Самостоятельная работа №2

Решение систем уравнений методом Гаусса

Цель работы: овладеть методом Гаусса при решении систем линейных уравнений

Студент должен:

Знать:

• символику и формы записи систем линейных уравнений

• что такое совместная и несовместная система уравнений

• методы решения СЛАУ(метод Гаусса)

Уметь:

• применять метод Гаусса

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. В каком случае система имеет единственное решение?

2. В каком случае система имеет бесконечное множество решений?

3. В чем достоинство метода Гаусса по сравнению с другими методами?

Форма выполнения задания: решение задач (письменно)

Время выполнения 45 мин

Основной теоретический материал

Метод Гаусса. Этот способ заключается в обнулении элементов основной расширенной матрицы системы уравнений, находящихся под главной диагональю.

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы

Алгоритм метода Гаусса

1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;

2. Приводим матрицу к "треугольному" виду;

3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;

4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения;

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, и с помощью несложных математических преобразований она приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули:

  

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

Решение типовых заданий

Решить систему трех линейных уравнений методом Гаусса

Ответ: х=1, y=2, z=3.

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные и .

Ответ: (2; 3; -1).

Решить самостоятельно системы линейных уравнений по вариантам: 10 вариантов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Оформить отчет

Требования к оформлению самостоятельной работы

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради

По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности

(правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

Балл (оценка)

Вербальный аналог

90-100

5

отлично

80-89

4

хорошо

70-79

3

удовлетворительно

менее 70

2

неудовлетворительно

Интернет ресурсы

http://math1.ru/education/sys_lin_eq/gauss.html

http://www.bestreferat.ru/referat-180751.html