Цифра- знак служащий для обозначения чисел.

Натуральными называются числа, используемые для счета.

Нуль не является натуральным числом.

Натуральные числа, записанные одной цифрой, называются однозначными, а записанные несколькими цифрами – многозначными: двумя – двузначные, тремя – трехзначными и т.д.

Совокупность правил служащих для наименования и обозначения чисел, называется системой счисления,  или нумерацией.

В системе, которую мы изложили, особо важное значение имеет число 10, и поэтому наша система носит название десятичной системы счисления (нумерации). Напишем число 285 468 с указанием возле каждой цифры места, занимаемого ею в этом числе:

Десятичную систему счислении (записи) натуральных чисел называют позиционной.

Из двух натуральных чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее (дальше от начала).

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или дух цифр) Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Первый класс справа называют классом единиц, второй – классом тысяч, третий – классом миллионов, четвертый – классом миллиардов и т.д.

Каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых.

45673=40000+5000+600+70+3

Чтобы прочитать число, называют слева по очереди число единиц каждого класса и добавляют название класса. Не произносят название класса единиц, а также класса, все цифры которого – нули.

Координатный луч.

Деления и числа на приборах образуют шкалу, которая помогает определять значения измеряемой величины.

Шкала: линейка с делениями в различных измерительных приборах. Шкала термометра; ряд величин, цифр в восходящем или нисходящем порядке. Шкала температуры больного. Шкала заболеваний. Шкала заработной платы.

Каждое деление шкалы соответствует одному единичному отрезку.

Единичным называется отрезок, длина которого принята за единицу измерения (1 см, 1 мм, 1 попугай, 1 стол, 1 минута и т.д.).

Нарисуем горизонтальную прямую x, выберем на ней точку O и назовём её началом отсчёта, выберем на этой прямой направление (обычно слева направо) и единичный отрезок (то есть отрезок, длина которого по определению равна 1 (см. рисунок). Говорят, что,задана координатная прямая. Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие одну и только одну точку.

Координатой точки А называют число, показывающее расстояние от начала отсчета до точки А.

Метрические меры длины:

километр (км) = 1 000 метрам,

метр (м) = 10   дециметрам = 100 сантиметрам,

дециметр (дм) = 10 сантиметрам,

сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм).

Меры веса.

1 грамм (г) = 100 миллиграммам,

1 килограмм (кг) = 1 000 граммам,

1 центнер (ц) = 100 килограммам,

1 тонна (т) = 1 000 килограммам.

Высказывание – мысль, выраженная повествовательным предложением. Высказывания бывают истинные и ложные.

Определениями называются такие предложения, в которых разъясняется значения новых слов.

Величинами называются такие понятия как: длина, ширина, площадь, объём, масс, время, скорость и т.д. Величина есть результат измерения.

Постоянными величинами называются такие величины которые никогда не меняют своего числового выражения: килограмм (кг), час (ч), год, секунда (сек.), метр (м) и т.д.

Переменной величиной называется такая величина, которая может принимать бесконечное число различных значений (либо с течением времени , либо в зависимости от других, изменяющихся величин или обстоятельств).

Выражениями называются числа, буквы, скобки, соединенные между собой знаками арифметических действий.

Выражения бывают: числовые и буквенные.

Значением выражения называют число, которое получится, если в числовом выражении произвести все указанные действия.

Упростить выражение, значит, выбрав удобный способ, произвести все указанные действия.

Умножение.

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3+ 3 + 3 = 30.

Если число 3 нужно повторить слагаемым 10 раз, то пишут: 3  10 = 30.

Следовательно, умножение это действие, состоящее в нахождении суммы одинаковых слагаемых.

Умножением называется сумма n слагаемых каждое из которых равно а.

Действие умножения всегда возможно и при данных сомножителях даёт единственный результат.

Если множитель равно единице (1), то произведение равно множителю

(1 • 6 = 6; так как 1 + 1 + 1 +  1 + 1 + 1=6).

Если множитель равен единице, то произведение принимается равным другому множителю (7 • 1 = 7).

Если множитель равен нулю (0), то произведение  равно нулю (0 • 5 = 0, так как 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0).

Если множитель равен нулю (0), то произведение принимается равным нулю (5•0 = 0).

Деление.

Делением называется действие, посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается другой сомножитель.

Если а = b • с   , то  b = а : с

Если делимое равно делителю, то частное равно единице (9:9= 1).

Если делитель равен единице (1), то частное равно делимому (12 : 1 = 12).

Деление на нуль (0) невозможно.

Сложение, вычитание и умножение натуральных чисел обладают следующими свойствами и законами.

a – (b + c) = (a – b) – c  или  a – (b + c )= (a – с) – в (правило вычитания суммы из числа).

Чтобы из числа вычесть сумму, нужно из этого числа вычесть одно слагаемое , а потом из полученной разности другое слагаемое.

(a + b) – c = a – с + b или (a + b) – c = a – b + c (правило вычитания числа из суммы)

Чтобы из суммы вычесть число, можно из любого слагаемого вычесть это число, а потом прибавить второе слагаемое.

a + b = b + a (переместительный закон сложения).

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).

В сумме нескольких слагаемых, слагаемые можно менять местами и заключать в скобки любым образом.

а + 0 = а (свойство нуля при сложении)

Если к числу прибавить нуль, то получим тоже самое число.

0 + а = а; (свойство нуля при сложении)

Если к нулю прибавить число, то получим тоже самое число.

а – 0 = а; (свойство нуля при вычитании)

Если от числа вычесть нуль, то получим тоже самое число.

а – а = 0; (свойство нуля при вычитании)

Если из числа вычесть тоже самое число, то получим нуль.

ab = ba (переместительный закон умножения).

От перемены мест множителей произведение не меняется.

(ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).

В произведении нескольких множителей, множители можно менять местами и заключать в скобки любым образом.

a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

Чтобы сумму умножить на число, необходимо каждое слагаемое умножить на это число, затем полученные произведения сложить.

a(b - c) = ab - ac (распределительный закон умножения относительно вычитания).

Чтобы умножить разность на число, достаточно умножить на это число, отдельно уменьшаемое и вычитаемое и затем из первого произведения вычесть второе.

(а + b) : с = а : с + b : с (свойство деления суммы на число)

(4 + 6) : 2 = 4 : 2 + 6 : 2 = 2 + 3 = 5.

Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить. (Предполагается, что все деления выполняются без остатка.)

(а – b) : с = а : с – b : с (свойство деления разности на число)

(18 – 6) : 3 =18:3 – 6 : 3 = 6 – 2 = 4.

Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, достаточно отдельно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе. (Предполагается, что и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на это число без остатка.)

Равенством называют высказывание, в записи которого присутствует знак « = ».

Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.

Корнем уравнения называют значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство.

Решить уравнение, значит, найти его корни или доказать что их нет.

Формула деления с остатком

При делении числа а на число b устанавливается, сколько раз по b содержится в а:

Если получилось с откладываний и осталось r единиц (r < b), то а = b • c + r. Это равенство называют формулой деления с остатком. В нём показана взаимосвязь между делимым, делителем, частным и остатком:

Итак, при делении с остатком делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток (остаток меньше делителя).

Задача.

Некоторое число разделили на 8. Получилось частное 6 и остаток 3. Найти делимое.

Решение:

b = 8, с = 6, r = 3, Надо найти а. По формуле деления с остатком имеем:

а = b • с + r = 8 • 6 + 3 = 51.

Порядок выполнения совместных действий. Скобки.

Рассмотренные нами четыре действия — сложение, вычитание, умножение и деление — принято делить на две ступени. Первые два действия, т. е. сложение и вычитание, называются действиями первой ступени, а последние два, т. е. умножение и деление, — действиями второй ступени. В каждой ступени, следовательно, имеется одно прямое и одно обратное ему действие.

Мы будем называть арифметическим выражением всякую совокупность чисел и знаков, указывающих, какие действия над этими числами нужно произвести.

Если в выражении встречаются только действия первой ступени, то их принято выполнять в том порядке, в каком они написаны слева направо.

23 + 12— 5 = 35 — 5 = 30; 38— 18 + 11 = 20 + 11 = 31.

Если в выражении встречаются только действия второй ступени, то их принято выполнять в том порядке, в каком они написаны, слева направо. Например:

60 24 : 8 = 1 440 : 8 = 180; 100 : 5  6 = 20  6 = 120.

Если в выражении встречаются действия и первой, и второй ступени, то сначала принято выполнять действия второй ступени, а потом первой.

1)  80  20 + 10 = 1 600 + 10 = 1 610,

2)  90 + 60 : 4 = 90 + 15 = 105.           

Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками.

Например: (15 + 10)  4 — (27 — 9) : 3 = 25  4 — 18 : 3 = 100 — 6 = 94.

Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их число.