Задачи на распознавание в начальном курсе математики и обучение младших школьников их решению.

Любая учебная дисциплина включает в себя систему взаимосвязанных понятий, поэтому качество ее усвоения зависит от сформированности понятий, изучаемых в этой дисциплине.

О сформированности понятия можно говорить только в том случае, когда учащийся не просто воспроизводит определение понятия, но и может распознать определяемый объект и отнести его к тому или иному понятию, а также воспроизвести множество объектов, составляющих объем данного понятия. Другими словами, критерием сформированности понятия является умение решать задачи на распознавание, т. е. задачи, в которых требуется определить принадлежит ли объему данного понятия тот или иной объект или не принадлежит. Поэтому более точно их следует называть задачами на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия. В психологии эти задачи часто называют задачами на подведение под понятие. В данной статье мы будем использовать термин «задачи на распознавание».

Приведем примеры таких задач:

а) «Выпиши в один столбик равенства, а в другой – неравенства.

3-1=2 5-1<5 3+1>2

4-1>1 4+1=5 1+1=2» [4, с.40].

б) «Покажи «лишнее» число:

83, 54, 49, 100, 32, 23, 94.

Знаешь ли ты, как оно называется?» [1, с.99].

в) «Все треугольники раскрась желтым карандашом, а четырехугольники – синим. Что получилось?»[5, с.19].

Решение задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия основывается, как правило, на определении этого понятия через род и видовое отличие. Если определение содержит одно видовое свойство, то распознавание проводится по алгоритму:

1. Проверяем, принадлежит ли объект объему родового понятия.

2. Если окажется, что не принадлежит, то проверку прекращаем и делаем вывод, что объект не принадлежит объему понятия.

3. Если объект принадлежит объему родового понятия, то продолжаем проверку и выясняем, обладает ли объект видовым свойством .

4. Если объект обладает этим свойством, то делаем вывод о его принадлежности к объему видового понятия.

5. Если окажется, что объект этим свойством не обладает, то делаем вывод, что объект не принадлежит объему видового понятия[6].

Рассмотрим, например, задание №8 с.8 из учебника М. И. Моро и др. «Математика 3 класс». В нем надо найти (распознать) уравнения среди следующих записей и решить их:

1) 34+х; 2)78-25=53; 3)х+3>2;

4)16+d=29; 5)х+6=54; 6)х-19. [3, с.8]

Воспользуемся определением уравнения, которое чаще всего рассматривается в начальном обучении математике: «Уравнением называется равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой». В нем родовым для уравнения является понятие «равенство», а видовым отличием – «содержать неизвестное число, обозначенное буквой». Используя описанный выше алгоритм, получаем:

Запись 1) не является равенством. Следовательно, она не является уравнением.

Запись 2) - это равенство, но в нем нет неизвестного числа. Следовательно, она не является уравнением.

Запись 3) не является равенством. Следовательно, она не является уравнением.

Запись 4) - это равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой d. Следовательно, это уравнение.

Запись 5) - это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой х. Следовательно, это уравнение.

Запись 6) не является равенством. Следовательно, она не является уравнением.

Напомним, что так решают задачи на распознавание, если в определении имеется одно видовое свойство. Если же видовое отличие состоит из нескольких свойств, находящихся в конъюнктивной связи, объект принадлежит объему данного понятия, если он обладает всеми свойствами, включенными в видовое отличие. Если же связь между свойствами видового отличия дизъюнктивная, то объект принадлежит объему данного понятия, когда обладает хотя бы одним из свойств.

Выше было отмечено, что умение решать задачи на распознавание – это показатель уровня сформированности понятия. Поэтому такие задачи часто включают в самостоятельные и контрольные работы. Но не менее значительна роль задач на распознавание и в формировании у школьников умений строить дедуктивные рассуждения. Действительно, если проанализировать рассуждение «Запись х-3=14 – это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой х. Следовательно, это уравнение», то можно увидеть, что выполнено по правилу заключения и, следовательно, является дедуктивным. В качестве общей посылки в нем выступает определение уравнения, частной посылкой служит утверждение «х-3=14 – это равенство, в котором есть неизвестное число», а заключение – это утверждение «запись х-3=15 является уравнением».

Однако, практика обучения младших школьников математике показывает, что они испытывают значительные затруднения при решении задач на распознавание. Например, при решении задач на распознавание уравнений в третьем экспериментальном классе из 28 учащихся, выполнявших работу, 26 человек (93% учащихся) с задачами справились. В то время как в контрольном классе из 27 человек, выполнявших работу, справившихся с задачами на распознавание оказалось лишь 13 учеников (48% учащихся). В чем причина такого положения? Ответить на этот вопрос можно, если проанализировать те учебные действия, которые должен выполнять учащийся, решая задачу на распознавание.

Рассмотрим сначала те действия, которые должен выполнить школьник, решая задачу на распознавание в случае, если ему известно определение понятия. Пусть ему надо среди фигур указать прямоугольники.

1 2 3 4

Чтобы решить эту задачу, учащемуся надо знать определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые» и уметь выделить в нем родовое понятие (четырехугольник) и видовое отличие («иметь все углы прямые»). А затем, рассматривая каждую фигуру, строить рассуждения согласно ранее приведенному алгоритму.

Геометрическая фигура 1 – четырехугольник, так как имеет 4 угла, но у нее только 2 угла – прямые, а 2 угла прямыми не являются (в этом можно убедиться с помощью модели прямого угла). Или иначе: в этом четырехугольнике есть углы, которые не являются прямыми. Следовательно, фигура 1 прямоугольником не является.

Геометрическая фигура 2 – четырехугольник, так как имеет 4 угла и у нее все углы прямые. Следовательно, фигура 2 – прямоугольник.

Геометрическая фигура 3 – четырехугольник, так как имеет 4 угла и у нее все углы прямые. Следовательно, фигура 3 – прямоугольник.

Геометрическая фигура 4 четырехугольником не является, так как у нее 5 углов. Следовательно, фигура 4 не прямоугольник.

Анализ ошибок, допускаемых школьниками при решении данной задачи и ей аналогичных, показывает, что они:

а) плохо понимают, как устроено определение и, следовательно, не выделяют в его формулировке родовое понятие и видовое отличие, что приводит, например, к ошибкам в определении вида фигур 3 и 4;

б) не видят в формулировке видового свойства слова «все» (все углы прямые), что приводит к ошибкам в определении вида фигур 1 и 4;

в) не понимают, что в определение понятия включаются только существенные свойства определяемого объекта, что приводит к тому, что фигуру 3 учащиеся прямоугольником часто не считают.

Чтобы предупредить такие ошибки, необходимо при введении определения того или иного понятия не только обращать внимание на его структуру, но и выполнять соответствующие упражнения.

Другая, не менее сложная проблема при обучении младших школьников решению задач на распознавание, возникает в связи с тем, что в начальном курсе математики при определении понятий используются не определения через род и видовое отличие, а приемы, их заменяющие. Это остенсивные и контекстуальные определения; определения через сравнение. Приведем примеры таких определений:

а) «Равенства: Неравенства:

4=4 4>3

4+1=5 4-1<4» [4, с.40].

б) «Расскажи, как разделили конфеты. Объясни, что обозначает каждое число в равенствах, записанных под рисунками. Для записи деления в математике используют знак :

12:6=2 12:2=6

12:3=4 12:4=3» [2, с.42].

в) «Классная доска висит на стене. Можно сказать, что площадь классной доски меньше, чем площадь стены.

Ковер лежит на полу и полностью его закрывает. Площадь ковра и площадь пола равны.

Площадь четырехугольника больше, чем площадь треугольника. Это видно на глаз.

Сравнить площади круга и квадрата на глаз трудно. В таком случае используют способ наложения фигур.

Круг весь поместился внутри квадрата. Значит, площадь круга …, чем площадь квадрата, а площадь квадрата …, чем площадь круга.» [3, с.50]

Чтобы воспользоваться такими определениями понятий при решении задач на распознавание, необходимо хорошо знать свойства понятий. Формирование у школьников умения выделять в объектах (предметах, явлениях) свойства начинается с первых дней их обучения в школе. И связано оно с такими приемами учебной деятельности, как наблюдение, анализ, сравнение, абстрагирование, синтез, обобщение. Кроме того, целенаправленно формируется умение отличать в объектах существенные свойства (с точки зрения понятия, которое рассматривается) от свойств несущественных, а также понимание того, чем отличается необходимое свойство от достаточного.

Например, при распознавании числовых выражений (понятие числового выражения определяется в начальном курсе математики остенсивно) школьник должен воспользоваться такими их свойствами:

- числовые выражения образуются из чисел, знаков действий и скобок;

- не всякая запись из чисел, знаков действий и скобок является выражением, а только такая, с числами которой можно выполнять действия;

- в записи числового выражения не должно быть знаков =, <, > .

Если учащийся знает эти свойства, он справится, например, с такой задачей: «Какие из следующих записей являются числовыми выражениями:

1) 2·7-(5+3); 2) 2·7-+5; 3) 2·7-5=6+3;

4) 3+7))-8; 5) 12:4>5-4 ?»

Н. Ф. Талызина считает, что при распознавании предъявляемых предметов ребенок каждый раз анализирует их с точки зрения наличия или отсутствия у них определенных признаков, которые он и выделяет в предмете. При этом учащийся совершает целую систему действий, которым он был обучен ранее и которые теперь выступают как его умение учиться, как уже готовые познавательные средства. Выведенные существенные признаки задают ребенку как бы точку зрения на предмет. И он, активно действуя с этим предметом, распознает его как принадлежащий (или не принадлежащий) к данному классу предметов. Постепенно, переходя от материальных действий к перцептивным, затем речевым, учащийся овладевает умением абстрагировать данную систему свойств, выделять их из всего множества свойств предмета. У него постепенно формируется определенный образ предметов данного класса. В конце усвоения учащийся уже как бы непосредственно видит, относится или не относится предъявленный предмет к данному классу. Учащемуся становится не нужно последовательно проверять наличие существенных признаков: он их видит одновременно. Это говорит о том, что у ученика уже сформировалось понятие как целостный образ предметов данного класса. Как видим, понятие нельзя дать в готовом виде, оно может быть построено только самим учеником путем выполнения определенной системы действий с предметами, относящимися к данному понятию.

Кроме того, она отмечает, что понятие – это продукт действий, выполняемых учеником с предметами данного класса. В данном случае это продукт действия распознавания [7].

Если учесть сказанное, то станет понятно, почему заучивание определений не ведет к формированию понятий. В начале школьного обучения ребенок должен взаимодействовать с миром вещей непосредственно, практически. Постепенно, с развитием познавательной сферы ребенка, такое непосредственное взаимодействие будет не всегда обязательным.

Н. Ф. Талызина считает, что усвоение понятия «идет успешно, когда задания, предлагаемые школьникам, не однотипны, когда учащийся снова и снова оказывается в новых условиях и нуждается в развернутой ориентировке. Однотипность условий приводит к свертыванию процесса ориентировки, к автоматизации действия. Учащийся распознает ситуацию по какому-то одному признаку, который воспринимается как сигнал того, что ситуация старая. Поэтому однотипные задания следует предъявлять на последнем этапе процесса усвоения, когда знания и действия достигли заданной меры обобщения, прошли преобразование по форме и теперь могут сокращаться и автоматизироваться, набирать скорость»[7].

Как уже отмечалось, при формировании понятия необходимо выделять все существенные свойства, присущие данному понятию. Для того чтобы младшие школьники правильно усваивали существенные свойства понятий, необходимо варьирование как существенных, так и несущественных свойств, акцентирование внимания на свойствах необходимых и достаточных. При недостаточной работе в этом направлении возможны ошибки учащихся при распознавании объектов и отнесении их к объему того или иного понятия.

Может привести к ошибкам в распознавании окружностей учет не всей совокупности ее свойств, а только некоторых из них: например, учащиеся обращают внимание на замкнутость линии и наличие центра, забывая о равноудаленности всех точек окружности от центра. Здесь будут полезными упражнения на сравнение и классификацию, выведение всех свойств самими учащимися.

Также нередки ошибки в распознавании понятий «отрезок» и «луч», так как они обладают одним общим свойством – быть частью прямой, по которому их распознать нельзя, для этого необходимо второе свойство: луч ограничен с одной стороны, а отрезок – с двух сторон. В таких случаях можно использовать упражнения на сравнение, классификацию.

Нередко даже учителя смешивают понятия «выражение» и «равенство». Очень важно установить различия между ними на вербальном уровне (выделить признаки общие и отличительные) и использовать упражнения на классификацию:

- раздели записи на группы, выделив равенства, выражения, уравнения;

- найди «лишнюю» запись –найти среди выражений равенство или наоборот.

Во избежание подобных ошибок необходимо выполнить определенное количество упражнений и заданий с преобразованием действий не только по форме, но и по мере обобщенности, автоматизации. Учитель управляет процессом обучения, который идет как процесс применения знаний.

Путем применения всего комплекса средств можно добиться прочного усвоения математических понятий учащимися.

Таким образом, усвоение младшим школьником того или иного понятия определяется умением распознавать его в ряду конкретных объектов. Отнесение любого математического объекта к тому или иному понятию предполагает установление наличия у этого объекта всей системы существенных признаков данного понятия. Когда школьники научатся это делать, то есть смогут распознавать объект, включенный в объем понятия, можно считать понятие усвоенным.

Стойлова Л. П.,

профессор,

зав. кафедрой М и МПМ

МГПУ

Полунина И. А.,

аспирант кафедры М и МПМ

МГПУ

Список использованной литературы

1. Истомина Н. Б. Математика. 2 класс: Учебник для четырехлетней начальной школы. – Смоленск, Издательство «Ассоциация ХХI век», 2004. – 176с.

2. Истомина Н. Б. Математика: учебник для 3 кл. общеобразоват. учреждений. / Н. Б. Истомина. – 5-е изд., испр. – Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2007. – 176с.: ил.

3. Математика. Учеб. для 3 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1 (Первое полугодие)/ [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.]- 3-е изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2005. – 96с.: ил.

4. Моро М. И. Математика: учеб. для 1 кл. нач. шк. В 4 ч. Ч. 1 / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова. - 8-е изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2008. – 48с.: ил.

5. Петерсон Л. Г. Математика. 1 класс. Часть 2. – М.: Издательство «Ювента», 2007. – 64с.: ил.

6. Стойлова Л. П. Математика: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений.- М.: Издательский центр «Академия», 2007

7. Талызина Н. Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников: Кн. для учителя.-М.: Просвещение, 1988

8. Теоретические основы обучения математике в начальных классах: пособие для студентов фак. подгот. учителей нач. классов заоч. отд-ния.- М.: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж: НПО «МОДЭК», 1996