Урок по математике в 9 классе

Статистика, теория вероятностей и их прикладное применение

Автор: учитель математики

МОУ СОШ№ 66 им. Н. И. Вавилова г. Саратова

М. Н. Крухмалева

Цель урока: закрепить, обобщить и проконтролировать уровень усвоения материала по темам: «Статистические характеристики величин», «Элементы комбинаторики», «Простейшие задачи по теории вероятностей»

• Задачи урока:

Личностные:

• воспитание познавательной активности, интереса к предмету;

• воспитание дисциплинированности;

• контроль за ТБ, правильностью посадки за ПК.

Метапредметные:

• вырабатывать умения анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать.

• совершенствовать навыки самостоятельной работы;

• развивать внимание, наблюдательность, память, логическое мышление.

Предметные:

• формировать представления о возможностях описания и обработки данных с помощью различных средних;

• продолжить знакомить учащихся с вычислениями вероятности случайного события с помощью классической формулы вероятности;

• продолжить изучение методов решения комбинаторных задач;

• формировать умения решать комбинаторные задачи.

Тип урока: урок-тренинг закрепления знаний в рамках подготовки к государственной итоговой аттестации.

Ход урока:

1. Организационный момент. (3 минуты)

- Здравствуйте, садитесь.

Знаменитый венгерский математик Д. Пойа сказал: "Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия".

- Мы хотим пожелать вам сегодня каждому сделать своё маленькое открытие. Проверим, готовы ли мы к этому. Начнем урок с повторения по материалам ГИА.

II. Повторение основных понятий -7минут (игра «да-нетка»).

• Статистические характеристики – это математические понятия, с помощью которых описываются отличительные особенности и свойства совокупности данных, полученных с помощью наблюдений или каким-то другим способом. Значение характеристик состоит еще и в том, что они «подсказывают», с каких позиций целесообразно анализировать имеющуюся совокупность данных.

• К статистическим характеристикам относятся: среднее арифметическое, размах, мода, медиана.

• Среднее арифметическое n чисел – это частное от деления на n суммы всех этих чисел. 

• Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим числом в ряде. 

• Мода ряда чисел – это число, наиболее часто встречающееся в ряду.

• Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (по возрастанию или убыванию). 

• Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда, если этот ряд упорядочить (по возрастанию или убыванию).

• Статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана называются средние результатов измерений.

• Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A;

III. Закрепление, тренировка. (10 минут)

Итак, вашему вниманию предлагается 5 задач, в оценочный лист вы вписываете ответы. За каждый верный ответ начисляется 1 балл.

1. Садовник весной посадил 140 семян цветов, из которых-13 не взошли. Какова вероятность того, что цветочное семечко взойдёт?

2. Провели несколько измерений случайной величины:4,4; 4,2; 3,8; 6; 6,4; 5,4; 3,4;3,8.Найдите моду этого набора чисел.

3. Провели несколько измерений случайной величины:3 400; 2 500; 1800;2 200; 3 900; 900; 200; 1 600; 600.Найдите среднее арифметическое этого набора чисел.

4. Провели несколько измерений случайной величины:50; 75; 30; 115; 85; 120; 120;75;60; 70.Найдите медиану этого набора чисел.

5. Процент бракованной продукции завода за 8 дней:1,4 ;.1,8 ; 1,1; 2; 4,7; 1 ; 2 ; 2. Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора чисел.

- Поменяемся рабочими листами и, проверив ответы, выставим друг другу оценки.

IV. Физкультминутка (5 минут)

– Сейчас проверим, насколько вы разбираетесь в классификации событий. Проведем подвижную паузу в виде викторины.
Оригинальная подвижная викторина: Оцените возможность наступления событий, используя для этого следующие действия: «достоверное событие» (все сидят и не встают), «случайное событие» (поднять руку), «невозможное событие» (должны встать).

1. «завтра будет хорошая погода». (случайное)
2. «в январе в городе пойдет снег». (достоверное)
3. «в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце». (случайное)
4. «на день рождения вам подарят говорящего крокодила». (невозможное)
5. «круглая отличница получит двойку». (случайное)
6. «камень, брошенный в воду утонет». (достоверное)
7. «вы выходите на улицу, а навстречу идет слон». (невозможное)
8. «вас пригласят лететь на Луну». (случайное)
9. «черепаха научится говорить». (невозможное)
10. «выпадет желтый снег». (случайное)
11: «вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее». (невозможное)
12: «после четверга будет пятница». (достоверное)

V. Работа у доски. (5-7 минут)

– На протяжении нескольких уроков, мы с вами решали разнообразные задачи по теории вероятностей и математической статистике. Сегодня мы подведем итог нашей работы и посмотрим, а где же может нам пригодиться знание этих понятий в жизни.

Задача 1. По статистике на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку? Ответ: 0,997

Задача 2.  В классе 30 человек. Вероятность того, что при случайном выборе одного ученика по номеру в журнале выбранным окажется мальчик, равна 1/3. Сколько в этом классе девочек?

Задача 3. Известно, что среди 1000 выпущенных лотерейных билетов 100 выигрышных. Какое наименьшее количество билетов надо купить, чтобы выиграть с вероятностью, равной 1? Ответ: 901 билет.

Задача 4. Из кошелька в темноте вынимали монетку. Известно, что то, что вытащена будет рублевая монета, являлось достоверным событием. Однако, этот же исход при повторной попытке оказался невозможным. сколько и каких монет было в кошельке? Ответ: одна монета, рублевая.

Задача 5. Известно, что «о» – самая распространенная гласная в русском языке. Прочитайте отрывок из петербургской повести А.С. Пушкина «Медный всадник»:

• На берегу пустынных волн
  Стоял он, дум великих полн,
  И вдаль глядел. Пред ним широко
  Река неслася; бедный челн
  По ней стремился одиноко.
  По мшистым, топким берегам
  Чернели избы здесь и там,
  Приют убогого чухонца;

И лес, неведомый лучам
В тумане спрятанного солнца,

Кругом шумел.
И думал он:
Отсель грозить мы будем шведу,
Здесь будет город заложен
Назло надменному соседу.
Природой здесь нам суждено
В Европу  прорубить окно, 
Ногою твердой встать при море.
Сюда по новым им волнам
Все флаги в гости будут к нам, 
И запируем на просторе.

а) Подтверждает ли этот отрывок правильность утверждения, приведенного в условии задачи?

б) Сравните относительные частоты гласный «у» и «и» в стихотворении.

Решение. а) Для каждой гласной подсчитаем, сколько раз она встречается в тексте.

Гласная а я у ю о ё ы и э е

Частота 3 5 21 3 47 2 8 24 0 35

Из таблицы видно, что гласная «о» действительно встречается в тексте чаще, чем любая другая гласная.

б) Всего в стихотворении 23 + 5 + 47 + 2 + 21 + 3 + 8 + 24 + 0 + 35 = 168 гласных.
Относительная частота буквы «у» равны 21:168, относительная частота буквы «и» – 24 : 168. следовательно, относительная частота буквы «и» больше.

VI. Отработка на примерах заданий ГИА (5 минут)

Пример 1. На экзамене по информатике в 9 классе – 20 билетов. Сергей не разобрался в одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Сергею достанется несчастливый билет?

Решение: Всего у данного эксперимента «вытянуть наугад один билет» 20 исходов, все они равновероятны. У Сергея только один шанс из 20 вытянуть несчастливый билет. Поэтому вероятность того, что ему достанется несчастливый билет, равна . Ответ: .

Пример 2. В лотерее 10 выигрышных билетов и 240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет?

Решение: В лотерее разыгрывается всего 240 + 10 = 250 билетов, любой из них можно купить с одинаково вероятностью. Есть 10 шансов из 250 выиграть, и, следовательно, вероятность выигрыша равна . Ответ: 

Задача 1. В вазочке перемешаны 15 конфет «Чародейка» и 5 конфет «Белочка». Когда из-за аварии погас свет, Маша наугад схватила одну конфету. Какова вероятность, что ей досталась «Белочка»? Ответ: .

Задача 2. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется:

1) четным;
2) меньшим 12? Ответ: 1) 1/2; 2) 1/45 .

VII. Домашнее задание

– Посмотрите на карточки с домашней работой (Приложение ). Все задания нужно сдать не позднее указанной даты, оформить их на отдельных листах в клетку. Если будут вопросы, то обращайтесь за консультацией после уроков.

VIII. Kонтроль знаний. Проверочная работа (по вариантам) 10минут

на "3" Вариант 1.

1. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11,11,-1.

2. Группу детского сада (20 человек) ведут на прогулку. Сколько существует способов поставить детей в пары в колонне?

3. Костя сдает экзамен по биологии. Ему нужно выучить 21 билет. Он знает 11 билетов, а два только прочитал. Какова вероятность того, что на экзамене он вытащит билет, который даже не читал? на экзамене он вытащит билет, который даже не читал?

На «4» Вариант 2.

1. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 15,4,12,-3,15.

2. В отряде 25 бойцов. Двоих надо отправить в разведку. Сколько существует вариантов это сделать?

3. Наташа выучила 12 билетов по информатике из 20. На три билета у неё нет ответов. Какова вероятность, что на экзамене по информатике ей попадется билет, которого она не знает?

4. В лотерее 10 выигрышных билетов и 240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет?

На «5» Вариант 3

1.Сколькими способами можно выбрать 6 разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?

2.Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

3.Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

4.Сколько существует различных вариантов шифра замка, если код состоит из трех цифр.

5. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

IХ.Подведение итогов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Лист самооценки

Вопрос

да

нет

Не всегда

Все ли определения я знаю

Все ли определения я понимаю

Умею ли я решать задачи по статистике

Умею ли я решать задачи по теории вероятностей

Был ли урок полезен для меня

Домашнее задание: Решить предложенные задания, указав правило (формулу или определение), по которым они выполнены. Работу оформить на отдельном листке в клетку и сдать до 15.04.

№1. Поэт – модернист написал стихотворение, в котором первая строка «Хочу пойти гулять куда-нибудь», а остальные строки все разные получены из первой строки перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении? Напишите эти строки.

№ 2. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры четные?

№3. Сколькими способами могут быть присуждены 1-я, 2-я и 3-я премии трем лицам, если число соревнующихся равно 10?

№4. В 9 классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

№5. В лотереи 10 выигрышных билетов и240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет?

№6. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

№7. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

№8. Вероятность того, что день будет ясным, р = 0,875. Найти вероятность g того, что день будет облачным.

Литература:

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков Алгебра-9: учебник для общеобразовательных учреждений; под редакцией С.А. Теляковского.- 16 изд. - М.: Просвещение, 2009. - 271с.

2. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2007.- 78с.

3. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: доп. параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. – 3-е изд. – М.: Мнемозина, 2005. – 112 с.

4.ГИА 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/ А.Л. Семенов, И.В. Ященко, и др.- М.: изд. "Экзамен", изд. МЦНМО,2013 - 399с.

5. Алгебра. 9 класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации – 2013. Учебно-тренировочные тесты. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012. – 112 с.