Открытая олимпиада школьников

«Интеллектуальный марафон»2012-2013гг.

Математика. 10 класс.

Часть 1

Решения заданий записывать. (За каждое задание 5 баллов, всего 50 баллов).

1. Найдите значение выражения , если, а =121, b=16.

2. Упростите выражение cos2α sin(β-α) - cos(β-α) sin2α.

3. Решите уравнение

4. Найдите наибольшее целое значение функции.

5. Две шкурки общей стоимостью в 2250 рублей были проданы с прибы­лью в 40%. Какова стоимость второй шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй 50%?

6. Вычислить:

7. Из треснувшей бочки за 5 часов вытекает 4 литра воды. Сколько воды было в бочке, если она опустела за 7,5 часов?

8. В равнобедренном треугольнике АВС вписан пря­моугольник KLMN. Вершины K и L лежат на стороне ВС, при этом ВК=КС, вершина М лежит на АС, а вершине N – на АВ. Найдите площадь прямоугольника.

9. Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого, соответственно, равны 8 дм и 4 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (BM, MN, CN – дуги с центрами в точках A, O, D). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм² поверхности расходуется 0,03 кг краски?

10. Вершина A параллелограмма АВСD соединена с точкой P на стороне BC. Отрезок AP пересекает диагональ BD в точке M. Площадь треугольника ABM=20, а площадь треугольника BMP=16. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Часть 2.

1.Найти наибольшее значение функции . (10 баллов).

2. Биссектриса угла равнобедренного треугольника пересекает сторону в точке . Найдите углы треугольника , если . (20 баллов).

3. Найти все целые значения параметра а, при которых неравенство

не имеет решений.

(20 баллов).

Ответы.

Часть 1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-7

Sin(b-3a)

Реш. нет

8

1350

0

6

4

0,48

90

Часть 2.

1.Найти наибольшее значение функции .

Решение:

Область определения данной функции состоит из всех действительных значений _. Т.к. _ и квадратный трехчлен _ принимает только положительные значения, т.к. _ и _, то дробь _ при всех _ Значит эта дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя _ при _.

Ясно, что при _ значение _, а это наибольшее значение _. Таким образом, наибольшее значение данной функции равно _.

2.Биссектриса угла равнобедренного треугольника пересекает сторону в точке . Найдите углы треугольника , если .

Решение.

Пусть (рис. 2). Тогда (внешний угол треугольника ). По теореме синусов для треугольника имеем:

.

По теореме синусов для треугольника имеем:

.

Поэтому

.

Так как по условию , то

.

Учитывая, что , получаем

.

Преобразуя, получим

или

.

Так как , то . Следовательно, .

Таким образом, .

3. Найти все целые значения параметра а, при которых неравенство

не имеет решений.

Решение.

1) Найдем область определения неравенства:

.

2) Найдем значения а, при которых - не является решением данного неравенства.

Пусть - решение данного неравенства. Это значит, что , т.е. . Следовательно, при не является решением.

3) Теперь найдем те значения а, при которых не является решением данного неравенства. Это значит, что , т.е. . Следовательно, при не является решением.

4) Найдем те значения а, при которых и и не являются решениями данного неравенства. Это . Целыми значениями, а из полученного интервала является .

Ответ: .

Критерии оценивания.

Каждая работа оценивается и проверяется не менее чем 2-мя членами жюри.

1 часть (5 баллов за каждое задание).

5 баллов ставится за верное решение;

4 балла – за верное решение с недочетом;

2-3 балла – решение в основных чертах верное, но неполное или содержит непринципиальные ошибки;

1 балл – решение в целом неверное, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении;

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

2 часть.

1 задание.

10 баллов – решение верное, даны необходимые пояснения;

5 баллов – идея решения верная, недостаточны пояснения или допущена техническая ошибка;

0 баллов – решение неверное или отсутствует.

2 задание.

20 баллов – решение верное, приведены необходимые пояснения;

15 баллов – решение верное, но нет необходимых пояснений;

10 баллов – идея решения верная, решение доведено до конца, но допущена ошибка в тригонометрических преобразованиях;

5 баллов – нет необходимых пояснений или допущена ошибка, решение не доведено до конца, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении;

0 баллов – решение неверное или отсутствует совсем.

3 задание.

20 баллов – решение верное, приведены необходимые пояснения;

15 баллов – решение доведено до конца, но допущена вычислительная ошибка в ходе решения, незначительно повлиявшая на ответ;

10 баллов – идея решения верная, решение доведено до конца, но неверно найдена ОДЗ (неверно решено одно из неравенств);

5 баллов – идея решения верная, но нет необходимых пояснений или допущена техническая ошибка и решение не доведено до конца;

0 баллов – решение неверное или отсутствует совсем.