Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6»

муниципального образования город Ноябрьск

Профилактика ошибок в старших классах общеобразовательной школы на примере особенностей обучения математике

семиклассников и восьмиклассников

подготовила:

учитель математики

Имьяминова Эльвира Тагировна

г. Ноябрьск

2014

Профилактика ошибок в старших классах общеобразовательной школы

на примере особенностей обучения математике семиклассников и восьмиклассников

В учебнике алгебры 7 класса под редакцией С.А. Теляковского [1] вводится понятие линейного уравнения и подробно рассматривается не только случай (уравнение имеет единственный корень), но и случай (корней нет), и случай (корень – любое число). На выработку навыка решения подобных уравнений (когда корней нет либо их бесконечно много) и получение соответствующих предметных результатов отведено и достаточное количество заданий, и достаточно учебного времени. Этот подход абсолютно оправдан. Однако в силу объективных причин учителя математики ограничивают выработку навыка решения линейного уравнения случаем , в лучшем случае знакомя учеников с оставшимися двумя. Поскольку даже в случае с единственным корнем решение линейного уравнения при является неким полем для всевозможных ошибок, педагоги программируют обучающихся действовать по условной схеме «дели на то, что перед , главное, чтобы не было равно нулю, потому что на ноль делить нельзя!» Такой подход распространён, но ошибочен, ибо здесь априори исключаются случаи , на них просто накладывается табу. Обучающимся и в голову не придёт рассматривать случай , поскольку «на ноль делить нельзя!». Таким образом нарушается логика изучения. Последствия не заставят долго ждать. Любое табу, любое ограничение в математике должно быть строго и логично обосновано. Ученики должны чётко усвоить все три случая, ибо они абсолютно равноценны по важности. Необходимо закреплять знания на примерах, ничуть не ущемляя в важности два оставшихся случая. В будущем такая трудная, но очень важная работа облегчит восприятие темы «Уравнения с параметрами». В учебнике «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы» [2] в параграфе 60 «Уравнения и неравенства с параметрами» при решении уравнения с параметром в случае, когда , указано: «заданное уравнение принимает вид ; это уравнение не имеет корней»; в случае когда – соответственно «заданное уравнение принимает вид ; этому уравнению удовлетворяют любые значения переменной ». Очевидно, что понять решение первого же примера в этой теме обучающимся будет вдвойне сложнее, поскольку наряду с появлением новой переменной, которую называют параметром, им придётся ломать устоявшийся в памяти и сознании стереотип.

С первого класса математика представляется ученикам стройной системой знаний, друг другу не противоречащих и логично вытекающих друг из друга, и каждый год эта система пополняется новыми знаниями и связями, и в этой системе не должно быть «тёмных пятен», недосказанности, непонимания. Всякий вопрос ученика должен быть логично объяснён, либо ему должен быть указан путь, пройдя по которому, он сам найдёт ответ и займётся самообразованием. К примеру, с начальной школы ученикам твердят «на ноль делить нельзя!». Поскольку это правило заучивается как аксиома, им пользуются, но редко кто задаст вопрос «А почему?..». Между тем, ответ на данный вопрос имеет принципиально важное значение. Для обучающихся алгебра – школьный предмет, один из разделов математики. Педагог должен при каждом удобном случае подчёркивать, что алгебра изучает операции над числами и другими математическими объектами, подчёркивая приоритет операций сложения и умножения (в высшей математике есть только две операции – сложение и умножение, операций вычитания и деления нет как таковых). Важно подчёркивать, что любую разность всегда можно представить суммой, любое деление – заменить умножением. Если записать, к примеру, и попытаться найти результат , то это можно понимать как сокращенную форму записи уравнения . То есть необходимо найти такое число, которое при умножении на 0 даст 6. Поскольку при умножении на 0 всегда получается 0, числа, которое при умножении на 0 даст результат, отличный от нуля, просто не существует, а значит, записи  не соответствует никакого конкретного числа, она ничего не обозначает и потому бессмысленна.

Другой вопрос, который задают обучающиеся и который может поставить педагога в тупик: «Почему ?». Доказывается этот факт достаточно просто и понятно: по правилу деления степеней с одинаковыми основаниями , с другой стороны при . Из этих двух равенств и вытекает . Однако, пытаясь найти логику в формуле (чтобы легче запоминалось и это оправданно), обучающиеся пытаются объяснить с помощью определения степени с натуральным показателем, перефразируя которое (на случай нулевого показателя) есть произведение 0 множителей, каждый из которых равен . Тогда у них возникает вопрос – «Почему не ноль?..». Опыт показывает, что к сожалению, не выучив этой формулы, они руководствуются своей «логикой», допуская ошибки. В этом случае учителю остаётся только заострить внимание на этой формуле и время от времени повторять и закреплять.

В 7 классе вводится понятие функции – фундаментальное понятие математики. Однако нарушена логика. Понятие линейной функции вводится позднее, чем понятие прямой пропорциональности, отчего у обучающихся создаётся впечатление, что перечисленные функции существуют отдельно друг от друга. Логичнее рассмотреть общий вид линейной функции, а затем вводить понятие прямой пропорциональности как частный вид линейной.

Отдельное слово стоит сказать о связи геометрии и алгебры. В рамках введения новых стандартов ФГОС наряду с личностными и предметными результатами освоения предмета необходимо стремиться и добиваться метапредметных результатов образовательной деятельности (способы деятельности, применимые как в рамках образовательного процесса, так и при решении проблем в реальных жизненных ситуациях, освоенные обучающимися на базе одного, нескольких или всех учебных предметов [3]). Прекрасно, когда обучающиеся используют на практике знания из смежных наук. На деле же обучающиеся довольно чётко разграничивают даже такие разделы одного предмета как алгебра и геометрия, воспринимая эти разделы математики как абсолютно обособленные, разные, причём алгебра у них чётко соотносится с математикой, а геометрия – нет. В этой связи очень полезным будет постоянно подчёркивать связь понятий геометрии с одноимёнными в курсе алгебры, убеждая, что их смысл ничуть не изменился, что прямая, к примеру, осталась бесконечной и для её построения достаточно двух точек (в пункте 1 параграфа 1 [4] выделено жирным шрифтом «через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну»), что прямые, имеющие общую точку, называются пересекающимися и т.д. Полезно будет также на этих первых уроках повторить, графиком какой функции является прямая и как по формулам, задающим линейные функции, определить, пересекаются их графики или нет. Важно оформлять решение уравнения, полученного в ходе решения геометрической задачи, по тем же правилам, что и на уроках алгебры.

Сложности могут возникнуть, когда понятие одного раздела усвоено, в другом же разделе оно трансформировалось, расширилось и новые знания идут вразрез с прежними. Например, в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна [4] понятие градуса вводится таким образом: «Обычно за единицу измерения углов принимают градус – угол, равный 1/180 части развёрнутого угла», а понятие градусной меры угла – «Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла» и далее «На рисунке… изображён угол…, градусная мера которого равна 150°. Обычно говорят кратко «Угол АОВ равен 150°» – и пишут: ». С этого момента у обучающихся возникнет стойкое убеждение, что угол выражается только положительным числом. В 10 классе им придётся познакомиться с другим определением, например, в учебнике «Алгебра и начала анализа» (автор – А.Г. Мордкович [2]) можно встретить такое определение: «Угол в 1° – это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую 1/360 часть окружности», которое в общем-то легко соотносится с определением, данным на уроке геометрии в 7 классе. Однако ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки, из которой исходит луч, до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные (против часовой стрелки) и отрицательные углы (по часовой стрелке), рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента. Осознание того, что угол может выражаться отрицательным числом, вносит диссонанс в прежние устоявшиеся знания, внося противоречие и вызывая сложности. На педагога в данной ситуации возлагается особая ответственность, поскольку его задачей является максимально корректно расширить понятие угла, подчёркивая справедливость ранее данного определения и подвести к новой информации.

Несмотря на наглядность и простоту понятий, освоение геометрии очень тяжело даётся обучающимся. Нет единых стандартов, по которым бы оформлялось решение геометрической задачи. Каждый педагог выбирает для себя ту модель оформления, которую сочтёт приемлемой и подходящей. Однако одно остаётся незыблемым – логика должна быть чёткой, следствия должны строго соответствовать посылкам и наоборот. И если по чертежу с учётом величин, известных в условии, обучающийся может дать верный ответ, то записать решение, сформулированное им же, он может в очень редких случаях. Казалось бы, – формы контроля знаний зачастую предполагают в качестве результата число и трата времени на оформление решения задачи при такой работе кажется бессмысленной, к тому же некоторые педагоги справедливо полагают, что если логика решения ясна и ответ получен правильный, есть ли необходимость тратить на оформление драгоценные минуты урока или посвятить это время решению ещё нескольких задач?.. Тем не менее, переоценить важность работы, осуществляемой обучающимся, когда он по условию задачи записывает «Дано» и делает чертёж, а затем при помощи учителя пытается с помощью анализа и синтеза получить стройную систему выводов, последний из которых в чёткой и выверенной цепочке даёт искомый ответ, невозможно. Решить и оформить геометрическую задачу очень сложно и не только обучающемуся. Далеко не всякий педагог компетентен настолько, чтобы в соответствии с законами логики правильно оформить решение задачи. Другое дело – эту сложную и кропотливую работу можно периодически перемежать с заданиями, облегчающими в той или иной степени решение геометрических задач. В частности, для самостоятельной работы обучающихся, для организации проверочных работ могут использоваться задачи и упражнения на готовых чертежах, – автор подобного издания справедливо замечает, что на начальном этапе изучения геометрии очень много времени занимает выполнение чертежей и «…ученику зачастую легче решить задачу, чем сделать к ней рисунок. Именно поэтому для отработки навыков решения задач выгодно пользоваться готовыми чертежами. Это значительно увеличивает объём рассматриваемого на уроке материала, повышает его эффективность» [5].

При решении квадратных уравнений в 8 классе рассматриваются три случая в зависимости от знака дискриминанта D: если D > 0, то уравнение имеет два корня, если D = 0, то уравнение имеет один корень и если D < 0, уравнение не имеет корней. Данный подход встречается, в частности, в учебнике Ю.Н. Макарычева [6]. Однако согласно следствию из основной теоремы алгебры любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней с учётом кратности корней (основная теорема алгебры гласит, что всякий отличный от константы многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел).

Таким образом, любое квадратное уравнение при имеет ВСЕГДА два корня: в случае D > 0 это два различных действительных корня, при D = 0 это два совпадающих (одинаковых) или кратных корня и в случае D < 0 – два различных (комплексно-сопряжённых) корня.

Ввиду того, что в среднем звене не вводится понятие комплексного числа, вполне оправданным видится подход к объяснению материала в упомянутом учебнике. Тем не менее в учебниках, предназначенных для классов с углублённым изучением математики, есть глава, посвящённая комплексным числам и даже параграф под названием «Комплексные числа и квадратные уравнения» [7], в котором ситуация с решением описывается так: «Если же D < 0, то мы обычно говорили так: корней у этого уравнения нет (или более точно: квадратное уравнение не имеет действительных корней). Одно из преимуществ комплексных чисел перед действительными числами состоит в том, что во множестве С можно находить корни любых квадратных уравнений». Опытные методисты педагогических вузов советуют придерживаться такого объяснения: корней всегда два – в случае, когда D > 0, это два различных действительных числа, в случае D = 0 корни совпадают, а при D < 0 действительных корней нет. В случае, когда D < 0, совместно с обучающимися делается вывод, что правая часть равенства по знаку отрицательна и можно задать вопрос: «Есть ли среди ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ чисел такие, которые при подстановке вместо дадут верное равенство?». Очевиден ответ «нет», тем более что к этому моменту обучающиеся уже понимают, что все доступные их пониманию числа – действительные и за незнанием других понятия «все числа» и «действительные числа» для них идентичны.

Отметим, что при D = 0 у педагога появляется возможность ввести понятие кратного корня, – эта пропедевтическая работа будет полезным заделом для старших классов. Примечательно, что пробел в знаниях, появляющийся, если следовать логике «квадратное уравнение при D < 0 имеет два корня» и «при D < 0 действительных корней нет», даст стимул к более глубокому изучению темы и, соответственно, к самообразованию. Последний факт имеет принципиальное значение в свете перехода к новым стандартам ФГОС.

Список использованной литературы:

1. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. Теляковского. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 240 с.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 с. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. – 12-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2011. – 400 с.

3. http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=824

4. Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. Учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.

5. Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы. Геометрия. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, – 56 с.

6. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. Теляковского. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 271 с.

7. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. – 9-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2012. – 424 с.