Стереометрия на ЕГЭ по математике

Стереометрия ЕГЭ задачи

Стереометрии в экзаменационных вариантах ЕГЭ по математике посвящены задачи B9 и C2, первые попроще, вторые посложнее. О некоторых методах решения задач C2 можно почитать в статье «Как решать задачи C2 ЕГЭ по математике — советы репетитора». В данной статье мы подробно остановимся на решении задач B9. Причем как репетитор по физике и математике постараюсь построить изложение таким образом, что через решение простых заданий B9 мы будем переходить к решению более сложных задач C2 по стереометрии из ЕГЭ, связанных с теми же пространственными фигурами и величинами. Как всегда материал будем разбирать на конкретных примерах из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с параллелепипедом

Пример 1. Найдите диагональ прямоугольного параллеле-пипеда, если она наклонена к его грани под углом а стороны этой грани равны и

Стереометрическая задача B9 из ЕГЭ по математике

Чертеж к заданию

Решение. Так как — параллелепипед, то $DC\perp BCC_1,$ а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и То есть треугольник — прямоугольный, гипотенузой в нем будет являться искомая диагональ

Из прямоугольного треугольника находим гипотенузу $CB_1=\sqrt{BC^2+BB_1^2} = 5.$ Для прямоугольного треугольника имеем $\cos DB_1C = \frac{CB_1}{DB_1},$ то есть $DB_1 = \frac{5}{\cos 60^0} = 10.$

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и наклонена к плоскости его грани под углом Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное плоскости этой грани.

Показать ответ

Пример 2. Основанием прямого параллелепипеда является ромб , сторона которого равна $4\sqrt{3},$ а угол равен . Найдите расстояние от точки до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно

Стереометрия на ЕГЭ по математике задача C2 с параллелепипедом

Рисунок к заданию с выноской

Решение. Искомое расстояние есть высота треугольника проведенная из вершины Ищем стороны данного треугольника. Ребро $C_1D_1 = 4\sqrt{3}.$ Из прямоугольного треугольника находим $AD_1 = \sqrt{AD^2+DD_1^2} = 4\sqrt{7}.$

Далее $\angle ADC = 180^0-60^0 = 120^0.$ Из теоремы косинусов для треугольника получаем, что $-2\cdot AD\cdot DC\cos\angle ADC,$ откуда Из прямоугольного треугольника находим $AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2} = 4\sqrt{13}.$

Из теоремы косинусов для треугольника получаем, что $D_1C_1^2 = AD_1^2+AC_1^2-2\cdot AD_1\cdot AC_1 \cos\angle D_1AC_1,$ откуда $\cos \angle D_1AC_1 = \frac{17}{2\sqrt{13}\sqrt{7}}.$ Тогда $\sin\angle D_1AC_1 = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{13}\sqrt{7}}.$ Площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2}AD_1\cdot AC_1\sin\angle D_1AC_1 = 20\sqrt{3}.$ С другой стороны $S = \frac{1}{2}AH\cdot C_1D_1 = 2\sqrt{3}\cdot AH.$ Следовательно,

Здесь мы воспользовались приемом сведения задачи по стереометрии из ЕГЭ к задаче по планиметрии. Как видите, в данном случае такой способ решения нельзя назвать наиболее рациональным. И все же он не лишен права на существование. Подробнее о решении планиметрических задач из ЕГЭ по математике читайте в статье «Решение задач C4».

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №2. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник боковая сторона которого равна $6\sqrt{3},$ а угол равен Найдите расстояние от точки до прямой если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с пирамидой

Пример 3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом Найдите боковое ребро пирамиды.

Чертеж к задаче B9 по стереометрии из ЕГЭ по математике

Чертеж к заданию

Решение. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания есть угол между этим боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, то есть угол где — перпендикуляр из вершины на плоскость (высота пирамиды). Для прямоугольного треугольника имеем $\sin\angle SDO = \frac{SO}{SD},$ откуда $SD = \frac{4}{\sin 30^0} = 8.$

Задача для самостоятельного решения №3. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6. Боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Показать ответ

Пример 4. В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной сторона основания равна высота Найдите расстояние от вершины до грани

Задача по стереометрии с правильной пирамидой

Чертеж к задаче

Решение. лежит в плоскости в этой плоскости не лежит и параллельна следовательно, параллельна Ищем расстояние из точки (середины ), оно будет равно искомому расстоянию из точки что следует из доказанного выше.

Точка находится в центре основания поскольку пирамида правильная. То есть $KH = \frac{1}{2}KL = 1,5.$ Из прямоугольного треугольника находим $PL = \sqrt{HL^2+PH^2} = 2,5.$ Площадь треугольника с одной стороны есть $S = \frac{1}{2}KL\cdot PH = 3,$ а с другой стороны $S = \frac{1}{2}PL\cdot KO = \frac{5}{4}KO.$ Сравнивая полученные результаты, получаем, что $KO = \frac{12}{5}.$

Ответ: $\frac{12}{5}.$

Задача для самостоятельного решения №4. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра которой равны найдите расстояние между прямыми и

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные c цилиндром

Пример 5. Радиус основания цилиндра равен Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, если она наклонена к плоскости основания цилиндра под углом

Цилиндр с осевым сечением задача по стереометрии

Чертеж к задаче

Решение. Искомую диагональ ищем из прямоугольного треугольника По определению косинуса получаем: $\cos 60^0=\frac{BC}{AC},$ откуда находим $AC = \frac{BC}{\cos 60^0}=\frac{3+3}{0,5}=12.$

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №5. Образующая цилиндра равна Диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания цилиндра под углом Найдите радиус основания цилиндра.

Показать ответ

Пример 6. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен .

Наибольшая площадь сечения цилиндра задача по стереометрии

На рисунке r — радиус основания, l — образующая цилиндра

Решение. Из рисунка видно, что периметр осевого сечения цилиндра определяется по формуле: или, что тоже самое, Площадь осевого сечения равна с учетом получаем

Полученное выражение представляет собой квадратичную функцию от переменной . Наибольшее значение она принимает в вершине соответствующей параболы, то есть в точке $r = \frac{p}{4}.$ При этом образующая цилиндра равна $l=\frac{p}{2}.$

Ответ: $\frac{p}{2}$ или $\frac{p}{4}.$

Задача для самостоятельного решения №6. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с конусом

Пример 7. Диаметр основания конуса равен Образующая наклонена к плоскости основания под углом Найдите образующую конуса.

Чертеж к задаче по стереометрии с конусом

Рисунок к задаче

Решение. На рисунке треугольник - равносторонний, поэтому искомая образующая равна 6.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №7. Образующая конуса равна и наклонена к плоскости основания под углом Найти радиус основания конуса.

Показать ответ

Пример 8. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой

Конус и развертка его боковой поверхности стереометрия

Конус и развертка его боковой поверхности

Решение. Длина дуги сектора, образованного разверткой боковой поверхности конуса, равна с одной стороны $\frac{3}{4}\cdot 2\pi l = \frac{3}{2}\pi,$ а с другой — $2\pi r$ — длина окружности основания конуса. Откуда получаем, что $\frac{r}{l} = \frac{3}{4}.$ Но это же отношение есть синус угла между образующей и высотой конуса. Итак, искомый угол есть $\operatorname{arcsin}\frac{3}{4}.$

Ответ: $\operatorname{arcsin}\frac{3}{4}.$

Задача для самостоятельного решения №8. Высота конуса равна а радиус основания равен Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные со сферой

Пример 9. Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен и образующая равна

Цилиндр вписанный в сферу стереометрия на ЕГЭ

Осевое сечение описанной в задаче системы

Решение. тогда из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим $BO=\sqrt{OH^2+HB^2} = 5.$

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №9. Найдите диаметр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны

Показать ответ

Пример 10. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со стороной Каждое ребро пирамиды составляет с основанием угол $\beta.$ Найдите площадь поверхности и объем шара.

Четырехугольная пирамида вписанная в сферу стереометрическая задача

Иллюстрация к задаче

Решение. Из условия, что каждое ребро пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник, составляет с этим основанием один и тот же угол, с необходимостью следует, что этот прямоугольник является квадратом (докажите самостоятельно). Тогда $DB = 10\sqrt{2}.$ Из прямоугольного треугольника находим $SB = \frac{HB}{\cos \beta},$ то есть $SB = \frac{5\sqrt{2}}{\cos \beta}.$

Пусть радиус сферы тогда треугольник вписан в окружность радиуса который находим из теоремы синусов: $\frac{SD}{\sin\beta} = 2R,$ откуда $R = \frac{5\sqrt{2}}{\sin 2\beta}.$ Тогда площадь поверхности сферы равна $\frac{200\pi}{\sin^2 2\beta},$ а объем шара $\frac{1000\sqrt{2}\pi}{3\sin ^3 2\beta}.$

Ответ: $\frac{200\pi}{\sin^2 2\beta},\, \frac{1000\sqrt{2}\pi}{3\sin ^3 2\beta}.$

Задача для самостоятельного решения №10. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом $\alpha$ при основании вписан шар объема Найдите объем пирамиды.

Показать ответ

Итак, подведем итог. Что нужно для успешного решения задач постереометрии из ЕГЭ?

знание основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур;
умение проводить дополнительные построение и доказательства верности этих построений;
верно выполнять арифметические преобразования численных и буквенных выражений.

До экзамена осталось совсем мало времени и использовать его нужно максимально эффективно. К примеру, тренируйтесь в выполнении заданий, которые вызывают наибольшие затруднения. Помните, от того насколько хорошо вы сдадите выпускные экзамены в какой-то мере зависит ваша дальнейшая жизнь. Успехов вам!

Листать вверх Листать вниз

Получить код

Скачать материал (0.67 Мб)

Нравится материал? Поддержи автора!

Ещё документы из категории математика:

Тесты по математике 4 Класс

Конспект открытого урока по математике «Сложение с числом 0» 1 Класс

КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА МАТЕМАТИКИ НА ТЕМУ «ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ» 3 Класс

КОНКУРС «Математика и труд в жизни рядышком идут»

КВМ внеурочное занятие по математике

Тема: Сложение и вычитание двузначных чисел 2 Класс

Доклад на тему: «Мультимедийное сопровождение на уроках математики»