Подготовила: учитель математики

Категория: высшая

Тихончук Людмила Юрьевна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №3

Станица Старощербиновская Щербиновского района Краснодарского края

Подготовка к ЕГЭ. Задание В13.

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

2013г.

В школьном курсе математики очень мало внимания уделяется задачам на концентрацию, смеси и сплавы. Эти задачи вызывают трудности, связанные с нечетким пониманием химических процессов. Необходимо иметь в виду, что в задачах такого рода, предлагаемых на ЕГЭ по математике, никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит. Рассматривая задачи на составление уравнений, остановимся, прежде всего, на задачах, решение которых связано с использованием понятий “концентрация” и “процентное содержание”. Обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.

Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». «Чистое вещество» определяется в каждой задаче отдельно, однако при этом все остальные вещества, составляющие смесь, относятся к «примеси».

Концентрация данного вещества в смеси – это отношение количества чистого вещества в смеси к общему количеству смеси, если они измерены одной и той же единицей массы.

Процентное содержание чистого вещества в смеси называют его долю, выраженную в процентном отношении.

Цель данной работы – изучение методов решения таких задач, при помощи химической формулы, таблицы и системы уравнений с двумя неизвестными.

Используемая таблица

m

(m=M∙d)

M

d

1

2

3

m-количество чистого вещества

M-количество всего вещества

d-доля ( процентная, выраженная в десятичной дроби)

Задачи с решениями:

Тип1.

1.Имеются два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 100 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава – х кг, тогда второго у кг.

Зная, что масса третьего сплава ( сумма первого и второго ) равна 100 кг, составим первое уравнение системы: х+у =100

Теперь заполним таблицу, чтобы составит второе уравнение системы:

Первый содержит 5% никеля,

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,05х

х

0,05

2

3

второй - 30% никеля.

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,05х

х

0,05

2

0,3у

у

0,3

3

Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 100 кг, содержащий 20% никеля.

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,05х

х

0,05

2

0,3у

у

0,3

3

20

100

0,2

Учитывая, что 1 действие+2 действие=3 результат, составим второе уравнение системы:

0,05х+0,3у=20.

Составим систему уравнений с двумя неизвестными и решим способом подстановки.

х+у =100,

0,05х+0,3у=20;

х=100-у

0,05∙(100-у)+0,3у=20

5-0,05у+0,3у=20

0,25у=15

у=60 кг - масса второго сплава.

х=100-60

х=40кг – масса первого сплава.

Вопрос: На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

60 – 40 = 20кг.

Ответ: 20

Закрепление:

2. Имеются два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй - 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава – х кг, тогда второго у кг. Первое уравнение системы: х+у =225

Заполним таблицу:

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,1х

х

0,1

2

0,35у

у

0,35

3

67,5

225

0,3

Второе уравнение системы:

0,1х+0,35у=67,5

Составим систему и решим способом подстановки:

х+у =225,

0,1х+0,35у=67,5;

у=180; х=45

Ответ: 135.

3. Имеются два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава – х кг, тогда второго у кг. Первое уравнение системы: х+у =225

Заполним таблицу:

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,05х

х

0,05

2

0,3у

у

0,3

3

45

225

0,2

Второе уравнение системы:

0,05х+0,3у=45

Составим систему и решим способом подстановки:

х+у =225,

0,05х+0,3у=45;

у=135; х=90.

Ответ: 45

Тип2.

1.Смешав 24-процентный и 67-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получил 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45- процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 24-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть х кг- количество 24-процентного раствора кислоты, тогда у кг- количество 67-процентного раствора кислоты.

Задача будет решаться с помощью системы уравнений с двумя неизвестными.

Заполним две таблицы.

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,24х

х

0,24(к)

2

0,67у

у

0,67(к)

3

0

10

0(к)

4

0,41х+0,41у+4,1

х+у+10

0,41

Учитывая, что 1 действие+2 действие+3 действие=4результат, составим первое уравнение системы:

0,24х+0,67у+0=0,41х+0,41у+4,1

Выполним преобразования:

0,24х+0,67у-0,41х-0,41у=4,1

-0,17х+0,26у=4,1

Заполним вторую таблицу:

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,24х

х

0,24(к)

2

0,67у

у

0,67(к)

3

5

10

0,5(к)

4

0,45х+0,45у+4,5

х+у+10

0,45(к)

Составим второе уравнение системы:

0,24х+0,67у+5=0,45х+0,45у+4,5

Выполним преобразования:

0,24х+0,67у-0,45х-0,45у=4,5-5

-0,21х+0,22у=-0,5

Составим систему уравнений и решим способом алгебраического сложения:

-0,17х+0,26у=4,1|∙2100

-0,21х+0,22у=-0,5|∙1700

-357х+546у=8610,

-357х+374у=-850;

Вычтем из первого уравнения второе:

172у=9469

У=55кг- количество 67-процентного раствора кислоты.

Х=60кг- количество 24-процентного раствора кислоты.

Ответ: 60

Закрепление:

2. Смешав 38-процентный и 52-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получил 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 46- процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 38-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть х кг- количество 38-процентного раствора кислоты, тогда у кг- количество 52-процентного раствора кислоты.

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,38х

х

0,38(к)

2

0,52у

у

0,52(к)

3

0

10

0(к)

4

0,36х+0,36у+3,6

х+у+10

0,36(к)

Первое уравнение:

0,38х+0,52у+0=0,36х+0,36у+3,6

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,38х

х

0,38(к)

2

0,52у

у

0,52(к)

3

5

10

0,5(к)

4

0,46х+0,46у+4,6

х+у+10

0,46(к)

Второе уравнение:

0,38х+0,52у+5=0,46х+0,46у+4,6

Преобразуем каждое уравнение и составим систему:

0,02х+0,16у=3,6|∙4

-0,08х+0,06у=-0,4;

у=20кг- количество 52-процентного раствора кислоты.

х=20кг- количество 38-процентного раствора кислоты.

Ответ:20

3. Смешав 43-процентный и 89-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получил 69-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 73-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть х кг- количество 43-процентного раствора кислоты, тогда у кг- количество 89-процентного раствора кислоты.

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,43х

х

0,43(к)

2

0,89у

у

0,89(к)

3

0

10

0(к)

4

0,69х+0,69у+6,9

х+у+10

0,69(к)

Первое уравнение:

0,43х+0,89у+0=0,69х+0,69у+6,9

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,43х

х

0,43(к)

2

0,89у

у

0,89(к)

3

5

10

0,5(к)

4

0,73х+0,73у+7,3

х+у+10

0,73(к)

Второе уравнение:

0,43х+0,89у+5=0,73х+0,73у+7,3

Проведем преобразования и составим систему:

-0,26х+0,2у=6,9|∙0,8

-0,3х+0,16у=2,3.

х=35кг-количество 43-процентного раствора кислоты.

Ответ:35

Тип3.

1.Имеется два сосуда. Первый содержит 75кг, а второй -30кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 52% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 58% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Пусть х- процентная доля кислоты в первом сосуде, тогда у- процентная доля кислоты во втором сосуде.

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,75х

75

0,01х

2

0,3у

30

0,01у

3

54,6

105

0,52

Первое уравнение системы:

0,75х+0,3у=54,6

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,3х

30

0,01х

2

0,3у

30

0,01у

3

34,8

60

0,58

Второе уравнение системы:

0,3х+0,3у=34,8

Составим систему:

0,75х+0,3у=54,6,

0,3х+0,3у=34,8;

Вычтем из первого уравнения второе:

0,45х=19,8

х=44

Найдем количество чистого вещества в первом сосуде: 0,75∙44=33кг.

Ответ:33.

Закрепление:

2. Имеется два сосуда. Первый содержит 40кг, а второй -25кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 25% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 31% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Пусть х- процентная доля кислоты в первом сосуде, тогда у- процентная доля кислоты во втором сосуде.

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,4х

40

0,01х

2

0,25у

25

0,01у

3

16,25

65

0,25

Первое уравнение:

0,4х+0,25у=16,25

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,25х

25

0,01х

2

0,25у

25

0,01у

3

15,5

50

0,31

Второе уравнение:

0,25х+0,25у=15,5

Составим систему:

0,4х+0,25у=16,25,

0,25х+0,25у=15,5;

0,15х=0,75

х=5

Найдем количество чистого вещества в первом сосуде: 0,4∙5=2кг.

Ответ:2.

3. Имеется два сосуда. Первый содержит 50кг, а второй -25кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 56% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Пусть х- процентная доля кислоты в первом сосуде, тогда у- процентная доля кислоты во втором сосуде.

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,5х

50

0,01х

2

0,25у

25

0,01у

3

34,5

75

0,46

Первое уравнение:

0,5х+0,25у=34,5

m

(m=M∙d)

M

d

1

0,25х

25

0,01х

2

0,25у

25

0,01у

3

28

50

0,56

Второе уравнение:

0,25х+0,25у=28

Составим систему:

0,5х+0,25у=34,5,

0,25х+0,25у=28;

0,25х=6,5

х=26

Найдем количество чистого вещества в первом сосуде: 0,5∙26=13кг.

Ответ:13.

Источники информации:

1.ЕГЭ 2012 Математика .Задача В13.Задачи на составление уравнений. Рабочая тетрадь

Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко М: издательство: МЦНМО 2012г.

2. ЕГЭ-2013. Математика : Тематический сборник заданий / под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко .- М.: Издательство «Национальное образование»,2012. – ( ЕГЭ-2013.ФИПИ-школе)

http://www.ctege.info - Подготовка к ЕГЭ и ГИА.

3. Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. Единый государственный экзамен 2013. Математика. Учебное пособие. / А.В.Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко, П.И.Захаров; под ред. И.В.Ященко; Московский центр непрерывного математического образования. – М: Интелект-Центр,2013.