целых числа.

3. Монотонность функции. Точки экстремума.

1. Какая из функций, заданных графиком убывает на отрезке ?

2. Укажите график функции, возрастающей на промежутке .

3. Укажите графики функции, убывающей на промежутке .

4. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она возрастает:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

5. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она возрастает:

а). ;

б). ;

в).;

г). .

6. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она убывает:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

7. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она убывает:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

8. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она убывает:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

9. Функция задана на промежутке . Укажите промежуток, на котором функция не возрастает:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

10. Функция задана на промежутке . Укажите промежуток, на котором функция не убывает:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

11. Укажите промежуток возрастания функции , заданной графиком на отрезке :

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

12. Укажите промежутки убывания функции , заданной графиком на отрезке :

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

13. Укажите промежутки возрастания функции , заданной графиком на отрезке :

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

14. Укажите промежутки убывания функции , заданной графиком на отрезке :

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

15. Укажите промежутки возрастания функции , заданной графиком на отрезке :

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

16. Какая из данных функций убывает на всей области определения?

а) ; б) ; в) ; г) .

17. Укажите функцию, которая возрастает на всей области определения.

а) ; б) ; в) ; г) .

18. Укажите функцию, которая убывает на всей области определения.

а) ; б) ; в) ; г) .

19. Укажите функцию, убывающую на отрезке .

а) ; б) ; в) ; г) .

20. Укажите функцию, возрастающую на отрезке .

а) ; б) ; в) ; г) .

21. Укажите функцию, убывающую на промежутке .

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Нули функции.

1. Какое из чисел является нулем функции ?

2. Найдите нули функции .

3. Найдите число нулей функции .

4. Укажите промежуток, которому принадлежат нули функции :

а). ; б). ; в). ; г). .

5. Найдите нули функции .

6. На рисунке изображен график функции . Найдите количество целых корней уравнения .

7. На рисунке изображен график функции . Найдите количество целых корней уравнения .

8. Функция задана на промежутке . Какому из указанных промежутков принадлежат все нули функции:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

9. Функция задана на промежутке . Какому из указанных промежутков принадлежит только один ноль функции:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

10. Найдите нули функции .

11. Найдите число нулей функции на промежутке .

12. Укажите число, являющееся нулем функции .

13. При каком значении параметра данная функция имеет нули?

14. Укажите нуль функции , который является целым числом.

15. Сколько нулей имеет данная функция ?

16. Укажите наименьший положительный нуль функции .

17. Укажите промежуток, которому принадлежит нуль функции .

18. Найдите произведение нулей функции .

19. Найдите все значения параметра, при котором функция не имеет нулей.

5. Промежутки знакопостоянства.

1. Найдите все значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

2. Найдите все значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

3. Найдите все значения аргумента, при которых функция принимает не отрицательные значения.

4. Найдите все значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

5. На рисунке изображен график функции . Пользуясь графиком, найдите все значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

6. На рисунке изображен график функции . Пользуясь графиком, найдите все значения аргумента, при которых функция отрицательна.

7. Функция задана графиком на отрезке . Укажите множество значений аргумента, при которых функция положительна:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

8. Функция задана графиком на отрезке . Укажите множество значений аргумента, при которых функция отрицательна:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

9. Функция задана графиком на отрезке . Укажите множество значений аргумента, при которых функция положительна:

а). ;

б). ;

в). ;

г). .

10. Решите неравенство , если на рисунке изображен график функции , заданной на промежутке .

11. Решите неравенство , если на рисунке изображен график функции , заданной на промежутке .

6. Четные и нечетные функции.

1. Укажите рисунок, на котором изображен график нечетной функции:

2. Укажите график нечетной функции:

3. Укажите график нечетной функции:

4. Укажите рисунок, на котором изображен график четной функции:

5. Укажите график четной функции:

6. Какая из указанных функций является нечетной?

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Какая из указанных функций является четной?

а) ; б) ; в) ; г) .

8. Какая из указанных функций не является ни четной, ни нечетной?

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Задана функция . Найдите , если .

10. Задана функция . Найдите , если .

7. Множество значений функции.

Найдите множество значений функции:

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. ;

9. ; 19. .

10. ;

Найдите наименьшее значение функции:

1. ; 7. ;

2. ; 8. ;

3. ; 9. ;

4. ; 10. ;

5. ; 11. ;

6. ; 12. .

Найдите наибольшее значение функции:

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. .

5. ;

При каком значении функция имеет минимум в указанной точке:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ?

Найдите наименьшее значение функции на промежутке:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Найдите наибольшее значение функции на промежутке:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. .

Найдите наименьшее целое значение функции:

1. ;

2. ;

3. .

Найдите наибольшее целое значение функции:

1. ;

2. ;

3. .

Найдите наименьшее значение функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Найдите наибольшее значение функции:

1. ;

2. .

Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству функции :

1. ;

2. ;

3. .

Найдите наибольшее число, принадлежащее множеству значений функции :

1. ;

2. .

Найдите наибольшее натуральное значение , при котором записанное ниже выражение принимает отрицательное значение:

1. .

При каких значениях записанные ниже выражения принимают неположительные значения:

1. ?

При каких целых положительных значение выражения ближе всего к указанному числу:

1. ближе всего к ;

2. ближе всего к ?

Найдите множество значений функции:

1. ;

2. ;

3. , если ;

4. , если ;

5. , если ;

6. , если .

VIII. Применение производной.

1. Правила дифференцирования.

Найдите производную функции:

1. ; 7. ;

2. ; 8. ;

3. ; 9. ;

4. ; 10. ;

5. ; 11. ;

6. ; 12. .

Найдите производную функции в точке :

1. ; 16. ;

2. ; 17. ;

3. ; 18. ;

4. ; 19. ;

5. ; 20. ;

6. ; 21. ;

7. ; 22. ;

8. ; 23. ;

9. ; 24. ;

10. ; 25. ;

11. ; 26. ;

12. ; 27. ;

13. ; 28. ;

14. ; 29. ;

15. ; 30. .

Найти скорость изменения функции в точке :

1. ;

2. ;

3. .

2. Монотонность и экстремумы.

Найдите точку максимума функции :

1. ;

2. ;

3. .

Найдите точку минимума функции :

1. ;

2. ;

3. .

Найдите значения функции в точках максимума:

1. ;

2. ;

3. .

Найдите длину конечного промежутка возрастания функции:

1. ;

2. .

Найдите длину конечного промежутка убывания функции:

1. ;

2. ;

3. .

Найдите середину промежутка убывания функции:

1. ;

2. ;

3. .

При каком наименьшем значении функция убывает на всей числовой прямой:

1. ;

2. ;

3. ?

При каком наименьшем значении функция возрастает на всей числовой прямой:

1. ;

2. ;

3. ?

3. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Найдите наименьшее значение функции :

1. ; 3. .

2. ;

Найдите наибольшее значение функции :

1. ;

2. ;

3. .

Найдите наименьшее значение функции на промежутке:

1. ;

2. ;

3. .

Найдите наибольшее значение функции на промежутке:

1. ;

2. ;

3. .

Найдите наибольшие значения функций на заданных отрезках:

1. ; 4. ;

2. ; 5. ;

3. . 6. .

Найдите наименьшие значения функций на заданных отрезках:

1. ;

2. ;

3. .

4. Геометрический смысл производной.

Найдите угловые коэффициенты касательных к графикам функций в точках с заданными абсциссами:

1. ;

2. ;

3. .

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

Найдите сумму абсцисс точек, в которой касательная к графику функции имеет заданный угловой коэффициент:

1. ;

2. ;

3. .

Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет заданный угловой коэффициент:

1. ;

2. ;

3. .

Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . В ответе укажите ординату точки пересечения касательной с осью :

1. ;

2. ;

3. .

Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с ординатой . В ответе укажите абсциссу точки пересечения касательной с осью :

1. ;

2. ;

3. .

Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой :

1. ;

2. ;

3. .

Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна данной прямой:

1. ;

2. ;

3. .

В какой точке графика функции касательная перпендикулярна прямой:

1. ;

2. ?

Через точку проведены две касательные к графику функции . Найдите сумму абсцисс точек касания:

1. ;

2. .

Через точку проведены две касательные к графику функции . Найдите произведение абсцисс точек касания:

1. ;

2. .

5. Физический смысл производной.

При движении тела по прямой расстояние (в метрах) от начальной точки движения изменяется по закону ( - время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

При движении тела по прямой скорость (в м/с) от начальной точки изменяется по закону ( - время движения в секундах). Найдите ускорение (м/с²) тела через 5 секунд после начала движения.

При движении тела по прямой скорость (в м/с) от начальной точки изменяется по закону ( - время движения в секундах). Через сколько секунд после начал движения ускорение тела будет равно 2м/с²?

При движении тела по прямой расстояние (в метрах) от начальной точки изменяется по закону ( - время движения в секундах). Сколько мгновенных остановок () сделает тело за первые 5.5 секунд своего движения?

При движении тела по прямой расстояние (в метрах) от начальной точки изменяется по закону ( - время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения тело сделает вторую мгновенную остановку ()?

При движении тела по прямой расстояние (в метрах) от начальной точки изменяется по закону ( - время движения в секундах). Через сколько секунд после первой мгновенной остановки () тело сделает вторую мгновенную остановку?

При каком значении аргумента равны скорости изменения функций и ?

При каком значении аргумента скорость изменения функции в два раза меньше скорости изменения функции ?

6. Построение графиков.

При каком натуральном значении параметра уравнение имеет ровно два корня?

При каком наименьшем натуральном значении параметра уравнение имеет ровно один корень?

При каком наименьшем целом значении параметра уравнение имеет три корня?

При каком наибольшем значении параметра уравнение имеет ровно два корня?

При каком наименьшем значении параметра уравнение имеет ровно два корня?

Найдите все значения , при которых уравнение имеет единственный корень:

1. ; 3. ;

2. ; 4. .

Найдите все значения , при которых уравнение имеет ровно два корня:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет не менее двух корней.

Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет не менее двух корней.

7. Геометрические задачи.

1. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса .

2. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в полуокружность радиуса .

3. В данный цилиндр вписать шар наименьшего объема.

4. Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют длину . Выбрать размер большего основания так, что бы площадь была наибольшей.

5. Сумма основания и высоты некоторого треугольника равна 38см. Определить площадь этого треугольника при условии, чтобы она была максимальной.

6. Сумма длин боковых сторон, и высоты трапеции, описанной около окружности, равна 4. Найти максимально возможное значение площади трапеции.

5. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 8. Какое наименьшее значение может принять сумма квадратов длин сторон параллелограмма?

5. Площадь трапеции, описанной вокруг окружности, равна 2. Найти радиус окружности, если известно, что сумма длин боковых сторон и высоты трапеции принимает минимально возможное значение.

5. В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 2. Найдите наибольшее значение площади боковой поверхности призмы.

5. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, а сумма длин всех ее ребер равна m. Найдите наибольшее значение площади ее боковой поверхности.

5. Найдите наибольший объем треугольной пирамиды МАВС, в основании которой лежит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АВ=ВС), если МВ(АВС) и МА=.

5. Найдите высоту конуса наибольшего объема, образующая которого равна l.

5. Определите размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

5. Площадь участка, имеющего форму равнобедренной трапеции с острым углом 30⁰, равна 50. Какое наименьшее значение принимает его периметр?

5. Участок имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Площадь участка равна 12,5. При каком радиусе полукруга периметр участка является наименьшим?

5. В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема?

5. Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

8. Алгебра и начала анализа

1. Через точку М (2; 6) проведите прямую так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на положительных координатных полуосях, была наименьшей.

2. Через точку М (1; 4) проведите прямую так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на положительных координатных полуосях, была наименьшей.

3. На графике функции найдите точки, ближайшие к точке А (2; -1,5).

4. На графике функции найдите точки, ближайшие к началу координат.

5. На графике функции найдите точки, ближайшие к точке А (16; 2,5).

6. На графике функции найдите точки, ближайшие к началу координат.

7. Найдите число, устроенный квадрат которого превышает его куб на максимальное значение.

8. Найдите число, которое превышает свой квадрат на максимальное значение.

9. Какое из чисел является наибольшим, если ?

10. Какое из чисел является наименьшим, если?

11. Сравнить числа: и ?

12. Доказать: для x > 0.

9. Физические задачи.

Для вычисления дифференциала в физике достаточно знать, что дифференциал – это главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента. В примерах мы из физических соображений будем получать равенства вида и делать вывод о том, что k – это производная y по x.

1. Работа. Рассмотрим работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х, т. е. . Приращение работа на отрезке нельзя точно вычислить как произведение , так как сила меняется на этом отрезке. Однако при маленьких можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет собой главную часть, т. е. является дифференциалом работы: . Таким образом, силу можно считать производной работы по перемещению.

2. Заряд. Пусть - заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время . Если сила тока постоянна, то за время ток перенесет заряд, равный . При силе тока, изменяющейся ос временем по некоторому закону , произведение дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени, т. е. является дифференциалом заряда: . Тем самым сила тока является производной заряда по времени.

3. Масса тонкого стержня. Пусть есть неоднородный тонкий стрежень. Если ввести координаты так, как показано на рисунке, то можно рассмотреть функцию - массу куска стержня от точки О до точки . Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки по некоторому закону . Если на маленьком отрезке стержня мы будем считать плотность постоянной и равной , то произведение дает нам дифференциал массы - . Это значит, что линейная плотность- это производная массы по длине.

4. Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и будем вычислять количество теплоты , которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг этого вещества от 0^о до Т^о (по Цельсию). Зависимость очень сложна и определяется из опыта. Если бы удельная теплоемкость с данного вещества не зависела от температуры, то произведение дало бы нам изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке удельную теплоемкость постоянной, мы получим дифференциал теплоты как . Поэтому теплоемкость – это производная теплоты по температуре.

5. Работа как функция времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени, - это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время равна . Это выражение представляет собой дифференциал работы, т. е. и мощность выступает как производная работы по времени.

1. При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от начальной точки меняется по закону (- время движения в секундах). Найдите скорость (м/с) тела через 4 секунды после начала движения.

1) 27 + ln4; 2) 8, 25; 3) 7, 75; 4) 9, 5.

2. При движении тела по прямой его скорость V (в м/с) меняется по закону (- время движения в секундах). Найдите ускорение (м/с²) тела через 2 секунды после начала движения.

1) 6, 2; 2) 1, 4; 3) 4; 4) 5.

3. При движении тела по прямой его скорость (в м/с) меняется по закону (- время движения в секундах). Найдите ускорение (м/с²) тела через 1 секунду после начала движения.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от начальной точки изменяется по закону (- время движения в секундах). Найдите скорость (м/с) тела через 4 секунды после начала движения.

1) 4, 125; 2) 7; 3) 5, 25; 4) 0, 5.

5. Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении по закону (время движения в секундах, расстояние от земли до тела в метрах). Определите начальную скорость движения.

6. Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении по закону (время движения в секундах, расстояние в метрах от земли до тела). Через сколько секунд скорость тела будет равна 3 м/с?

7. При торможении маховик за секунд поворачивается на угол радиан. Найдите угловую скорость вращения маховика в момент времени =2 с.

8. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением , где S – расстояние в метрах, а – время в секундах от момента начала движения. Определите скорость движения в конце первой секунды.

9. Материальная точка движется прямолинейно по закону (расстояние измеряется в метрах, время - измеряется в минутах). На какое наибольшее расстояние от начального положения она может отклониться?

10. Материальная точка движется прямолинейно по закону (расстояние измеряется в метрах, время - измеряется в минутах). На какое наибольшее расстояние от начального положения она может отклониться?

11. По оси абсцисс движутся две точки по законами . В какой момент времени произойдет их встреча? С какой скоростью они удаляются друг от друга в этот момент?

12. Из пункта А выходит мотоцикл, движущийся равноускоренно с ускорением =3м/с² и нулевой начальной скоростью. В какой момент времени мотоцикл догонит автомашину, которая вышла из А одной минутой ранее мотоцикла и движется в том же направлении со скоростью 15 м/ с? С какой скоростью мотоцикл удаляется от автомашины в момент их встречи?

13. В период разгона маховик вращается по закону , где - угол в радианах, t – время в секундах. Через сколько времени от начала движения угловая скорость маховика будет равна 3 рад/ с? Чему равно угловой ускорение в этот момент?

14. Круг радиуса R = 0,5 м вращается вокруг центра так, что за время t он поворачивается на угол .(измеряется в радианах, t – в секундах). Найдите длину дуги, пройденной точкой, находящейся на окружности, в течение первых двух секунд. Вычислите угловое ускорение круга в конце второй секунды.

15. Общая длина стержня, сделанного из неоднородного материала, равна 3. Изменение массы m куска стержня в зависимости от l (l - длина куска, считая от начала стрежня) описывается формулой . Чему равна средняя плотность стрежня? При каком значении l плотность равна средней плотности?

16. Масса m(l) куска длины l неоднородного стержня равна . При каком значении l плотность вдвое меньше, чем в начале стрежня (т. е. при l = 0)?

17. Колесо радиуса R = 10 см катится по прямой. Угол поворота колеса за время t определяется по закону . Найдите скорость и ускорение движения центра колеса через 10 с после начала движения. (измеряется в радианах, t – в секундах).

18. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален кубу времени. Первые два оборота сделаны колесом за 2 с. Найдите угловое ускорение через 7 с после начала вращения. (Угол измеряется в радианах, время – в секундах).

19. Точка движется по параболе так, что ее абсцисса изменяется по закону . (х измеряется в метрах, t – в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 4 с после начала движения?

20. Концы отрезка АВ = 5 м скользят по координатным осям так, что конец А приближается к началу координат О с постоянной скоростью 2 м/ с. Найдите скорость изменения площади треугольника АОВ в момент, когда АО = 4 м.

21. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг воды от 0⁰ С до t⁰ C, определяется формулой . Теплоемкость воды при t=100⁰ C равна 1,013. Найдите значение параметра .

22. При деформации одна из сторон прямоугольника увеличивается с постоянной скоростью 1 см/ ч, а другая уменьшается со скоростью 0,5 см/ ч. Найдите скорость изменения площади прямоугольника через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см², а первоначальная площадь прямоугольника равна 17 см².

23. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 40 м/мин. Ворот находится на берегу на 10 м выше поверхности воды. Найдите: а) скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 30 м от берега; б) скорость движения парома в тот момент, когда длина натянутого каната равна 50 м.

24. Осветительная ракета запускается вертикально вверх с поверхности Земли и движется по закону . (Высота h измеряется в метрах, t – в секундах). Труба высотой 40 м находится в 18 м от места запуска. Найдите: а) скорость изменения длины тени от трубы в тот момент, когда длина тени, равна 10 м; б) скорость удлинения тени в момент, когда от ракеты до поверхности Земли остается 256 м.

25. Уравнение движения колеблющейся точки имеет вид: . Найдите скорость и ускорение колеблющейся точки через 2 секунды.

26. Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этого грузу. Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен k.

27. Высота камня, брошенного вертикально верх со скоростью v_о с начальной высоты от земли h_o, меняется по закону , где =10 м/ с² – ускорение силы тяжести.

1. Найдите зависимость скорости камня от времени.

2. При h_o = 20 м, v_о = 8 м/ с найдите скорость камня через 2 с. Зачем указано значение h_o? Через какое время камень упадет на землю?

3. На какой высоте скорость обратится в 0?

4. Покажите, что энергия камня ( где m – масса камня) не зависит от времени.

28. Тело удаляется от Земли по закону .

1. Найдите закон, по которому меняется его скорость.

2. Вычислите ускорение тела.

3. Докажите, что сила, действующая на тело, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния S.

29. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t =0, задается формулой . Найдите силу тока в момент времени t =3.

30. Измерения величины заряда на обкладках конденсатора показали, что заряд q меняется со временем по закону (, время в секундах, заряд в микрокулонах). Найдите закон изменения силы тока.

31. Через пункт О из пунктов А и В, находящихся от О на расстоянии l₁ и l₂ едут два велосипедиста с постоянными скоростями v₁ и v₂ по прямолинейным дорогам, угол между которыми 60^о. В какой момент времени расстояние между велосипедистами наименьшее?

32. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v км/ ч, составляет (90 + 0,4v²) рублей в час. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наименьшей?

10. Производная в химических задачах.

1. Задача о скорости химической реакции. Пусть дана функция , где - количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени . Приращению времени будет соответствовать приращение величины . Отношение - средняя скорость химической реакции за промежуток времени . Предел этого отношения при стремлении к нулю, т. е. , есть скорость химической реакции в данный момент времени .

2. Задача о скорости роста популяции. Пусть - размер популяции бактерий в момент . Тогда получим, что есть скорость роста популяции бактерий в данный момент времени .

1. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону: , где t выражается в часах. Найти максимальный размер этой популяции.

2. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что обозначает дозу назначенного лекарства, а степень реакции y описывается функцией , где - некоторая положительная постоянная. При каком значении реакция максимальна?

3. Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (О₂). Требуется найти концентрацию О₂, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью.